一元三点插值公式的一种修正方法

一元三点插值公式的一种修正方法2005年第4期水科学与工程技术45 文章编号:16729900(2005)040045-02 三水力计算三 .品县盘围固盘彘国.圆唇髓 李惜民 (河北省邢台水文水资源勘测局,河北邢台054001) 摘要:一元三点插值公式是水文水力计算中最常用的插值公式,由于项次的有限性,造成接点前后公式的非连续性.根据二次 三项式的性质,首利用一元三点插值公式计算两端点曲率,按正反双向分别计算各结点曲率,再对各结点两曲率值平均修正,采 用曲率修正值给出结点间插值公式进行插值,保证了曲线光滑,插值同一. 关键词一元三点插值公式;修正;接点;结点;曲率 中图分类号:TV13文献标识码:A 1前言 在水文水力计算中,经常遇到相关计算的问题,对于 其中的单一关系曲线,以往都采用图解的方法,随着计算 机的广泛应用,目前普遍采用对关系曲线选配方程,然后 进行各种计算的方法.由于受某种和多种因素的影响,关 系曲线可能很复杂,很难用数学模型概化,因此多采用分 线插值的方法,即先由人工定线,再从曲线上选取若干结 点.按某种插值公式进行插值计算.目前常用的插值公式 有拉格朗日插值公式和三阶样条插值公式.其中一元三点 插值公式是目前插值计算最常用的最高次为2的拉格朗日 多项式公式. 2一元三点插值公式及存在的问题 2.1一元三点插值公式及插算原则 拉格朗日插值多项式的形式为: m)(x-xIJ,)(x-x- . (x-x.)nJyo( Xo-X2)IJ +二二.:二,. I0)I2)r?n). .+兰璺(1) ,广I)2),卜I). 若在式(1)中取n=2,则拉格朗日多项式是最高次为2 的抛物线,此时参与插值的只有.,23个结点,故称n=2 的插值公式为一元三点插值公式.其公式为 =二二!j0I+二二2 HJ(If+1)(x-xI)r?J +.I(2) f+lJ(xi+FxO 插值计算时,是选取最靠近插值点的3个结点代入式 (2),因此对于一条曲线就有多个插值公式,采用分段插值 的方法,将该曲线使用范围内的每一组对应值插算出来. (收稿日期2o05一O129 (作者简介李惜民(1964-),男(汉族),河北宁晋人,工程师,主要从事水文监测工作,(Te1 iIHIl4P-IJIlIrIIiIiIi4P-Ili4P-IiII4P-一4P-IIII”4P-IlIJ4P-IIH 条件,当泄水流量最大值不超过6700m/h时,自动进排气 阀门A的口径均能满足进排气要求. 当管路流量为6700m3/h时,主管路(DN】000)水头损 失为日=1.62m,泄水管路(DN400)水头损失H=67.93m, 总水头损失为69.55m.由于自动进排气阀门A至泄水阀门 之间的水位差达到90m,考虑进气口损失压力差3m,903= 87>69.55.依上述计算结果,如果不考虑开阀至全开过程 中水位下降因素,总管路损失不足以克服水位差,即实际 泄水流量会超过6700m3/h,实际发生的首端管道最大负压 会超过3.0m水柱压力,危及管道安全. 解决方法有缓开泄水阀和加大进气阀孔口径两种措 施.按加大进气阀孔口径解决. 将自动进排气阀门A换成DN200再进行验算.查得安 全进(注)气量Q=13000m3/h,主管路水头损失为H= 6.09m,泄水管路水头损失为H=255.76m,总水头损失为 261.85m,远大于90m水位差,即实际流量会小于13000m3/h. 这样DN200的进排气阀不会产生危及管道的负压,是安全 的.结论是将进排气阀的进(注)气口径换成DN200的. 8结语 长距离,大流量输水管路上选择进排气阀,往往要根 据排气阀门的工作压力确定型式,根据进气速度选择口 径.进气速度一般受主管道口径影响不大,却与主管道纵 断平均坡降,泄水阀及泄水管路的口径,长度等因素有较 大的关系. 参考文献: 1】怀利EB,斯特里特VL_瞬变流M】.水利电力出版社,1987. 2】郑源,刘德有,张健,索丽生.有压输水管道系统气液两相瞬变 流研究综述J】.河海大学(自然科学版),V0L3O,(6). 3】吴持恭.水力学M】.高等教育出版社,1998. 46李惜民:一元三点插值公式的一种修正方法2005年第4期 选取结点应从小到大顺序选取,曲线的两个端点必 须选人,其间可随曲线曲率变化而定,端点附近与曲率 变化较大处应选密一些,反之可选稀一些,选取结点数 量应满足计算精度的要求且以等差为佳.结点不得少于3 个. 2.2存在的问题 由于项次的有限性,造成了接点前后公式的非连续 性,使接点插值不同一,结点间使用的插值公式不同一,给 插值带来一定的困难. 3一元三点插值公式的修正方法 当选取结点多于3个(n3)时,根据二次三项式的性 质,首先利用开始的3个结点XO,X2和最后的3个结点., ,Xn,采用一元三点插值公式分别计算两端点曲率,经求 导整理其公式为: yO一yo xo-x2 .y XO-X2(x:xo)(X-X2)l +Y2(3) 2-xo)(x21) _Xn-JXn-IJyn-2+Xn-X-2Jyn_ 厂lJJln一2JlJ +(4) ,ln 当三结点xo,x等差时,公式(3)可简化为: 4y:3 yo-y2(5) 2(xlXo) 当三结点X-2,X,卜等差时,公式(4)可简化为: 丝2二(6).0) 2tx+lJ 作为xi,x之间插值公式进行插值计算. 由于结点左,右导数相等,结点间公式同一,保证了曲 线光滑,插值同一. 采用一元三点插值公式修正方法,可参照一元三点 插值公式结点选取原则进行结点选取,结点数目可适当减 少,但注意反曲段的拐点及拐点两侧必须加摘.为计算方 便,开始的3个结点,最后3个结点最好分别等差. 4计算实例 根据某站实测流量,点绘水位流量关系曲线,从关系曲 线查读水位62.2,62.3,62.4,62.5,62.6,62.7,62.8,62.9m的相 应流量分别为:4.68,6.80,9.90,13.7,17.8,22.2,26.8,31.Sm3/s, 计算结点曲率,插补其它水位的相应流量(表1,表2). 表l某站水位流量关系曲线结点曲率计算表 62.24.684.855.O35.225.425.635.846.076-3O6.5516.6 62.36.8O7.O67.347.627.928.228.548.869.2O9.5425.8 62.49.901O.261O.63l1.ool1-38l1.7612.1412.5212.9113-3O36.2 62.513.7014.1014.5O14.9O15-3115.7216.1316.5416.9617-3839.8 62.617.8O18.2218.6519.O819.5219.962O.4020.8421.2921.7442.2 62.722.2O22.6623.1223.5824.0424.5O24.9625.4225.8826.3445.8 62.826.8O27.2627.7328.1928.6629.1329,6O3O.0730.5531.O246.2 62.931.5O47.8 采用一元三点插值公式插补其它水位的相应流量 (表3,表4). 表3某站水位流量关系计算表(原方法) 62.2 62_3 62_4 62.5 62.6 62.7 62.8 62.9 5结语 一 元三点插值公式修正方