西格玛水平与不合格品率的关系研究.docx

西格玛水平与不合格品率的关系研究王斌会（暨南大学 统计系，广州 510632）摘 要：当过程出现偏移时，与过程能力指数相比，西格玛水平不仅能反映过程能力，而且西格玛水平能与过程的不合格品率一一对应起来。文章通过研究西格玛水平与产品不合格品率之间的关系，建立了过程有无偏移时的西格玛水平与不合格品率之间的关系模型。关键词：西格玛水平；过程能力；不合格品率中图分类号：f403.8文献标识码：a文章编号：10026487（2009）190172-03能力指数一样，是过程能力的度量指标，在 6 管理法的体系中习惯用 z 值来表示，其计算公式为：引言0六西格玛（6）管理法是建立在统计学基础上的全面质量管理方法。 六西格玛管理的目标是减少过程输出变异，从 而在长期过程中使缺陷率降低到 3.4ppm(parts per million)。 六西格玛管理是一项以数据为基础，追求几乎完美无暇的管理经营方法。 (sigma 西格玛)是一个度量质量特性总体 上对目标值的偏离程度的数理统计术语，所以六西格玛管理 不是简单地关注结果， 而是强调创造产品或服务的过程，关 注的是过程的性能及其改进。 六西格玛管理常用的过程性能 衡量指标有传统上常用的 cp 或 cpk 值（即短期和长期过程能力指数），不合格品率以及长期和短期的西格玛水平。但当过程出现偏移时 ， 与过程能力指数相比 ， 西格玛水 平不仅能反映过程能力，而且西格玛水平能与过程的不合格 品率一一对应起来，并不像过程能力指数那样 ， 同时需要 cp 和 cpk 两者之值，才能唯一确定过程的不合格品率。 本文在文 献1中对过程能力指数与不合格品率的关系研究的基础上， 对西格玛水平和不合格品率的关系进行了研究。z = -l ，z = u- (1)lu其中，l 表示规范下限，u 表示规范上限，t 为目标值，zl称为规范下限的西格玛水平 ，zu 成为规范上限的西格 玛 水 平， 表示质量特性的均值， 表示质量特性的标准差，通常 用样本均值和标准差估计之。由西格玛水平的计算公式可看出，z 值的计算跟统计学 中正态变量标准化的过程非常相似。 其实，利用 z 值，直接就 可以在正态分布表中查对应的不合格品率。 对规范上限与规 范下限外的面积求和 ， 就得到总的不合格品率 （ 如图 1 中阴 影部分）。 其次，z 值的计算公式也反映了 z 值跟统计意义上 的 值的关系，它们之间成反比例，意味着标准差 值越小， z 值就越大，表示过程能力越高。 6 过程指的是 z=6 时的过 程，同理，3 过程指的是 z=3 时的过程。2 过程的短期西格玛水平与长期西格玛水平随着时间推移，过程的均值将随之发生波动。 如前所述，引起过程波动的原因一般将其分为普通原因和特殊原因。 不 能避免的随机波动称为普通原因， 特殊原因是非随机的，相 对较少。 一般地，我们用短期西格玛水平来报告过程能力。短期西格玛水平用 zst 表示，zst 的计算是基于过程均值 正好等于目标值 t 的假设。西格玛水平的计算1在本文的研究中 ， 假定过程特性是连续的 ， 则西格玛水平的计算建立在如下三个假设的基础上。（1）假设连续过程特性服从正态分布。（2）过程处于稳定状态或受控状态。（3）过程特性的均值随时间偏移达 1.5。 6 管理法的先 驱 motorola 公司通过多年的过程研究和数据收集，确定特性 均值会随时间而偏移2，他们称这种偏移为“长期动态均值变异（long-term dynamic mean variation）”。 而均值随时间 偏移达 1.5 的具体数值则由两个美国人 bender 和 gilson 分 别独立研究三十年后而发现。西格玛水平， 传统上称为” 过程的西格玛水平 ”， 与过程计 算 公 式 为 ：zst= sl-t ， 其 中 sl(specification limit) 为st规范界限，t 为目标值，st 为短期过程标准差。长期西格玛水平用 z 表示，z 用测量数据的平均值代ltlt替目标值 t 来计算。公式为：zlt= sl-t ，其中， 为均值，lt 为长期过程标lt准差。基金项目：教育部人文社科项目（07ja910004）；广东省科技计划资助项目（2007b010200058）172统计与决策 2009 年第 19 期（总第 295 期）图 1 西格玛值图 2 无偏移时的两边概率图 3 有偏移时的两边概率短期过程由于只受到普通原因的影响，st 较小；长表 1西格玛水平 z 与不合格品率之间的关系期过程则同时受到普通原因和特殊原 因 的 影 响 ，相lt对较大。 