通信原理与通信技术 张卫钢 第3章 脉冲编码调制(PCM).ppt

第3章脉冲编码调制 PCM 3 1PCM基本概念3 2抽样3 3量化3 4PCM编码3 5抽样定理3 6时分复用 3 1PCM基本概念 第1章我们讲过在数字通信系统中 信源和信宿都是模拟信号 模拟信息 而信道传输的却是数字信号 可见在数字通信系统中的发信端必须要有一个将模拟信号变成数字信号的过程 同时在收信端也要有一个把数字信号还原成模拟信号的过程 通常我们用模拟信号 Analogsignal 和数字信号 Digitalsignal 的英文头一个字母把模拟信号变成数字信号的过程简称为A D转换 把数字信号变成模拟信号的过程简称为D A转换 图1 3中的信源编码实际上就是A D转换 信源解码也就是D A转换 如何将一个模拟信号转换为一个数字信号呢 从第1章数字信号的定义中我们知道 首先要将模拟信号离散化 即对模拟信号按一定的时间间隔进行抽样 然后再将无限个可能的抽样值 不是指抽样点的个数 而是每个抽样点的可能取值 变成有限个可能取值 我们称之为量化 最后对量化后的抽样值用二进制 或多进制 码元进行编码 就可得到所需要的数字信号 所谓编码就是用一组符号 码组 取代或表示另外一组符号 码组或数字 的过程 这种将模拟信号经过抽样 量化 编码三个处理步骤变成数字信号的A D转换方式称为脉冲编码调制 PCM PulseCodeModulation PCM的概念最早是由法国工程师AlceReeres于1937年提出来的 1946年第一台PCM数字电话终端机在美国Bell实验室问世 1962年后 采用晶体管的PCM终端机大量应用于市话网中 使市话电缆传输的路数扩大了二三十倍 20世纪70年代后期 随着超大规模集成电路PCM芯片的出现 PCM在光纤通信 数字微波通信和卫星通信中得到了更为广泛的应用 3 2抽样 PCM过程可分为抽样 量化和编码等三步 第一步是对模拟信号进行信号抽样 所谓抽样就是不断地以固定的时间间隔采集模拟信号当时的瞬时值 图3 1是一个抽样概念示意图 假设一个模拟信号f t 通过一个开关 则开关的输出与开关的状态有关 当开关处于闭合状态 开关的输出就是输入 即y t f t 若开关处在断开位置 输出y t 就为零 可见 如果让开关受一个窄脉冲串 序列 的控制 则脉冲出现时开关闭合 则脉冲消失时开关断开 此输出y t 就是一个幅值变化的脉冲串 序列 每个脉冲的幅值就是该脉冲出现时刻输入信号f t 的瞬时值 因此 y t 就是对f t 抽样后的信号或称样值信号 图3 1抽样概念示意图 图3 2是脉冲编码调制的过程示意图 图3 2 a 是一个以Ts为时间间隔的窄脉冲序列p t 因为要用它进行抽样 所以称为抽样脉冲 在图3 2 b 中 v t 是待抽样的模拟电压信号 抽样后的离散信号k t 的取值分别为k 0 0 2 k Ts 0 4 k 2Ts 1 8 k 3Ts 2 8 k 4Ts 3 6 k 5Ts 5 1 k 6Ts 6 0 k 7Ts 5 7 k 8Ts 3 9 k 9Ts 2 0 k 10Ts 1 2 可见取值在0 6之间是随机的 也就是说可以有无穷个可能的取值 在图3 2 c 中 为了把无穷个可能取值变成有限个 我们必须对k t 的取值进行量化 即四舍五入 得到m t 则m t 的取值变为m 0 0 0 m Ts 0 0 m 2Ts 2 0 m 3Ts 3 0 m 4Ts 4 0 m 5Ts 5 0 m 6Ts 6 0 m 7Ts 6 0 m 8Ts 4 0 m 9Ts 2 0 m 10Ts 1 0 总共只有0 1 2 3 4 5 6等七个可能的取值 从概念上讲 m t 已经变成数字信号 但还不是实际应用中的二进制数字信号 