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第1章 质点运动学和牛顿运动定律习题答案1-1 已知质点的运动学方程为x = r cost , y = r sint, z = ht/(2),其中r、h为常量求：（1）质点的运动方程的矢量形式；（2）任一时刻质点的速度和加速度解：1-2 站台上的人在火车开动时站在第一节车厢的最前面火车开动后经过24 s第一节车厢的末尾从此人的面前通过问第5节车厢驶过他面前需要多长时间？解：以火车开动时为计时起点，设火车一节车厢长度为l，加速度为a则第一节车厢经过观察者时： （1）第四节车厢的末尾经过观察者时： （2）第五节车厢的末尾经过观察者时： （3）联立（1）（2）（3）得： s1-3半径为r的轮子沿y = 0的直线作无滑滚动时，轮边缘质点的轨迹为求质点的速度；当d / dt = 为常量时，求速度为0的点解：， 即 当为常数时， ，速度为0即 ， 故 1-5一质点沿半径为r的圆周按规律运动，其中、b都是常量（1）求t时刻质点的总加速度；（2）t为何值时总加速度数值上等于b ？（3）当加速度达到b时，质点已沿圆周运行了多少圈？解： ， ， （2）a = b时，即，(3) a = b时， 转动圈数 fm1m2图1-16习题1-7用图1-7 在图1-16所示的装置中，两物体的质量为m1和m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都是，求在力f的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长解：分两种情况：（1）m1与m2之间没有相对滑动以两个物体组成的整体为研究对象，受力如图：由于不计绳和滑轮的质量，故绳内张力t = 2ftf即：tf1tf1（2）如果发生相对滑动，则m1受力如图：绳内张力还是t = 2ff1f2m2 受力如图所示，由于f1 f2 ，m2不会运动，则1-12 在图1-20所示的滑轮系统中，如果滑轮和绳的质量和转轴处的摩擦略去不计，且绳不可伸长，求m1的加速度a1及两绳的张力t1和t2解：设 a1，a2，a3分别是m1，m2，m3的加速度， ， ， 图1-20习题1-12用图abt2m1m2m3t2t1解得 ， 第2章 动量和角动量习题参考答案：2-2 某物体上有一变力f作用，它随时间变化的关系如下：在0.1s内，f均匀地由0增加到20n；又在以后0.2s内，f保持不变；再经0.1s，f又从20n均匀地减少到0 画出f- t图； 求这段时间内力的冲量及力的平均值； 如果物体的质量为3 kg，开始速度为1m/s，且与力的方向一致，问在力刚变为0时，物体的速度为多大？ 解： 根据定积分的定义，用计算面积的方法，可得这段时间内力的冲量为力的平均值为 根据动量定理，有所以2-4 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为（a，b为常数），其中t的单位为秒() 假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需的时间； 求子弹所受的冲量； 求子弹的质量 解： 子弹走完枪筒全长所需的时间，由题意，得，所以 子弹所受的冲量将t=代入，得 由动量定理可求得子弹的质量 2-9 质量为m的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成角的速率向前跳去当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少?(假设人可视为质点) 解：取如图所示坐标把人与物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物的过程中满足动量守恒，故有式中为人抛物后相对地面的水平速率，为抛出物对地面的水平速率得的水平速率的增量为而人从最高点到地面的运动时间为所以，人跳跃后增加的距离图2-22 习题2-11用图2-11 如图2-22所示，一质量为m的滑块在圆弧形滑槽中从静止滑下设圆弧形滑槽的质量为m、半径为r，略去所有摩擦力求当滑块m滑到槽底时，滑槽m在水平方向移动的距离 解：以m和m为研究系统，所受的外力为重力mg、mg与地面对滑槽的支持力n，如图所示，系统在水平方向不受外力，因此在水平方向动量守恒。设在下滑过程中，m相对于m的速度为，m相对地的速度为。