概率论与数理统计学习课件.ppt

概率论与数理统计 第一章概率论的基本概念 古典概型 第二章随机变量及其分布 随机变量概率分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量的函数 x x e 为s上的单值函数 x为实数 本质 将试验结果数量化 随机变量 设随机试验的样本空间为s e 如果对于每一个样本点 均有唯一的实数与之对应 称为样本空间s上的随机变量 1 它是一个变量2 它的取值随试验结果而改变3 随机变量在某一范围内取值 表示一个随机事件 随机变量的特征 随机变量的分布函数 一个普通的函数 一个随机事件 离散型随机变量及其分布 定义 取值可数 可列 的随机变量为离散量离散量的概率分布 分布律 概率分布 三个主要的离散型随机变量0 1 p 分布二项分布 样本空间中只有两个样本点 p q 1 背景 样本空间只有两个样本点的情况 都可以用0 1分布分布来描述 设a在n重贝努利试验中发生x次 则并称x服从参数为p的二项分布 记 泊松分布 poisson分布 若随机变量x的概率分布律为称x服从参数为 的泊松分布 记 连续型随机变量及其概率密度 定义 对于随机变量x的分布函数若存在非负的函数使对于任意实数有 其中称为x的概率密度函数 简称概率密度 则称x为连续型随机变量 与物理学中的质量线密度的定义相类似 三个重要的连续量均匀分布 一维几何概型 定义 x具有概率密度称x在区间 a b 上服从均匀分布 记为x u a b 指数分布定义 设x的概率密度为其中 0为常数 则称x服从参数为 的指数分布 记为 x具有如下的无记忆性 正态分布 随机变量的函数分布 一般 若已知x的概率分布 y g x 求y的概率分布的过程为 关键是找出等价事件 第三章多维随机变量及其分布 二维随机变量分布函数分布律概率密度边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度条件分布函数条件分布律条件概率密度随机变量的独立性z x y的概率密度m max x y 的概率密度n min x y 的概率密度 数学期望方差协方差相关系数矩 第四章随机变量的数字特征 定义 定义 数学期望简称期望 又称均值 数学期望 数学期望的特性 这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况 定义 设x是一个随机变量 若e x e x 2 存在 则称e x e x 2 为x的方差 记为d x 或var x 即 d x var x e x e x 2 称为x的标准差或均方差 定理 对于离散型随机变量x 对于连续型随机变量x 方差 方差的性质 几种常见分布的均值与方差 数学期望方差 分布率或密度函数 分布 协方差及相关系数 定义 协方差的性质 相关系数的性质 矩 第六章数理统计的基本概念 总体样本统计量 总体和样本 总体 研究对象的全体 如一批灯泡 个体 组成总体的每个元素 如某个灯泡 抽样 从总体x中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程 随机样本 随机抽取的n个个体的集合 x1 x2 xn n为样本容量简单随机样本 满足以下两个条件的随机样本 x1 x2 xn 称为简单随机样本 1 每个xi与x同分布2 x1 x2 xn是相互独立的随机变量 说明 后面提到的样本均指简单随机样本 由概率论知 若总体x具有概率密度f x 则样本 x1 x2 xn 具有联合密度函数 统计量 样本的不含任何未知参数的函数 常用统计量 设 x1 x2 xn 为取自总体x的样本 常用的分布 正态总体样本均值和方差的分布 第七章参数估计 矩估计法极大似然估计法置信区间置信度 参数的点估计 求极大似然估计的一般步骤归纳如下 估计量的评选标准 对总体的未知参数可用不同方法求得不同的估计量 如何评价好坏 通常用三条标准检验 无偏性 有效性 相合性无偏性 在评价一个估计量的好坏时 我们当然希望估计量与被估参数越接近越好 但估计量是一个随机变量 它的取值随样本的观测值而变 有时与被估参数的真值近些 有时远些 我们只能从平均意义上看估计量是否与被估参数尽量接近 最好是等于被估参数 于是有无偏估计量的概念 有效性 一个参数的无偏估计量不是唯一的 假若参数 有两个无偏估计量 我们认为其观测值更密集在参数 真值附近的一个较为理想 由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度的度量 所以无偏估计以方差小者为好 这就引出了估计量的有效性这一概念 一致性 估计量的无偏性和有效性都是在样本容量固定的前提下提出的 我们自然希望随着样本容量的增大 一个估计量的值稳定于待估参数的真值 这就对估计量提出了一致性的要求 区间估计 单侧置信区间 这时必有 正态总体均值方差的区间估计 正态总体均值 方差的置信区间与单侧置信限 随机过程状态和状态空间样本函数有限维分布函数均值函数方差函数自相关函数自协方差函数互相关函数互协方差函数正态过程独立增量过程泊松过程维纳过程 第十二章随机过程及其统计描述 一维 二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容 而随机序列 随机过程则是随机过程学科的研究内容 从前面的描述中看到 它的每一样本点所对应的 是一个数列或是一个关于t的函数 随机过程的概念 随机过程的统计描述 二 随机过程的数字特征 三 二维随机过程的分布函数和数字特征 3泊松过程及维纳过程 独立增量过程的性质 泊松过程的定义 泊松过程 定理一 强度为 的泊松流 泊松过程 的点间间距是相互独立的随机变量 且服从同一指数分布定理二 如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立 且服从同一个指数分布 这两个定理刻画出了泊松过程的特征 定理二告诉我们 要确定一个计数过程是不是