北航考研通信类大综合之电磁场(北航内部资料)第8讲标量位的性质.ppt

标量位的性质 电子信息工程学院 内容 重点及作用 内容 标量位的性质 极值定律 中值定律 唯一性定律 镜像法重点 从物理概念上理解标量位的三个性质 作用 对于电磁场的边值问题 在具体数值分析之前 首先从物理概念上有一个定性的判断 极值定理 如果标量位在区域V内不为常数 而且又满足拉普拉斯方程 则在V内不可能存在标量位的极大值和极小值 简单证明 反证法 假设标量位在处存在极值 根据极值的概念 应有 简单证明 如果为极大值 如果为极小值 简单证明 从物理概念上的分析 拉普拉斯方程是无荷域内电场满足的方程 如果V内存在标量位的极值点 在极值点的附近一定存在取值不等于极值点标量位值的标量位等值面 电场的方向指向标量位降低的方向 因此一定有电力线从这点发出或汇入这点 有电荷存在 平均值定理 如果标量位在区域V内满足拉普拉斯方程 则V内任意一点的电位值都等于V内以该点为球心的球面上电位值的平均值 格林定理 如果两个标量位函数在一个体积V内及V的表面S上是良态的 则有 由高斯定理 由高斯定理 平均值定理证明的难点 难点 如何巧妙的选取两个标量函数学习证明思路的要点 通过模仿例题的选取方法 反过来思考两个标量函数的选取 将坐标原点取在P点 S是的球面 体积为 两个标量函数的选取 平均值定理的证明 将坐标原点取在P点 S是的球面 体积为 两个标量函数的选取 在P点不收敛 将P点挖除 平均值定理的证明 在内 平均值定理的证明 同理等式右端第一项 平均值定理的证明 右端 左端使用积分中值定理 其中包括了两个负号的对消 一个来自面元 一个来自梯度 取极限 作业 证明平均值定理 平均值定理的应用 唯一性定理 如果一个标量函数在某区域内满足泊松方程 包括拉普拉斯方程 且在该区域边界上 该标量函数的值给定 则在该区域上的标量函数有唯一的解 如果在该区域的边界法向上 该标量函数的导数值给定 则在该区域中 除一个常数外 标量函数有唯一的解 该标量函数的梯度有唯一的解 唯一性定理的证明 反证法 假设在区域V内存在两个取值不同的电位 满足同样的场方程和边界条件 在V内 在边界上 或 反证法 因为满足拉普拉斯方程 根据极值定理 在V内不存在极值 极值出现在边界上 而在边界上等于零 所以在V内只能有 对第二类边界条件 满足 证明 证明 除了一个任意常数外 电位唯一 第一与第二类边界条件的混合边界条件 反证法证明 在边界上 证明思路 因为满足拉普拉斯方程 根据极值定理 在V内不存在极值 极值出现在边界上 而在边界上 只是在上等于零 所以此时还无法证明V内 证明 重点 所以等式右端为零 等式右端 结论 唯一性定理的应用 镜象法 用一组适当配置的电荷系统替代需要求解的给定系统 简化求解过程 这组电荷系统的解应与所要求的解满足相同方程和边界条件 举例 例1 无穷大接地平面上的点电荷的场 例2 接地角域内放置点电荷的场 只要角域的角度为 n为正整数 均可以用镜象法求解 镜象电荷系统为2n个正负相间的点电荷 接地角域 接地导体球外放置一点电荷 接地导体球内放置一点电荷 关