在水平方向有求解上式，得设m在滑槽上滑行的时间为t，在水平方向相对于m移动的距离为r，即滑槽在水平方向移动的距离为第3章 功和能习题参考答案：3-1 作用在质点上的力为（si制），求： 当一质点从原点运动到时力所做的功； 如果质点从原点运动到处需0.6s，试求平均功率解： 由题知，为恒力， 根据平均功率的定义式，得3-2 质点在外力的作用下在一平面内运动（si制），求下列情况下，质点从运动到处该力做的功 质点的运动轨迹为抛物线 ； 质点的运动轨迹为直线 解：由，得(1) 质点的运动轨道为抛物线时该力做的功为(2) 质点的运动轨道为抛物线时该力做的功为3-4 质量为m的木板b静止在光滑桌面上，质量也为m的物体a（a可视为质点）放在木板b的一端现给物体a一初始速度使其在b板上滑动，设a、b间的摩擦因数为，并设a滑到b的另一端时a、b恰好具有相同的速度求b板的长度及b板走过的距离解：a向右滑动时，b给a一向左的摩擦力，a给b一向右的摩擦力，摩擦力的大小为。将a、b视为一系统，摩擦力是内力，因此系统水平方向动量守恒，设a滑到b的右端时二者的共同速度为，则有解得 再对a、b系统应用质点系动能定理并注意到摩擦力的功是一对力的功，可设b不动，a相对b移动了b的长度为l，摩擦力的功应为，代入质点系动能定理可得 为了计算b板走过的距离，再单独对b板应用质点的动能定理，此时b板受的摩擦力做正功 得 图3-29 习题3-19用图3-19 一质量为的弹丸，穿过如图3-29所示的摆锤后，速率由减少到已知摆锤的质量为，摆线长度为，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少? 解：由水平方向的动量守恒定律，有式中 为摆锤在圆周最低点的运动速率为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动，在最高点时，摆线中的张力，则式中为摆锤在圆周最高点的运动速率又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中满足机械能守恒定律，故有联立上述三个方程求解，可得弹丸所需速率的最小值为 .3-24 如图3-33所示，一个轻弹簧上端固定，下端系一个金属圆盘，弹簧伸长为一个质量和圆盘相同的泥球，从高于盘底处由静止下落到盘上求此盘向下运动的最大距离解：第一个过程为泥球自由下落过程。为从距离顶端为h处自由落下，与盘碰撞前的速图3-33 习题3-24用图度为，由机械能守恒，得 第二个过程为泥球与盘碰撞过程。将盘和泥球看做一个系统，因二者之间的冲力远大于它们所受的外力(包括重力和弹簧的弹力)，而且作用时间很短，可以认为动量守恒。设它们的质量均为m，它们碰撞后结合在起以共同的速度运动。沿y方向的动量守恒定律的分量式为 第三过程为泥球和盘共同下降的过程。选弹簧、泥球、盘和地球为系统。以泥球与盘共同开始运动为系统的始态，二者到达最低点时为末态。在此过程中只有重力、弹性力(均为保守力)做功，系统机械能守恒。以弹簧的原长为弹性势能的零点，以盘到达最低位置为重力势能的零点。则系统的机械能守恒表达式为 依题意，又由 将式、联立，代人数据，可得 或 （舍去）所以第3章 功和能思考题3-1 人从静止开始步行，如鞋底在地面上不打滑，作用于鞋底的摩擦力是否做了功？人体的动能是从哪里来的？答：作用于鞋底的摩擦力没有做功。 人体的动能是内力做功的结果。 3-2 力的功是否与参考系有关？一对作用力与反作用力所做功的代数和是否与参考系有关？ 答：力的功与参考系有关。因为力的功是力沿受力点位移方向上的分量和受力点位移大小的乘积，而受力点位移是与参考系的选取有关的。一对作用力与反作用力所做功的代数和是与参考系无关的。因为一对作用力与反作用力所做功的代数和是与相对位移有关的，而相对位移却是与参照系选取有关。3-3 外力对质点不作功时，质点是否一定作匀速直线运动？答：外力对质点不作功时，质点不一定作匀速直线运动，有两种情况： （1）若合外力f =0，则质点将保持原来的运动状态不变。此即牛顿第一定律,原来静止的将仍然保持静止；原来作匀速直线运动的，将继续保持原有速度的大小和方向不变的匀速直线运动。 （2）若合外力f 与质点的位移dr 始终垂直，则合外力对质点不作功。如:用细绳连接着的小球在光滑水平面内作圆周运动，拉力不作功。此时的质点所作的是匀速率圆周运动，其动能虽然不变，但速度方向不断改变。3-4 物体组成的一个系统，在相同时间内，作用力所作的功与反作用力所作的功是否一定相等，二者的代数和是否一定等于零？ 答：作用力与反作用力其位移不一定相等，所以作用力与反作用力的功大小不一定相等，二者代数和也不一定为零。3-5 非保守力作功总是负的说法对吗？举例说明之 答: 不对。一个物体放在水平传送带上，物体与传送带无相对滑动，当传送带作匀速运动时，静摩擦力对物体作功为零，当传送带作加速运动时，静摩擦力对物体作功为正，当传送带作减速运动时，静摩擦力对物体作功为负。