中考数学函数讲座.ppt

函数是初中数学的重点 也是难点 更是中考命题的主要考查对象 由于这类题型能较好地考查学生的函数思想 数形结合思想 分类讨论思想 转化思想 能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度 因此是各地中考的热点题型 压轴题的主要来源 并且长盛不衰 年年有新花样 三 函数中易错题 二 各种常见题型及基本方法 一 中考内容和要求 一 中考内容和要求 函数 二 各种常见题型 1 有关函数概念的应用 例 1 下列各曲线中不能表示y是x函数是 2 若函数y k 2 x k 1是关于x的正比例函数 试求k的值 正比例函数的定义所包含的两个方面是衡量一个函数是不是正比例函数的标准 同时也是解决与正比例函数定义有关的计算问题的根据 2 求自变量取值范围 1 解析式 使解析式有意义 2 图象 图象端点向x轴引垂线 由垂足对应的数看x的取值范围 3 应用 使实际问题有意义 例 利用代数式有意义的条件问题 1 若解析式是整式 则自变量取全体实数 2 若解析式是分式 则自变量取使分母不为0的全体实数 3 若解析式是二次根式 则自变量只取使被开方数为非负数的全体实数 4 若解析式含有零指数或负整数指数幂 则自变量应是使底数不等于0的全体实数 5 若解析式是由多个条件限制 必须首先求出式子中各部分自变量的取值范围 然后再取其公共部分 这些应让学生熟练掌握 3 基础知识 基本技能的落实 例1 若反比例函数y 的图象经过 2 1 则k的值为 a 2 b 2 c 0 5 d 0 5 2 反比例函数y 图象上一个点的坐标是 6 3 已知反比例函数y 的图象经过点p a 1 a 则a的值为 8 x x 函数的图象和性质是函数学习的基础内容 也是重点内容 是中考的热点 应做好落实 4 求函数解析式 1 待定系数法 例 已知一抛物线与x轴的交点是a 2 0 b 1 0 且经过c 2 8 求该抛物线的解析式 主要考查学生待定系数法求函数解析式的能力 待定系数法求函数解析式 是一种基本方法 应要求学生掌握 根据不同条件 选择不同设法 1 若已经图象上的三个点 则设所求的二次函数为一般式y ax2 bx c a 0 将已知条件代入 列方程组 求出a b c的值 2 若已知图象的顶点坐标或对称轴方程 函数最值 则设所求二次函数为顶点式y a x m 2 k a 0 将已知条件代入 求出待定系数 3 若已知抛物线与x轴的交点 则设抛物线成解析式为交点式y a x x1 x x2 a 0 再将另一条件代入 可求出a值 要求学生能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式 2 根据表格确定解析式 例 某商店出售一种瓜子 其售价y 元 与瓜子质量x 千克 之间的关系如下表 由上表得y与x之间的关系式是 认真分析题意 弄清两个变量之间的变化规律是正确写出解析式的关键 3 确定实际背景下的函数关系式 例 一个矩形的长为xcm 宽比长少2cm 写出这个矩形的面积y 平方厘米 与边长x之间的函数关系式 对于实际问题的函数关系式的确定 应由实际问题的变量之间的等量关系来确定 5 分段函数 自变量在不同的范围内取值时 函数y和x有不同的对应关系 这种函数称为分段函数 认真审题 理解题意 看懂坐标轴及图象上的点和线段所表示的实际意义 是解决这类问题的关键 也是历届中考的要求 注意分段函数是由自变量的取值决定的 例 2010 湖州 一辆快车从甲地驶往乙地 一辆慢车从乙地驶往甲地 两车同时出发 匀速行驶 设行驶的时间为x 时 两车之间的距离为y 千米 图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系 1 根据图中信息 求线段ab所在直线的函数解析式和甲 乙两地之间的距离 2 已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米 若快车从甲地到达乙地所需时间为t时 求t的值 3 若快车到达乙地后立刻返回甲地 慢车到达甲地后停止行驶 请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图象 温馨提示 请画在答题卷相对应的图上 根据函数图象体验情景再现 这题考查学生 借数定形 借形求数 的能力 数形结合方法是函数学习的一种重要方法 数形结合题型是函数的重要题型注重学生数形结合能力的培养 6 建立函数模型 解决实际问题 用数学知识解决身边的生活实际问题 是我们学习数学的宗旨和最终目的 也是中考的热点 解决这类问题就是要善于把实际问题进行函数建模 利用函数知识解题 例 如图 某公路隧道横截面为抛物线 其最大高度为6米 底部宽度om为12米 现以o点为原点 om所在直线为x轴建立直角坐标系 1 直接写出点m及抛物线顶点p的坐标 2 求这条抛物线的解析式 3 若要搭建一个矩形 支撑架 ad dc cb 使c d点在抛物线上 a b点在地面om上 则这个 支撑架 总长的最大值是多少 根据图形特点 建立恰当的平面直角坐标系 将实际问题转化为数学问题 建立平面直角坐标系时 要尽量将图形放置于特殊位置 这样便于解题 7 利用函数进行方案设计 方案设计型问题是设置一个实际问题的情景 给出若干信息 提出解决问题的要求 寻求恰当的解决方案 有时还给出几个不同的解决方案 要求判断其中哪个方案最优 方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力 