因此 对m t 用3位二进制码元进行自然编码就得到图3 2 d 的数字信号d t 从而完成了A D转换 实现了脉冲编码调制 图3 2脉冲编码调制示意图 细心的读者可能会提出这样的问题 从上述抽样 量化 编码的PCM过程中没有发现明显的调制概念 那么为什么叫脉冲编码调制呢 其实调制的概念体现在抽样和编码过程中 我们虽然从概念上可以理解抽样的含义 但在电路中如何实现呢 在实际工程中 可控开关通常是用一个乘法器实现的 我们用图3 3脉冲编码调制模型说明这个问题 假设有一模拟电压信号v t 通过乘法器与一个抽样窄脉冲序列p t 相乘 就会得到一个幅度随v t 的变化而变化的窄脉冲序列k t 而这正是我们在第2章中讲过的幅度调制概念 与抑制载波的双边带调幅相比 其主要差别在于载波不是正弦型信号而是窄脉冲序列 冲激序列 另外 PCM的输出信号是 0 和 1 组成的脉冲序列 从信息传输的角度上看 该序列的作用相当于模拟调制中的载波 但原始信号 调制信号 不是通过脉冲序列的幅度或宽度等参量表示 而是利用 0 和 1 码元的不同组合携带信息 即所谓的编码 也就是说 PCM是将原始信号 调制 编码 到二元脉冲序列的码元组合上 而抽样的幅度调制实际上是为后面的编码调制铺路的 因此 整个抽样 量化和编码过程统称为脉冲编码调制 图3 3脉冲编码调制模型 3 3量化 上面我们已经从PCM过程中了解了量化的概念 现在我们用数学语言对量化作一个比较精确的描述以加深对量化的理解 量化就是把一个连续函数的无限个数值的集合映射为一个离散函数的有限个数值的集合 通常采用 四舍五入 的原则进行数值量化 下面我们对量化作更深一层的讨论 首先介绍三个概念 第一个是量化值 确定的量化后的取值叫量化值 有的书籍也称量化电平 比如上例中的量化值就是0 1 2 3 4 5 6七个 第二个是量化值的个数称为量化级 第三个是量化间隔 相邻两个量化值之差就是量化间隔 也称量化台阶 在图3 2 b 和 c 中 我们发现v t 的样值信号k t 和量化后的量化信号m t 是不一样的 具体地说就是量化前后的样值有可能不同 比如k 0 0 2而m 0 0 0 而收信端恢复的只能是量化后的信号m t 而不能恢复出k t 这样就使得收 发的信号之间有误差 显然 这种存在于收 发信号之间的误差是由量化造成的 我们称其为量化误差或量化噪声 比如在上例中 量化间隔为1 由于采用 四舍五入 进行量化 因此量化噪声的最大值是0 5 一般地说 量化噪声的最大绝对误差是0 5个量化间隔 这种量化间隔都一样的量化叫做均匀量化 那么如果我们在一定的取值范围内把量化值多取几个 量化级增多 也就是把量化间隔变小 则量化噪声就会减小 比如 把量化间隔取成0 5 则上例的量化值就变成14个 量化噪声变为0 25 显然量化噪声与量化间隔成反比 但是在实际中 我们不可能对量化分级过细 因为过多的量化值将直接导致系统的复杂性 经济性 可靠性 方便性 维护使用性等指标的恶化 比如 7级量化用3位二进制码编码即可 若量化级变成128 就需要7位二进制码编码 系统的复杂性将大大增加 另外我们看到 尽管信号幅值大 大信号 和信号幅值小 小信号 时的绝对量化噪声是一样的 都是0 5个量化间隔 但相对误差却悬殊很大 也可以说 对信号的影响大小不一样 比如上例中 信号最大值为6 绝对量化噪声为0 5 而相对误差为0 5 6 1 12 即量化误差是量化值的1 12 而当信号为1时 绝对量化噪声仍为0 5 但相对误差却为0 5 1 1 2 量化误差达到量化值的一半 可见大信号与小信号的相对误差相差6倍 相对误差大意味着小信号的信噪比小 显然 提高小信号的信噪比 降低小信号的相对误差 与提高系统的简单性 可靠性 