3-6 质点的动量和动能是否与惯性系的选择有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系的选择有关？答：质点的位移、速度是相对的，其值与惯性系的选取有关，所以与之相关的动量和动能与惯性系的选择有关。虽在不同的惯性参考系中，动量和动能各有不同的值，但在每个惯性参考系中都存在各自的动量定理和动能定理，这就是说，质点的动量定理和动能定理的形式与惯性系的选择无关。3-7 合力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中一个分力做的功，能否大于物体动能的增量？答：可以。因为合外力所做的功是指所有外力对物体所做功的代数和。其中正功使动能增加，负功使动能减少，相互间有抵消，因而有可能存在某一个分力做的功大于合力做的功，即大于物体动能的增量。3-8 为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值? 答 对于势能而言，只有相对意义，因而其值与参考位置(即零点) 的选择有关。 为了方便，一般重力势能的零位置选在地面。这样，高于地面的物体其重力势能为正值，低于地面的物体其重力势能为负值。弹性势能的零位置选在没有形变时的平衡位置，其表示式为，无论离平衡位置距离为正还是为弹屈性势能都为正。对于引力势能，如果其零位置选在无穷远处，则其表示式为，显然为负。3-9 在式(3-14) 中，我们已经知道保守力做的功等于质点势能增量的负值；若假定保守力做的功等于质点势能增量的正值，那又将如何呢？答：势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的，因而它是属于系统的，当保守力做正功时，要消耗系统的势能。当保守力做负功时，系统的势能要增加。这就是式(3-14) 中负号的含义。否则，保守力做正功时，不但不消耗势能，反而使势能增加了，从而违背了自然界普遍遵循的基本定律能量守恒和转换定律。3-10 一物体可否只具有机械能而无动量？一物体可否只具有动量而无机械能？答：机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和。动能与物体相对参考系的运动速度有关，势能则属于保守力系统，一物体所具有的势能，是相对势能零点而言的。 若为保守力系统，且物体相对参考系静止，那么物体的动能为零，动量也为零。该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能。所以，一物体可以有机械能而无动量。例如：一质量为 m的物体（例如一气球）静止在相对地面为h的高处，此时对于物体和地球系统，具有的机械能为重力势能，其值为 mgh。由于此时物体静止，故其动量为零。 在保守力系统中，若一物体运动至某一位置时所具有的动能值，恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，而因物体具有动能，因而动量不为零。所以，一物体也可以有动量而无机械能。例如：物体自离地面高为h处自由下落，取物体和地球为系统，并取下落处为重力势能零点。初始时刻系统的机械能为零，下落之地面时，物体具有的速度大小为，动能为，动量大小为，系统的机械能为零。3-11 以相同的动能从同一地点抛出两个物体，试问在下列两种情况下到达最高点时这两物体的动能是否相同？势能是否相同？ 答：（1）两物体的动能相同，势能相同。 （2）两物体的动能不相同，势能也不相同。3-12 质量相等的小球，分别从两个高度相同、倾角不同的光滑斜面的顶端由静止滑到底部，它们的动量和动能是否相等？ 答：动量和动能都是量度物体机械运动的的物理量。动量是矢量，沿速度的方向；动能是正值标量，它们的量值都与参考系无关。小球从光滑斜面下滑时，速度方向沿斜面，因此，两球到达底部时的动量方向不同。两小球从高度h相同的斜面滑下时，取小球、光滑斜面和地球为系统。因机械能守恒，所以两球的动能相同，动量值也相等。3-13 质点系的机械能定理与动能定理的区别是什么？答：机械能定理从动能定理导出，形式上是动能定理的变形，但这两者分析问题的思路是有区别的如果取单个质点为研究对象时，应该使用质点的动能定理，其中力所做的功指的是作用在物体上的所有力所做的总功，必须计算包括重力、弹性力等保守力在内的一切力所做的功当我们取系统为研究对象时，可以运用质点系的动能定理也可以运用质点系的机械能定理在运用质点系的机械能定理时，由于应用了系统的势能这个概念，保守内力的功已经被系统的势能增量所取代，所以计算力做功时，应将保守内力所做的功除去3-14 用能量方法和用牛顿定律各自求解哪些力学问题较方便？