这就是短期西格玛水平比长期西格玛水平大的原因。如前假设，均值随时间偏移可达 1.5。因此，长、短期西格玛水平的关系为 z =z +1.5。st lt西格玛水平与不合格品率之间的关系3模型表 2过程偏移 0.5 和 1 时西格玛水平 z 与不合格品率的关系l假设过程的质量特性 x(，2)， 则 pl= 乙1e- 姨2 - (x-)2 - (x-)2+乙u12222edx 将变量标准化，令dx,pu=姨2 t= x- l- u- ,t1=,t2=采用“3”原则来描述过程能力的大小。 “3”原则指出在范围， 也就是在 6 的范围内包含了 99.73%的质量特性值，不 合格品率为 0.27%（见表 1 第 2 列 z=3 时的 p 值）。 率先实施6 战略的摩托罗拉公司则提出了更高的要求， 把过程变异 的宽度扩展到 12，并允许 1.5 的偏移，这保证了最坏情况 下的不合格品仅为 3.4ppm （ 见表 1 最后一行最后一列的 p 值），即不合格品率仅为百万分之 3.4。 与以前相比，有时也将6 的这种规范要求简称为“6”原则。 由于过程总是存在偏 移的，而考虑了偏移的过程能力指数 cpk 与过程的不合格品 率没有一一对应的 关 系1,3， 因 而 6 管理法虽然也用到 cp、 cpk 来衡量过程能力， 然而更常用到是西格玛水平即 z 值。 西格玛水平用从过程均值到规范限内的标准差个数来表示。 当过程有 1.5 偏移时，z 值与过程的不合格品率 p 有如表 1 的一一对应的关系。过程均值可能向左偏移，也可能向右偏移。 两种情况计 算类似，本文以向右偏移做示例。 如图 2 所示，由于过程向右 偏移，则只计算规范上限外的概率 ， 而规范下限外的概率非 常小，可忽略不计。因此，不合格品率 p=0.000339767%3.410-6，即我们所熟知的 3.4ppm。但在我们的研究中 ， 发现实际问题中 ， 偏移并不是常常 认为的达到 1.5 的程度， 下面是分别计算过程偏移 0.5 和1 时西格玛水平与不合格品率之间的理论值，见表 2。所以我们认为 ， 要考察一个过程的西格玛水平时 ， 应考 虑过程的实际偏离程度。 目前国际上通用的偏移是 1.5，这 种情况是否适合中国企业还需进一步研究，在下面的实际分 析中我们仍采用国际通用观点。并结合规范上、下限的西格玛水平，t1=-zl，t2=zu，则r 2-zl乙-12pl=e dt=(-zl)=1-(zl)姨21- r2+乙zu2pu=e dt=1-(z )u2姨因此，总的产品不合格品率p=pl+pu=1-(zl)+1-(zu)=2-(zl)-(zu)这样就得出了质量特性的西格玛水平 z 与不合格品率p 之间的函数关系模型。与过程能力指数相比 ， 西格玛水平不仅能反映过程能 力，而且西格玛水平能与过程的不合格品率一一对应起来。当过程无偏移时，z=zl= -l =zu= u- ，西格玛水平就不需要区分长期和短期能力，两值相等。 此时，目标值 t 与分布中心 重合，如图 2 所示。 此时超出规范下限的不合格品 率 pl 和超出规范上限的不合格品率 pu 相同，即 pl=pu。 故总 的不合格品率 p=pl+pu=2pl，于是 p=2(1-(z)。4 西格玛水平与不合格品率之间的关系研究不合格品率是测量过程性能波动的一个常用尺度，它给出了一个过程特性落在规范限外的概率。 当质量特性（连续 特性）服从正态分布，通过我们第 3 节建立的模型可以看到， 不合格品率可与西格玛水平进行换算。在传统的质量管理中 ， 根据过程性能的统计规律 ， 一般统计与决策 2009 年第 19 期（总第 295 期） 173偏移（0.5）偏移（1）zlzup(%)zlzup(%)0.51.537.5344739990.02.052.2750131951.52.57.3016866591.03.016.0005151962.53.50.6442294402.04.02.2781803193.54.50.0236026753.05.00.1350184684.55.50.0003416664.06.00.0031672235.56.50.0000019035.07.00.000028665无偏移有偏移（1.5 ）zpl=pu（%）p（%）zlzupl（%）pu（%）p（%）115.86552539331.731050786-0.52.569.1462461270.62096653369.76721266022.2750131954.5500263900.53.530.8537538730.02326290830.87701678130.1349898030.2699796061.54.56.6807201270.0003397676.68105989440.0031671240.0063342482.55.50.6209665330.0000018990.62096843250.0000286650.0000573303.56.50.0232629080.0000000040.02326291260.0000000990.0000001974.57.50.0003397670.0000000000.000339767企 业 管 理量为 50，根据实测数据计算出平均值和样本标准差为：x= 60.315，s=0.292。当工序无偏移时：z=zl=zu= u-t = 61-60 =3.42465750.292而 p=2(1-(z), 查正态分布表得到 (3.4246575) = 99.96922%则 不 合 格 品 率 p =2 (1 - 0.9996922) =6.155748 10 -4, 即 不 合 格 品 率 为0.061557%.当过程有偏移时：图 4 例 1 数据无偏移时的不合格品率图 5 例 1 数据有偏移时的不合格品率zl = -l 60.315-59.0 = 4.50342，0.292zu= u- 61.0-60.315 =2.345890.292图 6 例 2 数据无偏移时的不合格品率图 7 例 2 数据有偏移时的不合格品率p1=1-(zl)=1- 0.9999966=3.3433510-6p2=1-(zu)=1-0.9905092=0.0094908p=p1+p2=0.00949418因此不合格品率为 0.949418%.再次查正态分布表，得 zlt=2.59，则 zst=2.59+1.5=4.1。 因 此长期过程性能为 0.9494%，短期过程能力值为 4.1。从结果可以看出 ， 当过程出现偏移较大时 （ 本例相当于 (60.315-60)/0.292=1.08，即 1.08?），过程的不合格品率明显要 比过程无偏移时的不合格品率大，两者相差较远。 因此，在实 践中计算西格玛水平和不合格品率时，一定要弄清楚过程是 否存在偏移。 一般地，短期数据可认为无偏移，但数据横跨的 时间比较长时，就要考虑过程偏移带来的影响。在六西格玛管理中，正是基于西格玛水平 z 值与过程的 不合格品率 p 一一对应的关系，为我们将用其来衡量经济效实例分析5【 例 1】 为了解一加工过程的潜在性能 ， 规 范 ：5.000.10mm， 计算得样本的均值=5.015， 标 准 差 s=0.046， 试 分 别 计算该过程无偏移和有偏移时的西格玛水平和不合格品率 及过程长短期性能水平。当工序无偏移时：z=zl=zu= u-t = 5.10-5.00 =2.17390.046而 p=2(1-(z),查正态分布表得到 (2.1379)=0.985144则不合格品率 p=2(1-0.985144)=0.02971,率为 2.971%.当过程有偏移时：即不合格品益的5zl= -l 5.015-4.90 。=2.49990.046zu= u- 5.10-5.0353 参考文献：1 王斌会，胡志萍.过程能力与不合格品率的关系模型j.数理统计 与管理，2007，(1).2zack swinney.1.5 sigma process shift explanationj.usa:isixsig-ma llc,20033 张 公 绪 主 编 . 现代质量管理学 m. 北 京 ： 中国财政经济出版社 ，1999.4 张 驰 编 著 . 六西格玛定义测量阶段 m. 广 州 ： 广东经济出版社 .2003.5王斌会,胡志萍.过程能力指数的经济效益模型分析j.科技管理研 究,2007,(5).=1.84780.0444pl=1-(zl)=1-0.99379=0.00621pu=1-(zu)=1-0.96769=0.03231p=pl+pu=0.03852因此不合格品率为 3.85