有关分段函数的分析性质的讨论.doc

本科生毕业论文目录摘要1关键词 .1Abstract 1Key words 1引言 11 分段函数的连续性 21.1 用定义法判断函数在分界点处的连续性 21.2 用定义的语言判断分段函数的连续性 32 分段函数在分界点处的可微性 42.1 利用导数定义判断分段函数在分界点处的可导性42.2 利用命题“函数在可导”判断分段函数在分界点处的可导性 42.3 利用导数极限定理讨论分段函数在分界点处的可导性 53 分段函数的可积性 73.1 分段函数的不定积分与定积分 73.1.1 分段函数的不定积分 73.1.2 分段函数的定积分 83.2 分段函数可积性的有关结论 93.3 典型分段函数的讨论 10参考文献 12致谢 12有关分段函数的分析性质的讨论 摘要 通过对分段函数连续性、可微性与可积性的讨论，不仅给出了判断分段函数是否连续、可微及可积的方法，而且讨论了几个典型且重要的分段函数（如：狄利克雷函数与黎曼函数）.通过讨论可得出分段函数在微积分中所具有的十分重要的作用:利用分段函数来判断有关命题的真假（举正、反例）.关键词 分段函数 分界点 连续性 间断点 可微性 可积性About the Discussion of the Analysis Features Of the Segments-divided Function Abstract In this paper,based on the segments-divided function continuity,differentiability and integrability discussion.Segments-divided function not only gives the boundary points are continuous,differentiable and integrable method,but discussed several typical and important segments-divided function(for example,Dirichlet function and Riemannfunction).Segments-divided function can be obtained through discussions in the calculus,which has the very important role. We can use the segments-divided function to determine whether the proposition is true or not(give positive and negative cases).Key words Segments-divided function Demarcation point continuity Discontinuities Differentiability Integrability.引言 在微积分及数学分析中，讨论分段函数在分界点处的连续性、可微性及可积性是相当重要的知识点.分段函数，是指当自变量在不同的范围内取值时，对应法则不能用一个公式，而是用不同的式子来表示的函数，例如类似的分段函数在微积分理论中随处可见，并具有十分重要的作用，比如举正反例常用到分段函数，本文将对分段函数的连续性、可微性、可积性进行讨论.我们知道在讨论分段函数连续性时须利用连续的定义判断，这就告诉我们必须掌握好函数在分界点处的左、右极限，以及其与函数在分界点处的函数值、函数在分界点处连续之间的关系,即左、右极限相等并且等于函数在分界点处的函数值时才连续.在各种版本的教材中，虽然例题各不相同，但在讨论分段函数在分界点可微性时都可利用左、右导数的原始定义及有关可导的充要条件来判断.但必须注意函数在不连续的分界点处一定不可导，而对于连续的分界点，函数可能可导也可能不可导.对于求分段函数的不定积分和定积分时须掌握原函数定义及其具有的连续性的性质；要掌握关于可积的有关重要结论，而且要特别注意分段函数在积分论中所体现的十分重要的作用.1 分段函数的连续性分段函数是以某些点（分界点）为界用不同的表达式来表示的函数，而在各分段区间上一般是初等函数，在其定义区间上连续，所以讨论分段函数的连续性实质上是讨论它在分界点处是否连续.1.1 用定义法判断函数在分界点处的连续性先求在分界点处的左右极限与，再与在此点的函数值比较，若与相等并且等于，则在点连续，否则在点间断.下面对间断点进行简单讨论.间断点分为第一类间断点及第二类间断点，其中第一类间断点又可分为可去间断点和跳跃间断点.（1）可去间断点 若 =，而在点无定义，或有定义但,则称为的可去间断点.例如，对于函数因为，所以为的可去间断点.（2）跳跃间断点 若函数在点的左右极限都存在，但，则称点为函数的跳跃间断点.例如，符号函数因为，即，所以为的跳跃间断点.（3） 第二类间断点 函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点称为第二类间断点.例如，狄利克雷函数其定义域上每一点都是第二类间断点.例 讨论函数的连续点、间断点及其类型.解 因为，且，所以，所以是的连续点.因为不存在，所以为的间断点，为第二类间断点. 故在时处处连续.1.2 用定义的语言判断函数的连续性语：若对任给的，使得当时有，则称函数在点连续.例 证明黎曼函数在内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续. 证明 设为无理数，（不妨设）满足的正整数只有有限个（但至少有一个，比如）使得的有理数只有有限个（至少有一个，如），并设为，取，则对，当为有理数时有，当为无理数时.于是，对，总有，由的任意性知在任一无理点处都连续.