哪些力学问题不方便？答：牛顿定律是力的瞬时作用规律，在求解某一时刻对应的力、加速度及运动过程中的细节问题时，用牛顿定律较为直接。若过程中物体间的相互作用关系复杂时，直接用牛顿定律处理会感到困难，但又制涉及始末状态就可以求解的问题，用能量的方法较容易，如求功、始末速度等和能量直接联系的量。很多情况两种方法结合使用，解决问题会更方便。3-15 在完全弹性碰撞中，哪些量保持不变？在非完全弹性碰撞中哪些量保持不变？答：完全弹性碰撞中，动量守恒，动能守恒；在非完全弹性碰撞中只有动量守恒。习题3-1 作用在质点上的力为（si制），求： 当一质点从原点运动到时力所做的功； 如果质点从原点运动到处需0.6s，试求平均功率解： 由题知，为恒力， 根据平均功率的定义式，得3-2 质点在外力的作用下在一平面内运动（si制），求下列情况下，质点从运动到处该力做的功 质点的运动轨迹为抛物线 ； 质点的运动轨迹为直线 解：由，得(1) 质点的运动轨道为抛物线时该力做的功为(2) 质点的运动轨道为抛物线时该力做的功为3-3 一物体在介质中按规律作直线运动（si制），c为常量设介质对物体的阻力正比于速度的平方试求物体由运动到时，阻力所作的功(已知阻力系数为)解：由，得 ,所以介质对物体的阻力阻力所作的功为3-4 质量为m的木板b静止在光滑桌面上，质量也为m的物体a（a可视为质点）放在木板b的一端现给物体a一初始速度使其在b板上滑动，设a、b间的摩擦因数为，并设a滑到b的另一端时a、b恰好具有相同的速度求b板的长度及b板走过的距离解：a向右滑动时，b给a一向左的摩擦力，a给b一向右的摩擦力，摩擦力的大小为。将a、b视为一系统，摩擦力是内力，因此系统水平方向动量守恒，设a滑到b的右端时二者的共同速度为，则有解得 再对a、b系统应用质点系动能定理并注意到摩擦力的功是一对力的功，可设b不动，a相对b移动了b的长度为l，摩擦力的功应为，代入质点系动能定理可得 为了计算b板走过的距离，再单独对b板应用质点的动能定理，此时b板受的摩擦力做正功 得 3-5 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比在铁锤击第一次时，能将铁钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深？假设每次锤击铁钉前的速度相等，且锤与钉的碰撞为完全非弹性碰撞解：以木板上界面为坐标原点，向木板内为y坐标正向，则铁钉所受阻力为，依题意每次锤击铁钉前的速度相等，故有动能定理有解得 所以第二次能击入的深度为图3-20 习题3-6用图3-6 如图3-20所示，一个物体放在倾角为的长斜面上，斜面与物体间的摩擦系数为，当我们沿斜面向上给物体以冲量时，使物体在p点获得初速度，若物体可以返回至p点求物体返回至p点时的速度的大小？ 解：因物体在沿斜面上升过程中，压力不作功，而重力和摩擦力都作负功，所以，物体的动能一定是逐渐减少，直到为零，这时速度也为零，物体达到最高点。在这之后，它从最高点的静止状态能否下滑？这取决于斜面的倾角，只有大于时，物体才能下滑。如果本题满足这一条件，就意味着大于，作用于物体的合力沿斜面向下，在下滑过程中，合力的功大于零，即物体的动能将会由逐渐增加，物体的速度越来越大，物体也就一定能回到出发点p。设点p到最高点沿斜面的距离为，根据动能定理，从p到到最高点过程中，有解得 物体从p至最高点，再回至p点的整个运动过程中，运动路径为（它与摩擦力的功有关），位移为零（它说明重力所作总功为零）。根据动能定理，有将代入上式，便可解得物体返至p点时的速率为3-7 一汽车的速度，驶至一斜率为0.010的斜坡时，关闭油门设车与路面间的摩擦阻力为车重g的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？ 解：取汽车为研究对象。汽车上坡时，受到三个力的作用：一是沿斜坡方向向下的摩擦力，二是重力，方向竖直向下，三是斜坡对物体的支持力。设汽车能冲上斜坡的距离为s，此时汽车的末速度为0。根据动能定理上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反抗摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因，所以按题意斜坡与水平面的夹角很小，所以，上式可化成即 代入已知数据得3-8 质量为3.0 kg的质点受沿x正方向的力作用，已知质点的运动方程为（si制），求力在最初4.0 s内做的功解：由动力学方程得质点的速度：则质点的动能为根据动能定理，力在最初4.0 s内做的功3-9 如图3-21所示，一质量为 m的木块静止于光滑的水平面上，一质量为m的子弹沿水平方向以速度射入木块内一段距离d后停止于木块内假设木块对子弹的阻力是恒定不变的，求子弹与木块一起运动的速度及子弹相对于木块静止时，木块滑动的距离l解：子弹与木块作为一个系统，水平方向不受力，其动量守恒。