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-本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档,如需本文,请下载-谈曲线积分与曲面积分的运算的论文本文从网络收集而来,上传到平台为了帮到更多的人,如果您需要使用本文档,请点击下载按钮下载本文档(有偿下载),另外祝您生活愉快,工作顺利,万事如意!谈曲线积分与曲面积分的运算在数学分析中,我们学过曲线和曲面积分的计算.但是这种计算要把方程化为参数方程后再计算.有时这种方法较困难,且不易计算.下面笔者根据自己多年的经验,提出了一些关于曲线与曲面积分的运算方法,希望能够起到抛砖引玉的效果。 一、曲面积分的运算 (一)利用轮换对称性简化第二类曲面积分运算 第二类曲面积分 也有类似于重积分的轮换对称性。这里的轮换是指: 1.被积表达式满足轮换对称性,即将补积表达式中的所有字母 按轮换次序xyzx代换后,积分不变; 2.积分曲面及其指定侧也具有轮换对称性,这是指在各坐标面上的投影区域相同,且配给的符号也相同。 若 满足上述轮换对称性, 则 上述轮换对称性通俗的说就是被积表达式的变量互换位置,被积式不变;且区域边界方程中的变量互换位置,区域也不变,从而互换后积分值当然也不变。 例1:计算其中是平面x=0,y=0,x+y+z=1所围的空间区域的整个边界面的外侧。 解:因变量按次序xyzx轮换时被积表达式不变,且积分曲面在各坐标面上的投影区域相同,配给的符号也相同,故积分曲面及其指定侧亦具有轮换对称性,所以积分具有轮换对称性。 ,其中=1+2+3+4 因2,3垂直于面xoy,故 又因在1上有z=0, 于是 从此例观察,先用轮换对称性简化积分后,再采用其它方法来计算此类积分,可使计算量大大降低。可见,用轮换对称性来计算某些满足该条件的第二类曲面积分,是一种切实可行的计算方法。 (二)高斯公式法 定理(高斯公式):设空间区域v由分片光滑的双侧封闭曲线s围成,若函数 p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z)在v上连续,且有一阶连续偏导数,则: (1) 其中s取外侧。(1)式成为高斯公式。高斯公式也可以表示成: (2) 其中(cos,cos,cos)是s外法线的单位向量。 应用高斯公式时,应注意条件:s必须是封闭曲面,若所讨论的曲面不是封闭曲面,应当适当补上某块曲面,使它成为封闭曲面;p、q、r在v上连续且偏导数也连续,若它们及其偏导数在某点不连续,应当利用“挖去奇点”的技巧,在余下的区域内应用高斯公式。 例2:计算曲面积分 ,其中是曲面z=1-x2-y2(z0)的上侧。 解:取1为xoy平面上被圆x2+y2=0所围部分的下侧,记为由与1围成的空间闭区域,则 由高斯公式知: 2, 而, 故。i=2-3=- 二、曲线积分的运算 利用green公式求解 定理(green公式),设闭区域d由分段光滑的曲线l围成,函数p(x,y)及q(x,y)在d上具有一阶连续偏导数,则: ,其中l是d的取正向的边界曲线。 利用green公式可以把曲线积分转化为二重积分。 例3:已知平面区域d=(x,y)|0x,0y,l为d的正向边界。试证: (1) (2) 解:(1)根据格林公式,得: 因为d具有轮换对称性,所以: , 故: (2)由(1)知: (利用轮换对称性) = 本文从网络收集而来,上传到平台为了帮到更多的人,如果您需要使用本文档,请点
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