经济性等指标是相互矛盾的 那么 我们能否找到一种方法解决这一对矛盾 既提高了小信号的信噪比 又不过多地增加量化级 细化量化间隔 回答是肯定的 这就是非均匀量化法 所谓非均匀量化就是对信号的不同部分用不同的量化间隔 具体地说 就是对小信号部分采用较小的量化间隔 而对大信号部分就用较大的量化间隔 实现这种思路的一种方法就是压缩与扩张法 压缩的概念是这样的 在抽样电路后面加上一个叫做压缩器的信号处理电路 该电路的特点是对弱小信号有比较大的放大倍数 增益 而对大信号的增益却比较小 抽样后的信号经过压缩器后就发生了 畸变 大信号部分没有得到多少增益 而弱小信号部分却得到了 不正常 的放大 提升 相比之下 大信号好像被压缩了 压缩器由此得名 对压缩后的信号再进行均匀量化 就相当于对抽样信号进行了非均匀量化 在收信端为了恢复原始抽样信号 就必须把接收到的经过压缩后的信号还原成压缩前的信号 完成这个还原工作的电路就是扩张器 它的特性正好与压缩器相反 对小信号压缩 对大信号提升 为了保证信号的不失真 要求压缩特性与扩张特性合成后是一条直线 也就是说 信号通过压缩再通过扩张实际上好像通过了一个线性电路 显然 单独的压缩或扩张对信号进行的是非线性变换 压缩与扩张特性见图3 4 图中 脉冲A和脉冲B是两个样值 作为压缩器的输入信号经过压缩后变成A 与B 可见A 与A基本上没有变化 而B 却比B大了许多 这正是我们需要的压缩特性 在收信端A 与B 作为扩张器的输入信号 经扩张后还原成样值A和样值B 图3 4压缩特性示意图 现在我们来看一下小信号的信噪比变化情况 在图3 4中 样值B如果经均匀量化 则量化噪声为0 5 相对误差为0 5 而经过压缩后 样值B 的量化噪声仍为0 5 但相对误差变为0 5 3 1 6 比均匀量化减小了许多 其信噪比也就大为提高 压缩特性通常采用对数压缩特性 也就是压缩器的输出与输入之间近似呈对数关系 而对数压缩特性又有A律和 律之分 A律特性输出y与输入信号x之间满足下式 3 1 式中 y为归一化的压缩器输出电压 即实际输出电压与可能输出的最大电压之比 x为归一化的压缩器输入电压 即实际输入电压与可能输入的最大电压之比 A为压缩系数 表示压缩程度 从式 3 1 可见 在0 x 1 A的范围内 压缩特性为一条直线 相当于均匀量化特性 在1 A x 1范围内是一条对数曲线 通常 国际上取A 87 6 律特性输出y与输入信号x之间满足下式 3 2 式中 y x 的意思与A律一样 A律与 律的特性曲线见图3 5 A律与 律的性能基本相似 在 255 量化级为256时 律对小信号信噪比的改善优于A律 图3 5的曲线只是压缩特性的一半 另一半在第三象限 与第一象限的曲线奇对称 为简单计 一般都不画出来 图3 5两种对数压缩特性示意图 律最早由美国提出 A律则是欧洲的发明 它们都是CCITT 国际电报电话咨询委员会 允许的标准 目前 欧洲主要采用A律 北美及日本采用 律 我国采用A律压缩方式 图3 5的压缩特性早期是用二极管的非线性来实现的 但要保证压缩特性的一致性 稳定性以及压缩与扩张特性的匹配是很困难的 因此通常都是采用近似理想压缩特性曲线的折线来代替理想特性 对于A律曲线 采用13段折线近似 对于 律曲线 采用15段折线近似 下面简单介绍一下A律的13段折线 首先把输入信号的幅值归一化 横坐标 把0 1的值域划分为不均匀的8个区间 每个区间的长度以2倍递增 具体地说就是0 1 128为第一区间 1 128 1 64为第二区间 1 64 1 32为第三区间 1 32 1 16为第四区间 直到1 2 1为第八区间 再把输出信号的幅度也归一化 纵坐标 并均匀分成8个区间 即0 1 8 1 8 2 8 2 8 3 8 直到7 