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第七章多元统计分析 多维随机变量 7 1 一 多维随机变量 设x1 x2 xp为某一随机试验涉及的p个随机变量 则称 定义 为p维随机向量或p维随机变量 为p维随机变量x的数学期望 或均值向量 定义 设p维随机变量 e xi 为第i个随机变量的数学期望 或均值 i 1 2 p 则称 为随机变量x与y的协方差阵 定义 设p维随机变量和q维随机变量 cov xi yj e xi e xi yj e yj 为随机变量xi与yj的协方差 i 1 2 p j 1 2 q 则称 为随机变量x的方差阵 定义 当x y时 称 定义 设p维随机变量 则称 为随机变量x的相关阵 其中 i j 1 2 p 设x与y是多维随机变量 a与b是常数矩阵 c为常数向量 则有 均值向量 协方差阵和方差阵的性质 二 多元正态分布 定义 若p维随机变量的概率密度函数为 其中为常向量 为常正定阵 则称p维随机变量x服从多元正态分布 也称x为p维正态随机变量 记为 多元正态分布的性质 1 多元正态分布的性质 三 抽样与统计量 总体 样本 第i个样品 第j个指标的n次观测值 第j个指标的第i次观测值 单总体情况 总体x的样本矩阵 常见统计量 1 样本均值向量 向量表示法 矩阵表示法 分量表示法 常见统计量 2 样本离差阵 3 样本协方差阵 其中 常见统计量 4 样本相关阵 多总体情况 k个总体 第 个总体 1 2 k 第 个总体g 第i个样品 第 个总体第j个指标的n 次观测值 第 个总体第j个指标的第i次观测值 第 个总体g 的样本矩阵 k个总体的所有样品 总的样本矩阵 常见统计量 1 总体g 的样本均值 向量表示法 矩阵表示法 分量表示法 常见统计量 2 总的样本均值向量 常见统计量 3 总体g 的样本离差阵 4 总的样本离差阵 常见统计量 常见统计量 5 组内离差阵 6 组间离差阵 例1对9个家庭 调查他们的月收入 百元 和月支出 百元 数据如下表 1 如果把9个家庭看作来自同一个总体 计算该总体的样本均值 样本离差阵和样本相关阵 2 如果把9个家庭看作分别来自城镇和农村二个不同的总体 计算这二个总体的各自样本均值和样本离差阵以及组内差阵和组间差阵 解 1 2 四 参数估计 单总体 设总体x为p维随机变量 e x d x 相关阵为r x 1 x 2 x n 是来自总体x为的一个样本 那么 多总体 k个总体 第 个总
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