设子弹相对于木块静止时，一起运动的速度为，由动量守恒定律，得图3-21 习题3-9用图子弹与木块间的作用力为，此力为恒力，对木块应用动能定理，有对子弹应用动能定理，有联立求解 3-10 有一保守力(si制)，沿ox轴作用于质点上，式中a、b为常量 取时，试计算与此力相应的势能； 求质点从运动到时势能的变化解： 已知时，则x处的势能为 当质点从运动到时势能的增量为3-11 一双原子分子的势能函数为式中r为两原子间的距离，试证明： r0为分子势能极小时的原子间距； 分子势能的极小值为e0； 当时，原子间距离为； 画出势能曲线简图证明： 当时，有 即 ，而所以 ，当时， 时，取最小值。 当时， 由，得 ，即 所以 （4）势能曲线简图如右图所示。3-12 在图3-22中，一个质量的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从a滑到b已知圆的半径，设物体在b处的速度，求在下滑过程中，摩擦力所作的功解：下滑过程中，物体受重力g、摩擦力f和正压力n 的作用， f与 n 都是变力，n 处处和物体运动方向相垂直，所以它不做功，但摩擦力做的功却因它是变力而使计算复杂起来。采用功能原理进行计算较为简便，把物体和地球作为系统，则物体在a点时系统的能量ea是系统的势能mgr，而在b点时系统的能量eb则是动能，它们的差值就是摩擦力所做的功，因此负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功42.4 j3-13 如图3-23所示，一劲度系数为k的弹簧，其一端固定在a点，另一端连一质量为m的物体，靠在光滑的半径为a的圆体表面上，弹簧原长为ab，在变力f作用下，物体极缓慢的沿表面从位置b移到c，求力f做的功图3-22 习题3-12用图图3-23 习题3-13用图解：选点b处系统的重力势能、弹性势能为零，由题意知点b处系统的机械能，点c处系统的机械能，利用机械能定理，得力f做的功为3-14 如图3-24所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为，从与水平面成倾角斜面上的点a由静止下滑设斜面对车的阻力为车重的0.25倍，矿车下滑距离时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置a再装贷试问要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大?解：取沿斜面向上为x轴正方向弹簧被压缩到最大形变时弹簧的上端为坐标原点o矿车在下滑和上行的全过程中，按题意，摩擦力所作的功为 式中、分别为矿车满载和空载时的质量，x为弹簧最大被压缩量 根据功能原理，在矿车运动的全过程中，摩擦力所作的功应等于系统机械能增量的负值，故有由于矿车返回原位时速度为零，故，而，故有 、两式联立，解得3-15 如图3-25所示，一质量为的物块放置在固定不动的斜面的最底端a处，斜面的倾角为，高度为，物块与斜面的动摩擦因数为，今有一质量为的子弹以速度沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小图3-24 习题3-14用图图3-25 习题3-15用图解：设碰后的共同速度为，在子弹与物块的撞击过程中，在沿斜面的方向上，根据动量守恒有在物块上滑的过程中，若令物块刚滑出斜面顶端时的速度为，并取a点的重力势能为零由系统的功能原理可得联立两式，可得3-16 如图3-26所示，有一冰块从半径为的半球形光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下，若摩擦力略去不计，求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度图3-26 习题3-16用图解：由系统的机械能守恒，有 根据牛顿定律，冰块沿径向的动力学方程为 冰块脱离球面时，支持力，由式、可得冰块的角位置图3-27 习题3-17用图冰块此时的速率为的方向与重力方向的夹角为3-17 劲度系数为的弹簧上端固定在天花板上，下端竖直悬挂着质量分别为的两个物体，如图3-27所示开始两个物体都处于静止状态，若突然撤除，求运动的最大速率解：取弹簧原长时其下端处为坐标原点，竖直向下为y轴的正方向。