8 1 然后以横轴各区间的右端点为横坐标 以相对应纵轴区间的上端点为纵坐标 就可得到 1 128 1 8 1 64 2 8 1 32 3 8 1 1 等8个点 将原点及这8个点依次用直线段连接起来就得到一条近似A律的折线 见图3 6 也许有人会问 图3 6中的折线只有8段 为什么叫做13折线呢 这是因为我们前面说过对数曲线只画出了正值部分 实际上还有负值部分 正值曲线与负值曲线奇对称 所以 在图3 6中加上负值曲线就有16条折线 多出的3条线怎么回事儿 我们注意到 第一区间和第二区间的线段斜率一样 可以看成一条线段 则正值曲线就只有7条线段 与之对应的负值曲线也只有7条线段 而正 负值曲线合画在一起后 各自的第一段折线斜率也一样 所以在14条线段中再减去一条就成为13折线 律的15折线的画法与上述13折线的方法类似 我们不再赘述 图3 6A律13折线示意图 3 4PCM编码 前面讨论了PCM 三部曲 中的前两部 下面介绍第三部 编码 我们已经知道所谓编码就是用一些符号取代另一些符号的过程 那么现在的任务是用二进制码组去表示量化后的十进制量化值 所涉及的问题主要有两个 一是如何确定二进制码组的位数 二是应该采用怎样的码型 所谓码型就是电脉冲的存在形式 详见第6章 前面讨论了PCM 三部曲 中的前两部 下面介绍第三部 编码 我们已经知道所谓编码就是用一些符号取代另一些符号的过程 那么现在的任务是用二进制码组去表示量化后的十进制量化值 所涉及的问题主要有两个 一是如何确定二进制码组的位数 二是应该采用怎样的码型 所谓码型就是电脉冲的存在形式 详见第6章 用的码组长度越长 码组个数就越多 可表示的状态就越多 则量化级数就可以增加 量化间隔随之减小 量化噪声也随之减小 但码组长度越长 对电路的精度要求也越高 同时 要求码元速率 波特率 越高 从而要求信道带宽越宽 对于A律量化来说 量化级数为256 则一个码组的长度就是8位 目前常用的编码码型有自然二进制码 NBC NaturalBinaryCode 折叠二进制码 FBC FoldedBinaryCode 和格雷二进制码 RBC GrayorReflectedBinaryCode 三种 PCM用折叠码进行编码 表3 1给出三种码型的编码规律 为简单计 表中只给出16个量化值 也就是4位码组长度 自然二进制码就是我们熟悉的十进制正整数的二进制表示 折叠码的最高位 最左边的位 是符号位 1 表示正数 0 表示负数 其余的位表示数的绝对值大小 从表中可见 折叠码上半部分为正数 下班部分是负数 如果不看符号位 则折叠码上半部分与下半部分呈倒影关系 好像把一个纸条对折一样 折叠的名字由此而来 而格雷码的特点是相邻码组只有一位不同 也就是码距 码距的概念在第8章介绍 为1 表3 1三种常用二进制码组 3 5抽样定理 通过前几节的介绍 我们对PCM有了一个较全面的了解和认识 但有一个很关键的问题我们没有讲 这就是当我们把一个模拟信号通过抽样处理变成离散信号后 凭什么认为该离散信号可以携带原始信号的全部信息 换句话说 凭什么认为能从该离散信号中恢复出原始信号 如果这一点得不到保证 那么PCM就没有实用价值 PCM过程实际上就是A D转换的过程 而模拟信号可以转换为数字信号的理论基础就是抽样定理 也就是说 抽样定理为我们的担心提供了保证 抽样定理包含两个内容 低通抽样定理和带通抽样定理 下面我们分别给予介绍 3 5 1低通抽样定理低通抽样定理 对于一个带限模拟信号f t 假设其频带为 0 fH 若以抽样频率fs 2fH对其进行抽样的话 抽样间隔Ts 1 fs 则f t 将被其样值信号ys t f nTs 完全确定 或者说 可从样值信号ys t f n Ts 中无失真地恢复出原信号f