值得商榷的数学高考题.docx

值得商榷的数学高考题这几年的高考题越来越注重考查学生的能力和基础知识但不可否认地说，仍然有需要改进的地方有些题目不够好或可以改进我这里谈一点个人意见，希望引起大家讨论、批评一 概率统计题中的问题由于概率统计题，目前仍是问题比较多，因此，这里先集中谈谈这方面的问题 (一)数学上定位不准确陕西第5题. 如图, 在矩形区域abcd的a, c两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ade和扇形区域cbf(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是( a )评注：几何概率模型考查的是，如何把一个随机现象中求概率的问题转化为计算几何对象测度(长度、面积等)的问题而这道题重点是计算面积，基本谈不上对随机现象的认识这样的问题去年也存在，如2012年湖北理8.如图，在圆心角为直角的扇形oab中，分别以oa，ob为直径作两个半圆在扇形oab内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 a辽宁 填空第16题为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 10 .评注：统计的作用是提取信息信息指的是我们要考查对象(总体)中的信息样本则是随机抽取的因此，求样本的最大值就没有任何意义每次抽样样本不同，随机的最大值也会不同因此，这道题问题的提法就是错误的另外，在实际问题中，是知道了样本去求样本平均数和方差，怎么会倒过来，由均值、方差等去求最大值呢？这纯粹变成了数字游戏和统计问题相差万里(二)概率统计问题中比较突出的是，生编硬造的痕迹严重湖南理18(本小题满分12分) 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点 (指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获y (单位：kg)与它的“相近”作物株数x之间的关系如下表所示：x1234y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米(i)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(ii)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望江西理19(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为x若x=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求x的分布列和数学期望浙江第19题 此题的第二问(本小题满分14分)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分(1)当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量x为取出此2球所得分数之和，求x分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若求a：b：c江苏 填空7 现在某类病毒记作xmyn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为评注：这些题目，人为编造痕迹严重，无论是，问随机取一株作物求相接近的 概率或年收获量(湖南18题)，还是向量与合唱团(江西18题)，都极不自然，很难让人认同浙江18题第二问，已知均值】方差，倒过来求a,b,c的关系也极不自然而江苏的填空题，出现的病毒，也不知要做什么(三) 个别题目有些难我们看一下安徽21题下面是出题者给出的分析和答案重点看第二问安徽理21(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x(i)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(ii)求使p(x=m)取得最大值的整数m分析：(i)由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；(ii)由题意，要先研究随机变量x的取值范围，由于kn故要分两类k=n与kn进行研究，k=n时易求，kn时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出p(x=m)，再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可解：(i)因为事件a：“学生甲收到李老师所发信息”与事件b：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于故因此学生甲收到活动信息的概率是(ii)当k=n时，m只能取n，此时有p(x=m)=p(x=n)=1当kn时，整数m满足kmt，其中t是2k和m中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为当x=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2km，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为mk，由乘法原理知：事件x=m所包含的基本事件数为当kmt时，p(x=m)p(x=m+1)(mk+1)2(nm)(2km)m假如成立，则当(k+1)2能被n+2整除时，故p(x=m)在和处达到最大值；当(k+1)2不能被n+2整除时，p(x=m)在处达到最大值(注：x表示不超过x的最大整数)，下面证明因为1kn，所以而故显然因此点评：本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分评注：这道题在两个方面比较难了首先，如果考虑一个老师，例如李老师，先取了k个学生，那么张老师选取到的学生中，没有被李老师选到的人数，服从超几何分布也就是说，这个问题可以转化为学生熟知的超几何分布讨论就很简单了但是学生很难看出这一点从这份答案来看，连出题者都没有能如此做说明此题是难了其次，后面的问题由求最大值转化为判断单调区间的问题而这里涉及的是离散变量因此，整个的困难变成了对参数的讨论，完全离开了概率的分析而且这个讨论超出了中学生的水平，难了如果能对参数给出具体的值，如n=100,k=60等，把问题集中于概率的分析，即突出了对概率的考查，又降低了难度，此题能成为一道不错的概率题二 考试内容超出了课程标准和考试大纲(一) 递推公式广东 理科第19题(本小题满分14分)设数列的前项和为.