2 为了缓解停车矛盾 该小区决定投资15万元再建造若干个停车位 据测算 建造费用分别为室内车位5000元 个 露天车位1000元 个 考虑到实际因素 计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍 但不超过室内车位的2 5倍 求该小区最多可建两种车位各多少个 试写出所有可能的方案 例 2009湖州 随着人民生活水平的不断提高 我市家庭轿车的拥有量逐年增加 据统计 某小区2006年底拥有家庭轿车64辆 2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆 以社会热点问题为背景 设计函数与方程 不等式等综合应用 既考查了知识的灵活运用能力 又体现了鲜明的时代气息 这类问题是中考的热点题型 1 若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同 求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆 6 8 函数与几何的结合及存在性问题 图形变换的结合 例 如图 四边形oabc是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片 点a在x轴上 点c在y轴上 将边bc折叠 使点b落在边oa的点d处 已知折痕ce 5 5 tan eda 0 75 1 判断 ocd与 ade是否相似 请说明理由 2 求直线ce与x轴交点p的坐标 3 是否存在过点d的直线l 使直线l 直线ce与x轴所围成的三角形和直线l 直线ce与y轴所围成的三角形相似 如果存在 请直接写出其解析式并画出相应的直线 如果不存在 请说明理由 存在探索题是指在一定条件下 需探索发现某种数学关系是否存在的问题 解题方法一般先对结论作肯定存在的假设 然后由此肯定的假设出发 结合已知条件进行推理论证 若导出矛盾 则否定先前假设 若推出合理的结论 则说明假设正确 引出问题的结论 9 函数型综合问题 函数型综合题 主要以函数为主线 利用函数的图像与性质 解题时要注意函数的图象信息 例 如图 已知抛物线y x2 bx c与坐标轴交于a b c三点 a点的坐标为 1 0 过点c的直线y x 3与x轴交于点q 点p是线段bc上的一个动点 过p作ph ob于点h 若pb 5t 且0 t 1 1 填空 点c的坐标是 b c 2 求线段qh的长 用含t的式子表示 3 依点p的变化 是否存在t的值 使以p h q为顶点的三角形与 coq相似 若存在 求出所有t的值 若不存在 说明理由 解决这类问题 除了需要具有一定的基础知识 基本技能外 还需要有敏锐的观察力 娴熟的运算以及较强的综合能力 是中考压轴题的首选 应注意加强学生综合运用能力的培养 三 函数中的易错题 1 易出错的双比例函数解析式 例已知y y1 y2 y1与x成正比例 y2与x成反比例 且x 1时 y 3 x 1时 y 1 求x 0 5时y的值 学生往往错在设函数关系式时取相同的比例系数 2 用配方法求二次函数y x2 x 图像的顶点坐标及对称轴 y x2 x x2 4x 3 x 2 2 1 配方法是重要的数学方法 必须要求学生熟练掌握 3 2010 武汉 某宾馆有50个房间供游客住宿 当每个房间的房价为每天180元时 房间会全部住满 当每个房间每天的房价每增加10元时 就会有一个房间空闲 宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用 根据规定 每个房间每天的房价不得高于340元 设每个房间的房价每天增加x元 x为10的正整数倍 1 设一天订住的房间数为y 直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围 2 设宾馆一天的利润为w元 求w与x的函数关系式 3 一天订住多少个房间时 宾馆的利润最大 最大利润是多少元 解 1 y 50 x 0 x 160 且x是10的整数倍 2 w 50 x 180 x 20 x2 34x 8000 3 w x2 34x 8000 x 170 2 10890 当x 170时 w随x的增大而增大 但0 x 160 当x 160时 wmax 10880 当x 160时 y 50 x 34 答 一天订住34个房间时 宾馆每天利润最大 最大利润是10880元 求二次函数的最值时 强调学生留意自变量的取值范围 4 例 已知抛物线y ax2 bx c与x轴交于a 1 0 和b 3 0 它的顶点到x轴的距离等于4 直线y kx m经过抛物线与y轴的交点和抛物线的顶点 求抛物线和直线的解析式 解答此题最容易犯的错误就是忽略抛物线的顶点在x轴上方 下方两种情况 而只考虑顶点在x轴上方的情况 顾此失彼 所以应当培养思维的严谨性 例 如图 抛物线 y ax 2 5 ax 4 经过 abc 的三个顶 点 已知 b c x 轴 点 a 在 x 轴上 点 c 在 y 轴上 且 ac bc 1 求抛物线的对称轴 2 写出 a b 3 探究 若点 p 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点 是否存在 pab 是等腰三角形 若存在 求出所有符合条 件的点 p 坐标 不存在 请说明理由 分类讨论是中学数学常用的一种数学思想方法之一 在研究此类问题的解法时 需认真审题全面考虑 对可