设为内任一有理数，取，对（无论多么小），在内总可取到无理数，使得,所以在任何有理点处都不连续.2 分段函数在分界点处的可微性 分段函数在分界点处的可微性只需判断分段函数在分界点处是否可导即可.2.1 利用导数定义判断分段函数在分界点处的可导性利用导数定义判断分段函数在分界点处可导性是一种基本方法，直接考虑极限的存在性即可.例 讨论函数在处的可导性.解 因为，所以在连续.因为，所以在可导且.2.2 利用命题“函数在可导”判断分段函数在分界点处的可导性利用此方法判断分段函数在分界点处的可微性要分别讨论在处的左、右导数，根据导数与单侧导数的关系研究其可导性.例 讨论函数在处的可导性.解 因为，所以，即在连续.因为所以，所以，从而在处不可导.2.3 利用导数极限定理讨论分段函数在分界点处的可导性 定理 设函数在点的某邻域内连续，在内可导，且极限存在，则在点可导且.例 研究函数在分界点与处的可导性.解 因为，且，所以=0=，即在处连续.同理可得 在处连续.在各区间内分别对求导，得=因为 ，所以，所以即在处可导.因为 ，所以，所以在处不可导.注 利用此方法时必须先验证在分界点处连续，否则会产生错误结果.例如考察函数在处的可导性.虽然，但是在处是不可导的，因为在处不连续.运用此方法还存在另一局限性，即虽然在点连续但其分段一阶导数在的左、右极限若不存在的话也无法利用此方法.下面分两种情况进行讨论：（1） 若及都不存在,并不能说明在点不可导，如： 分析 因为，所以在处连续.因为即，所以在可导.而所以 与均不存在.（2） 若与一个存在一个不存在，则说明左、右极限不相等，进而在不可导，如： 分析 因为 ，所以，所以 在连续。对分段求导，得所以，所以 ，所以 在不可导.利用导数极限定理讨论分段函数的可导性时要求或存在才可行，否则无法进行.由以上讨论，可得出判断分段函数在分界点处的可微性的一般思路是：若在处不连续，则在处不可导；若在处连续，按分界点的左、右侧不同解析式，利用单侧导数定义分别求其左右导数，或按分界点左、右侧的导函数不同解析式分别求其左、右极限，只有当函数左、右导数或导函数左、右极限存在且相等时在处才可导.3 分段函数的可积性3.1 分段函数的不定积分与定积分分段函数在连续区间上是可积的，如何求其不定积分与定积分呢？关键在于求分段函数的一个原函数，则，.下面简单介绍其求法.3.1.1 分段函数的不定积分例 求解 令所以 因为在，与连续，所以在上连续.又因为连续函数有原函数，即存在，使得且在连续，所以得 即 令，得则为的一个原函数，所以.3.1.2 分段函数的定积分定理 若函数在上可积，在上连续，且除有限个点外有，,则在上可积且，这称为牛顿莱布尼茨公式，也常写成.例 求，其中解 .3.2 分段函数可积性的有关结论 只有有限个间断点的有界函数必可积.每个有第一类间断点的函数没有原函数.证明 设在上只有有限个间断点，不失一般性，只证明在上仅有一个间断点的情形，并假设该间断点为，取满足且，其中与分别为在上的上确界与下确界（设，否则为常量函数，显然可积），记在小区间上的振幅为，则，因为在连续，所以在上可积，所以存在对的某个分割使得.令，则是对的一个分割，对于有， 所以在上可积. 设为的第一类间断点，且假设在有原函数，则，所以.同理可得 ,所以在连续.与已知矛盾，即假设不成立，所以每个有间断点的函数没有原函数.（3） 积分区间具有可加性,即在上可积的充要条件是：对，在与上均可积，且.（4） 可积不一定有原函数，有原函数不一定可积.如 令则为只有有限个间断点的有界函数,所以在上可积.又因为有第一类间断点，所以没有原函数，即在上无原函数.令则 令则有一个原函数,但在上无界，所以在上不可积. 由此可见，在上可积和有原函数是没有必然联系的两个不同概念.但当在上连续时，在上可积等价于在上有原函数.3.3 典型分段函数的讨论 例 证明狄利克雷函数在上有界但不可积.有界函数不一定可积的反例证明 显然.对于的任一分割，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于的任一小区间上，当取全为有理数时，；当取全为无理数时，.所以不论多么小，只要点集取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限，即在上不可积.例 证明黎曼函数在区间上可积，且.证明 因为，所以使，即满足的有理点只有有限个，设为个，包含这些点的小区间至多有个，在这些小区间上，有.取使,所以，则.因为，所以当取全为无理点时使,所以.例 证明在上可积.证明 因为在上有界（），间断点为，因为，所以对有,所以 在上只有有限个间断点.所以 ，即的一个分割，使.在上加上，构成的一个分法， 则，所以.注 对分段函数可积性的讨论中，体现了分段函数在积分学中的作用，即分段函数常被用来举反例，从而来判断命题的真假.参考文献1 华东师范大学数学系编.数学分析M.3版.北京：高等教育出版社，2001：73-207-216.2 同济大学应用数学系编.微积分M.北京：高等教育出版社，1999:72. 3 朱正佑，秦成林编.数学分析M.上海：上海大学出版社，2001:122.4 曾艳妮.分段函数在连续的分界点处可导性的另一种判定J.湖北大学成人教育学院学报，2005,23（5）：45.5 刘文灿，刘夜英编.数学分析M.陕西：陕西人民出版社，2003：158.6 林远华.分段函数的连续性与可微性J.河池师范高等专科学校学报，2000,20（2）:28.7 程秀清.浅谈一元分段函数的分析性质J.晋东南师范专科学校学报，2004,21（2）:74.8 陈纪修，於崇华，金路编.数学分析M.2版.北京：高等教育出版社，2004:276.9 李成章，黄玉民编.数学分析M.北京：科学出版社,1999：235.10 刘玉琏，傅沛仁等编.数学分析讲义M.4版.北京：高等教育出版社，2003:340.致谢 感谢学院对我四年来的培养，感谢老师对这篇论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予的指引和教导，使我对分段函数的分