数值分析教学课件PPT绪论.ppt

手机箱 qd liguiling 办公室 j13 110 数值分析李桂玲 数值分析 数值计算方法 基础 分析 代数知识工具 matlab数学软件 预备知识 第一章 绪论 1 数值分析的背景 2 误差 1 数值分析的来源 发展及其实际应用背景 一 举例 已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下 深度 m 46674195014221634水温 7 044 283 402 542 13根据这些数据 希望合理地估计出其它深度 如500米 600米 1000米 处的水温 计算数学 二 现代科学研究的三大支柱 21世纪信息社会的两个主要特征 计算机无处不在 数学无处不在 21世纪信息社会对科技人才的要求 会用数学解决实际问题 会用计算机进行科学计算 建立数学模型 选取计算方法 编写上机程序 计算得出结果 科学计算解题过程 数值代数 方程求根 线性方程组求解 特征值和特征向量的计算 非线性方程组的求解 数值逼近 插值与函数逼近 数值微分和积分 最小二乘法 微分方程数值解 常微分方程数值解 偏微分方程数值解 差分法有限元法有限体积法 三 研究内容 一 误差的来源与分类 从实际问题中抽象出数学模型 模型误差 2误差 通过测量得到模型中参数的值 观测误差 求近似解 方法误差 截断误差 机器字长有限 舍入误差 求近似解 方法误差 截断误差 例如 当函数 用taylor多项式 近似代替时 数值方法的截断误差是 机器字长有限 舍入误差 用计算机 计算器和笔算 都只能用有限位 3 1415926 小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来 代替位数较多的有限小数 如 四舍五入后 在数值计算方法中 主要研究截断误差和舍入误差 包括初始数据的误差 对计算结果的影响 二 误差的概念 1 绝对误差与绝对误差限 例 若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长 大约为1 45米 求1 45米的绝对误差 1 45米的绝对误差 不知道 是近似值的绝对误差 简称为误差 定义 设是准确值 为的一个近似值 称 但实际问题往往可以估计出不超过某个正数 即则称为绝对误差限 有了绝对误差限 就可以知道的范围为 即落在内 在应用上 常常采用下列写法来刻划的精度 2 相对误差与相对误差限 比值 定义 设是准确值 是近似值 是近似值的误差 通常取 为近似值的相对误差 记作 称 一般情况下是不知道的 怎么办 relative 相对的 事实上 当较小时 是的二次方项级 故可忽略不计 相应地 若正数 满足 则称为的相对误差限 3 有效数字 由上述定义 定义 若的误差限是某一位的半个单位 该位到的第一位非零数字共有n位 就说有n位有效数字 3 1415926 定义 若 其中 是1到9中的一个数字 是0到9中一个数字 且为整数 若 x 另一记法 取作的近似值 就有三位有效数字 取作的近似值 就有五位有效数字 例如 注 若一近似数是由原真值经四舍五入得到 则必为有效数 四舍五入保证成立 补 有效数字的运算规则 1 加减法 以小数点后位数最少的为准先修约后加减 结果位数也按点后位数最少的算 例如 0 0121 12 56 7 8432可先修约后计算 即0 01 12 56 7 84 20 41 2 乘除法 结果保留位数应与有效数字位数最少者相同 例如 0 0142 24 43 305 84 28 67可先修约后计算 0 0142 24 4 306 28 7 3 69 进行乘除运算时 第一位数字大于或等于8 其有效数字位数可多算一位 如9 46可看做是四位有效数字 注意 3 乘方或开方 结果有效数字位数不变 例如 6 542 42 8 4 对数计算 对数尾数的位数应与真数的有效数字位数相同 例如 ph lg h 为提高计算的准确性 在计算过程中可暂时多保留一位有效数字 计算完后再修约 运用电子计算器运算时 要对其运算结果进行修约 保留适当的位数 不可将显示的全部数字作为结果 注意 4 误差限与有效数字的关系 则至少具有位有效数字 th1 1 对于用式表示的近似数 若具有位有效 数字 则其相对误差限为 反之 若的相对误差限为 证 因为n个有效数字 缩小x 放大x 已知条件 所以n个有效数字 3数值运算的误差估计 一 四则运算 两个近似数与 其误差限分别为及 它们进行加减乘除运算得到的误差限分别为 二 函数误差估计 当自变量有误差时 计算函数值也会产生误差 其误差限可利用函数的taylor展开式进行估计 设是一元函数 的近似值为 以近似 其误差限记作 可用taylor展开 假定与的比值不太大 可忽略的高阶项 于是可得计算函数的误差限为 当为多元函数时计算 如果 的近似值为 则的近似 于是函数值的误差由taylor展开 得 于是误差限为 而的相对误差限为 1 3 3 1 3 4 例 已测得某场地长的值为 宽的值为 已知 试求面积的绝对误差限与相对误差限 解 绝对误差限 相对误差限 多元函数 4数值计算中应该注意的一些原则 1 要使用数值稳定的算法 例 求 的值 解 由于 初值 递推公式 按公式就可以逐步算出 注意此公式精确成立 whathappened 不稳定的算法 这就是误差传播所引起的危害 由题设中的递推公式可看出 的误差扩大了 5倍后传给 因而初值的误差对以后各步 这就造成的计算结果严重失真 计算结果的影响 随着的增大愈来愈严重 要怎么做才能解决这个问题呢 可求得i9 0 017 按改写后的公式可逐次求得 不妨设i9 i10 于是由 将公式 变为 i8 0 019i7 0 021i6 0 024i8 0 028i4 0 034i3 0 043i2 0 058i1 0 088i0 0 182 稳定的算法 在我们今后的讨论中 误差将不可回避 算法的稳定性会是一个非常重要的话题 2 要避免两个相近的数相减 在数值计算中 两个相近的数作减法时有效数字会损失 例 求 的值 当x 1000 y的准确值为0 01580 1 直接相减 类似地 2 将原式改写为 则y 0 01581 3 尽量避免绝对值太小的数作分母 例 如分母变为0 0011 也即分母只有0 0001的变化时 结果相差这么大 4 避免大数吃小数 精确解为 例 用单精度计算的根 在计算机内 109存为0 1 1010 1存为0 1 101 做加法时 两加数的指数先向大指数对齐 再将浮点部分相加 即1的指数部分须变为1010 则 1 0 0000000001 1010 取单精度时就成为 109 1 0 10000000 1010 0 00000000 1010 0 10000000 1010 算法1 利用求根公式 算法2 先解出 再利用 注 求和时从小到大相加 可使和的误差减小 例 按从小到大 以及从大到小的顺序分别计算 1 2 3 40 109 5 简化计算步骤 避免误差积累 一般来说 计算机处理下列运算的速度为 例 多项式求值 给定的x求下列n次多项式的值 解 1 用一般算法 即直接求和法 2 秦九韶方法 算法的递推性 计算机上使用的算法常采用递推化的形式 递推化的基本