取弹簧为原长时作为重力和弹性势能零点，突然撤除后，与弹簧一起运动的过程中，满足机械能守恒，速度最大时其动能最大，而势能最小。与弹簧任意时刻的势能为由上式可求得，势能最小时，的位置为 所以 此时的机械能为 撤除后与弹簧的初始时刻的机械能为 图3-28 习题3-18用图联立、式，得3-18 如图3-28所示，把的小球放在a处时，弹簧被压缩然后从a处由静止被释放小球，在弹簧的弹性力作用下，小球沿轨道abcd运动小球与轨道间的摩擦略去不计，已知为半径的半圆弧，ab相距为求弹簧劲度系数的最小值解：小球要刚好通过最高点c时，轨道对小球支持力，因此，有取小球开始时所在位置a为重力势能的零点，由系统的机械能守恒定律，有由以上两式可得弹簧劲度系数的最小值 .图3-29 习题3-19用图3-19 一质量为的弹丸，穿过如图3-29所示的摆锤后，速率由减少到已知摆锤的质量为，摆线长度为，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少? 解：由水平方向的动量守恒定律，有式中 为摆锤在圆周最低点的运动速率为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动，在最高点时，摆线中的张力，则式中为摆锤在圆周最高点的运动速率又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中满足机械能守恒定律，故有联立上述三个方程求解，可得弹丸所需速率的最小值为 .3-20 如图3-30所示，质量为、速度为的钢球，射向质量为的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面内作无摩擦滑动求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离图3-30 习题3-20用图解：设弹簧的最大压缩量为小球与靶共同运动的速度为由动量守恒定律，有又由机械能守恒定律，有由以上两式可得3-21 地面上竖直安放着一个劲度系数为k的弹簧，其顶端连接一静止的质量为m的平板有个质量为m的物体，从距离顶端为h处自由落下，并与m作完全非弹性碰撞试证弹簧对地面的最大压力证明：第一过程：设质量为m的物体，从距离顶端为h处自由落下，与m碰撞前的速度为，由机械能守恒，得 第二过程：m与m作完全非弹性碰撞。设m与m的共同速度为，由动量守恒，得 第三过程：m与m碰撞后至m与m的共同速度减为零。设当m静止时，弹簧被压缩，则有；当碰撞后，m与m速度减为零时，弹簧再压缩，则有 所以弹簧对地面的压力 由机械能守恒，得 、式联立，得图3-31 习题3-22用图3-22 如图3-31所示，在光滑的水平面上有一轻质弹簧(其劲度系数为)，它的一端固定，另一端系一质量为的滑块最初滑块静止时，弹簧呈自然长度，今有一质量为的子弹以速度沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度时，求滑块速度的大小和方向解：子弹射入滑块瞬间因属非弹性碰撞，根据动量守恒定律有在弹簧的弹力作用下，滑块与子弹一起运动的过程中，若将弹簧包括在系统内，则系统满足机械能守恒定律，有又在滑块绕固定点作弧线运动中，系统满足角动量守恒定律，故有式中为滑块速度方向与弹簧线之间的夹角联立上述三式，可得3-23 轻弹簧下端固定在地面，上端连接一静止的质量为m的木板，如图3-32所示一质量为m的弹性小球从距木板h高度处以水平速度平抛，落在木板上与木板弹性碰撞，设木板没有左右摆动，求碰后弹簧的最大压缩量是多少？ 解：第一过程：m的平抛。m与m碰撞前其速度的水平及竖直方向分量分别为图3-32 习题3-23用图 第二过程：小球与木板的弹性碰撞过程，将小球与木板视为一个系统，动量守恒。因碰后木板没有左右摆动，小球水平速度不变，故只需考虑竖直方向动量守恒即可。设碰后小球速度竖直分量为，木板速度为v 弹性碰撞，系统动能不变，即 第三过程：碰后木板的振动过程。将木板、弹簧和地球视为一个系统，机械能守恒。取弹簧为原长时作为坐标原点和势能零点，并设木板静止时弹簧已有的压缩量为，碰后弹簧的最大压缩量为,见下图。由机械能守恒，得 可由碰撞前弹簧木板平衡时的受力情况求出： 联立至式并求解，得3-24 如图3-33所示，一个轻弹簧上端固定，下端系一个金属圆盘，弹簧伸长为一个质量和圆盘相同的泥球，从高于盘底处由静止下落到盘上求此盘向下运动的最大距离解：第一个过程为泥球自由下落过程。为从距离顶端为h处自由落下，与盘碰撞前的速图3-33 习题3-24用图度为，由机械能守恒，得 第二个过程为泥球与盘碰撞过程。将盘和泥球看做一个系统，因二者之间的冲力远大于它们所受的外力(包括重力和弹簧的弹力)，而且作用时间很短，可以认为动量守恒。