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文档简介

全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（b卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。一、（本题满分40分） 如图，锐角三角形abc的外心为o，k是边bc上一点（不是边bc的中点），d是线段ak延长线上一点，直线bd与ac交于点n，直线cd与ab交于点m求证：若okmn，则a，b，d，c四点共圆证明：用反证法若a，b，d，c不四点共圆，设三角形abc的外接圆与ad交于点e，连接be并延长交直线an于点q，连接ce并延长交直线am于点p，连接pq因为p的幂（关于o）k的幂（关于o） ，同理 ，所以 ，故 （10分）由题设，okmn，所以pqmn，于是 由梅内劳斯（menelaus）定理，得， 由，可得， （30分）所以，故dmn dcb，于是，所以bcmn，故okbc，即k为bc的中点，矛盾！从而四点共圆. （40分）注1：“p的幂（关于o）k的幂（关于o）”的证明：延长pk至点f，使得， 则p，e，f，a四点共圆，故，从而e，c，f，k四点共圆，于是， -，得 p的幂（关于o）k的幂（关于o） 注2：若点e在线段ad的延长线上，完全类似二、（本题满分40分）设和是大于1的整数，求证： 证明： （20分） （40分）三、（本题满分50分）设为非负实数, 求证：. 证明：首先证明左边不等式.因为 ,同理,有 , ; （10分）于是 ; （20分）由算术-几何平均不等式, 得 ,所以 .左边不等式获证, 其中等号当且仅当时成立. （30分）下面证明右边不等式.根据欲证不等式关于对称, 不妨设, 于是 ,所以 . （40分）运用算术-几何平均不等式, 得 .右边不等式获证, 其中等号当且仅当中有一个为0,且另外两个相等时成立. （50分）四、（本题满分50分）设k是给定的正整数，记，证明：存在正整数m，使得为一个整数这里，表示不小于实数x的最小整数，例如：，证明：记表示正整数n所含的2的幂次则当时，为整数下面我们对用数学归纳法当时，k为奇数，为偶数，此时为整数 （10分)假设命题对成立对于，设k的二进制表示具有形式，这里，或者1， （20分)于是 ， （40分）这里显然中所含
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