已知,.() 求的值；() 求数列的通项公式；() 证明:对一切正整数,有评注：递推公式曾在高考题中一再出现也曾多次受到批评 此题是，今年高考卷中唯一出现的数列的递推公式考题关于递推公式，我们所以会不止一次地提出批评其根本原因是， 它不是数学研究的方向，无论是问题本身，还是其技巧方法，都不值得人们为此而花费精力举一个类似的例子：我们知道五次和五次以上的代数方程都无法用方程的系数给出其根的解析表达式(除了一些极特殊的方程)因此，找一些特殊的高次方程去求其解析解，就没有什么意义了它不是数学研究的方向同样地，对微分方程与差分方程(递推公式就是差分方程)，除了对一阶线性或某些特殊的方程(如贝努里方程)有通解公式外，主要是给出了高阶常系数线性方程的通解公式，而对一般的方程，特别是非线性方程，无法给出通解的表达式因此，讨论一些特殊的方程(递推公式)，去求其通项公式，不是数学研究的方向没有意义对差分方程(递推公式)来说，数学上，研究的是，这些解的极限行为(趋于一个稳定值、呈现周期现象等)以及初始值或参数对解的影响这属于离散拓扑动力系统，讨论的问题涉及到我们常听说的混沌、分形等正是基于以上理由，我们反对在高中讨论这种意义不大的问题，即反对求一般的递推公式新课标高考后，递推公式一度离开了高考但前一两年又有所出现我们曾给出批评今年递推公式几乎不再出现，这是一个好现象只有广东这次还有递推公式的题因此，我们提出批评希望以后能够杜绝(二)大学或竞赛的题目这类题的出现也超出了高中课程标准和考试大纲的要求不过，它一般不是指知识内容的超纲，而是一些比较难的技巧和方法而这些技巧和方法又往往不是最基本、最本质的东西福建理科15题当xr,x0时，由函数可得故函数f(x)在(0，+)上是增函数由于f1(0)=0，当n2时，即fn(1)0又根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的满足fn(xn)=0(2)对于任意pn*，由(1)中xn构成数列xn，当x0时，因为所以fn+1(xn)fn(xn)=fn+1(xn+1)=0由 fn+1(x) 在(0，+)上单调递增，可得 xn+10，故数列xn为减数列，即对任意的 n、pn*，xnxn+p0由于 用减去并移项，利用01)的最小值；()证明：()设xr，记x为不小于x的最小整数，例如令 求s的值(参考数据：631.7)解；()由题意得f(x)=(r+1)(1+x)r(r+1)=(r+1)(1+x)r1，令f(x)=0，解得x=0当1x0时，f(x)0时，f(x)0，f(x)在(0，+)内是增函数故函数f(x)在x=0处，取得最小值为f(0)=0()由()，当x(1，+)时，有f(x)f(0)=0，即(1+x)r+11+(r+1)x，且等号当且仅当x=0时成立，故当x1且x0，有(1+x)r+11+(r+1)x，在中，令(这时x1且x0)，得上式两边同乘nr+1，得(n+1)r+1nr+1+nr(r+1)，即当n1时，在中令(这时x1且x0)，类似可得且当n=1时，也成立综合，得()在中，令n分别取值81，82，83，125，得将以上各式相加，并整理得代入数据计算，可得由s的定义，得s=211重庆理22(本小题满分12分)对正整数n，记in=1，2，3，n，(1)求集合p7中元素的个数；(2)若pm的子集a中任意两个元素之和不是整数的平方，则称a为“稀疏集”求n的最大值，使pm能分成两人上不相交的稀疏集的并解：(1)对于集合p7 ，有n=7当k=4时，中有3个数(1，2，3)与i7=1，2，3，7中的数重复，由此求得集合p7中元素的个数为 773=46又法：当k=4时，有3个数与k=1相同，共有(2)先证当n15时，pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集否则，设a和b为两个不相交的稀疏集，使ab=pnin 不妨设1a，则由于1+3=22，3a，即3b同理可得，6a，10b又推出15a，但1+15=42，这与a为稀疏集相矛盾再证p14满足要求当k=1时，可以分成2个稀疏集的并集事实上，只要取a1=1，2，4，6，9，11，13，b1=3，5，7，8，10，12，14，则a1和b1都是稀疏集，且a1b1=i14当k=4时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合可以分为下列2个稀疏集的并：当k=9时，集合，除整数外，剩下的数组成集合可以分为下列2个稀疏集的并：最后，集合中的数的分母都是无理数，它与pn中的任何其他数之和都不是整数，因此，令a=a1a2a3c，b=b1b2b3，则a和b是不相交的稀疏集，且ab=p14综上可得，n的最大值为14三 其它(一)题目叙述不合适例如，全国新课标卷理科第12题设anbncn的三边长分别为an,bn,cn，anbncn的面积为sn，n=1,2,3,，若b1c1，b1c1=2a1，an1=an，则( )a、sn为递减数列b、sn为递增数列c、s2n1为递增数列，s2n为递减数列d、s2n1为递减数列，s2n为递增数列评注： 我们要考察学生的阅读能力，特别是阅读数学读物的能力但是，作为写作者又应该把文章写得清楚明白不能故意为难人例如，此题给出的是，一系列周长不变且有一边为定长的三角形为什么不能很自然地把这一点说明白呢？而故意用符号语言把它写的让人不易看懂用符号语言是为了简洁清楚而不是故意让人看不明白这道题的重点应该是在给定的条件下，考查数列的增减性，这种写法不知作者要考察的是什么湖北理科14题古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第个三角形数为记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 可以推测的表达式，由此计算 评注 什么是三角形数、正方形数、无边形数，作者为什么不能给清楚(例如，画图)呢？(二)题目本身意义不清楚广东理13 题给定区域d：令点集t=(x0，y0)d|x0，y0z，(x0，y0)是z=x+y在d上取得最大值或最小值的点，则t中的点共确定6 条不同的直线评注 在线性规划中，为什么会有这个问题？不清楚问题的背景和意义数学问题就变成了游戏类似地，下面山东这道题的第三问，两个斜率