设它们的质量均为m，它们碰撞后结合在起以共同的速度运动。沿y方向的动量守恒定律的分量式为 第三过程为泥球和盘共同下降的过程。选弹簧、泥球、盘和地球为系统。以泥球与盘共同开始运动为系统的始态，二者到达最低点时为末态。在此过程中只有重力、弹性力(均为保守力)做功，系统机械能守恒。以弹簧的原长为弹性势能的零点，以盘到达最低位置为重力势能的零点。则系统的机械能守恒表达式为 依题意，又由 将式、联立，代人数据，可得 或 （舍去）所以，盘向下运动的最大距离为3-25 质量为，速率为的粒子a，与另一个质量为其一半而静止的粒子b发生二维完全弹性碰撞，碰撞后粒子a的速率为求： 粒子b的速率及相对粒子a原来速度方向的偏角； 粒子a的偏转角解：取如图所示的坐标，在碰撞平面内根据系统动量守恒定律可取两个分量式有又由机械能守恒定律，有联立以上各式可得碰撞后b粒子的速率为各粒子相对原粒子方向的偏角分别为，盘向下运动的最大距离为第4章 刚体力学习题参考答案2-12 求一质量为m、半径为r的均匀半圆盘的质心解：建立如图所示坐标系，设薄板半径为r，质量为m面密度由质量分布的对称性可得板的质心在x轴上而 2-17 如图2-24所示，质量为m、线长为l的单摆，可绕点o在竖直平面内面内摆动，初始时刻摆线被拉至水平，然后自由落下，求： 摆线与水平线成角时，摆球所受到的力矩及摆球对点o的角动量； 摆球到达b时角速度的大小解：摆球受力如图2-24所示。摆线的张力t通过点o，因此其力矩为零；重力g对点o产生力矩，其大小为图2-24 习题2-17用图可见m随角而变化，其方向垂直纸面向里。由角动量定理，得 又，代入上式，并积分，得摆线与水平线成角时，摆球对点o的角动量为 当摆球摆到b时，因此摆球角动量摆球到达b时角速度的大小4-2 一半径为10cm的滑轮,转动惯量为kgm2，现有一变力（si单位制）沿着切线方向作用于滑轮的边缘.如果滑轮最初处于静止状态,试求滑轮在4s初的角速度.解：滑轮所受力矩大小为由转动定律 即 积分得s时rad/s4-3 如图4-32所示，质量为、长为的均匀细棒ab，转轴到中心o点的距离为并与棒垂直，试求细棒对于该转轴的转动惯量.解：如图在棒上距轴为x处取一长度元dx，如棒的质量线密度为，则该长度元的质量dm=dx=,转轴通过棒上距中心为h的点并和棒垂直时，有4-5 如图3-34所示，质量为、半径为的圆柱体中挖有四个半径均为的圆柱形空洞，空洞中心轴与圆柱体中心轴平行，且间距均为。试求圆柱体对其中心轴的转动惯量。解：如果用同样的材料将空洞填满，设四个小圆柱的质量为，则填满后的总质量为，则有即填满后大圆柱体对中心轴的转动惯量为由平行轴定理,填满后的四个小圆柱对大圆柱中心轴的转动惯量为由组合定理得4-12如图4-40所示,一质量均匀分布的圆盘，质量为，半径为，放在一粗糙的水平面上,圆盘可绕通过其中心的光滑转轴转动，圆盘与水平面间的摩擦系数为。开始时，圆盘保持静止，一质量为的子弹以水平速度垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌入其中。试求： 子弹击中圆盘后，圆盘所获得的角速度； 经过多长时间后，圆盘停止转动（略去子弹重力造成的摩擦阻力矩）?解：（1）子弹射入时，子弹与圆盘组成的系统满足角动量守恒，则有式中为子弹射入后系统对转轴的转动惯量。解得（2）子弹射入后，对圆盘应用由角动量定理得其中，为圆盘所受摩擦力矩。取圆盘中半径为、宽度为的圆环为质元,圆盘质量面密度为，忽略子弹在圆盘中受到的摩擦力，则圆盘所受摩擦力矩为则故有4-13 在半径为的具有光滑竖直中心轴的水平圆盘内,有一人静止站立在距转轴为处,人的质量为圆盘质量的，开始时盘载人相对地面以角速度匀速转动。如果此人垂直于圆盘半径相对盘以速率沿与圆盘转动的相反方向做圆周运动，如图4-41所示，已知圆盘对中心轴的转动惯量为,求： 圆盘相对地面的角速度； 欲使圆盘相对地面保持静止，人相对圆盘的速度的大小及方向应怎样？解：（1）设圆盘质量为，选人与圆盘组成的系统为研究对象，当人在盘上走动时，无外力矩，因此系统角动量守恒 即 圆盘对地角速度为 （2）欲使圆盘对地角速度为零应有 则 即人应与圆盘转动方向的相同方向作圆周运动。第5章 流体力学基础思考题 5-l 图5-17中三个容器的底面积相同，液面高度相同，容器底面受到的压力是否相同?它们对台面的压力是否相同?图5-17 思考题5-1用图答：因为液面高度相同，所以容器底面处的压强相等又由于底面积相同，故容器底面受到的压力相同因为各容器内液体的重量不同，所以它们对台面的压力不相同5-2 流线和迹线有什么区别与联系？答：流体力学中把流体微团的轨迹称为迹线，它是流体微团实际运动的轨迹流线是为了形象地描述流场而引进的一系列假想曲线，曲线上任一点的切线方向和流经该点的流体微团的速度方向一致各流线不会相交，且只能是光滑的曲线一般情况下，流线的形状分布随时间而变化，但在定常流动条件下，流线的形状及分布不随时间变化在定常流动中，任一条流线便表示了初始时刻位于该流线起点上的那一个流体微团的迹线，即任一条迹线必然是一条流线，因此，定常流动中流线和迹线是重合的然而，在非定常流动中，微团不一定沿着流线运动，即流线和迹线一般是不重合的5-3在流体力学中引入流管这一概念有什么意义?答：流管是由一组流线所围成的细管，它可以形象地描述流体的运动对于定常流动，流管的位置和形状保持不变这样，可将流体看成由若干个流管组成只要知道每一个流管中流体的运动规律，就能了解整个流体的运动规律从而把对整个流体的研究转化为对某一选定的流管中流体的研究5-4在定常流动中，空间任一确定点流体的速度矢量是恒定不变的，那么，流体微团是否可能有加速度?答：定常流动是指空间各点流体微团的速度、加速度、压强等不随时间变化的流动但速度、加速度、压强等会随空间变化，故速度矢量随空间点是变矢量，所以在定常流动中，流体微团也可能有加速度5-5从水龙头徐徐流出的水流，下落时逐渐变细，为什么？答：据连续性原理知，流速大处截面积小下落时水的流速逐渐增大，所以面积逐渐减少而变细.5-6两船相距较近而并行前进时就容易相撞，试说明之答：两船平行前进时，两条流线方向相同如果靠得较近，两船之间的水的流速将大于两船外侧的流速根据伯努利方程可知，两船之间压强将小于两船外侧的压强这样两船都将受到一个指向对方的一个压力的作用，极易造成两船碰撞5-7流体从粗管流向细管时，流速增大，使流体微团获得加速度的动力从何而来?答：由连续性方程可知流体从粗管流向细管时，流速增大这是由于截面积的减小，使单位体积的压强能转化为动能，从而使流速增大5-8如图5-18所示，在漏斗中放一乒乓球，颠倒过来，再通过漏斗管向下吹气，则发现乒乓球不但不被吹掉，反而牢牢地留在漏斗内，这是什么原因?答：因为球与漏斗壁之间的通道狭窄，此处空气相对于球的流速大于其它区域（球的下部）空气的流速根据伯努利方程可知，此处的压强将小于球下部的压强，这样，球将受到水水和气图5-19 水流抽气机简图 图5-18 思考题5-8用图 一个向上的举力5-9图5-19为水流抽气机的简图，试说明其工作原理? 答：根据伯努利方程可知，当水流高速通过水流抽气机细管口时，使其产生负压，把外面的气体吸入随水流带出去，达到抽气的目的5-10俗话说：“好船家会使八面风”，有经验的水手能够使用风力开船逆风行进，试用伯努利原理解释这一现象?答：如右图所示，当船逆风时（实际并不完全逆风，风向与船行进方向有一夹角），气流经过弯曲的帆（不是平的，一侧凸起，一侧凹陷）时，在帆凸起的一侧，气流速率要大些，而在凹进的一侧气流速率要小些这样根据伯努利方程可知，在帆凹进的一侧气流的压强要大于帆凸起一侧气流的压强，于是对帆就产生一个推力，该力指向船头的分力可以使船前进图5-20 思考题5-11用图5-11如图5-20所示，有3根竖直的管子连在一等截面的水平管道上，水平管道中流动着不可压缩的粘性液体，但3根竖直管中的液面高度却表明压强沿着管道逐步下降试说明之答：这是因为粘性液体在水平管道中流动时需要消耗能量，且流程愈长，消耗能量愈多所致为了维持粘性流体在管道中作的流动，要么必须在管子的两端维持一定的压强差以克服粘滞力的作用习题图5-21 习题5-1用图5-1水坝横截面如图5-21所示，坝长，水深，水的密度为求作用在坝身的水平推力不计大气压强 解：将坝身迎着水坡沿垂直纸面方向分成长度为坝长、宽度为的许多狭长面积元，其面积为则作用在此面积元上的力为 由于，为斜坡倾角，代入上式得方向与斜坡垂直，其沿水平方向的分力为作用在坝身的水平推力为代入数据，得 5-2 地球被包围在大气中，若认为大气温度不随高度而变，则大气密度与压强成正比，试求大气压强随高度的变化可认为重力加速度为一恒量解：由题意知 大气密度与大气压强成正比，即 式中为分别表示海平面及某一高度的大气密度和大气压强，则把上式代入，并积分得 所以 5-3 用一根跨过水坝的粗细均匀的虹吸管从水库里取水，如图5-22所示，已知水库的水深，虹吸管出水口的高度，坝高，设水在管内作定常流动 求三个位置处管内的压强； 若虹吸管的截面积，求从虹吸管流出的水的体积流量；图5-22习题5-3用图 虹吸管跨过河坝的最高点c最多能高出出水口多少米?设大气压为 解：在水库内的水面上取一点d连接d与虹吸管口（浸没在水库中的一端）作一条流线，其与虹吸管内的流线abc，形成一条完整的流线，如图中红色虚线所示在这条流线上运用伯努利方程对d、b两处应用伯努利方程，有由于水库截面积很大，液面