t 这里引出两个新术语 奈奎斯特间隔和奈奎斯特速率 所谓奈奎斯特间隔就是能够惟一确定信号f t 的最大抽样间隔 而能够惟一确定信号f t 的最小抽样频率就是奈奎斯特速率 可见 奈奎斯特间隔为1 2fH 奈奎斯特速率为2fH 下面我们以图3 7为例对抽样定理给予简单的证明 设带限信号为f t 其频谱为F 抽样脉冲序列为一周期信号冲激串 T t 频谱为 T 样值信号ys t 的频谱为Ys 则有 ys t f t T t 由频域卷积性质可得 图3 7抽样过程示意图 而冲激串 的频谱为 3 3 从图3 7中可见 Ys 的波形是由一连串的F 波形组成 在 s 2 H的前提下 输出样值信号的频谱Ys 就不会发生重叠现象 从理论上讲 就可以通过一个截止频率为 H的理想低通滤波器将Ys 中的第一个F 滤出来 恢复出原始信号f t 若不满足 s 2 H的条件 则Ys 中的F 就会出现重叠 见图3 8 以致于无法用滤波器提取出一个干净的F 图3 8频谱重叠示意图 下面我们从时域看一下重建 恢复 模拟信号f t 的过程 我们知道理想低通滤波器的频谱是一个门函数 若设滤波器的冲激响应为h t 则h t 的傅里叶变换H 频谱 也就是滤波器的传输函数 即 样值信号ys t 通过低通滤波器 在时域上就是与冲激响应h t 作卷积运算 设低通滤波器的输出为 也就是重建信号 则有 3 4 例题3 1 单路话音信号的带宽为4kHz 对其进行PCM传输 求 1 最低抽样频率 2 抽样后按8级量化 求PCM系统的信息传输速率 3 若抽样后按128级量化 PCM系统的信息传输速率又为多少 解 1 由于fH 4kHz 根据低通抽样定理 可知最低抽样频率fs 2fH 8kHz 也就是说 对一个抽样值编码后的码元所占时间为Ts 1 fs 2 对抽样值进行8级量化意味着要用3位 因为是单路信号 每秒有8000个抽样值 一个抽样值用3个码元 所以码元传输速率 波特率Rs为 Rs 3 8000 24k Baud 又因为是二进制码元 波特率与比特率相等 所以信息传输速率 比特率Rb为 Rb 24kb s 3 因为128级量化需用7位二进制码进行编码 所以 比特率为 Rb Rs 7 8000 56kb s 最低抽样频率fs 2fH 8kHz 8级量化时的信息传输速率Rb 24kb s 128级量化时的信息传输速率Rb 56kb s 3 5 2带通抽样定理在实际工程中经常遇到带通型信号 即频谱不是从直流开始 而是在fL fH的一段频带内 那么对带通信号是否也要求按fs 2fH的条件进行抽样 如果不是的话 它与低通信号有何区别呢 下面我们结合图3 9进行定性分析 图3 9带通型信号抽样频谱示意图 设F 是一带通信号的频谱 其频带宽度为B fH fL 为讨论方便 设fL 2B 如图3 9 a 所示 我们先把f t 看成一个低通型信号 把频谱的上 下边带用虚线连起来 用抽样频率fs 2fH对其进行抽样 得到图3 9 b 的样值信号频谱 从图中可见 频谱没有重叠 但是上 下边带之间的频带却是空的 如果要用低通滤波器恢复原始信号的话 其带宽就必须等于3B 如果我们按带通信号对待 用抽样频率fs 2B对其进行抽样 就会得到图3 9 c 的频谱 可见 频谱仍不重叠 而占用频带的宽度却减小了 此时 低通滤波器的带宽只需等于原始信号带宽B即可 上例我们对带通信号取了一个特例 即fL 2B 对于一般情况而言 只要fL 0 当抽样频率满足fs满足下式时 3 5 例题3 2 12路载波电话信号的频带范围是60 108kHz 求其最低抽样频率fsmin 解因为信号带宽B fH fL 108 60 48kHz fH B 2 25 所以N取2 则M 2 25 2 0 25 根据式 3 5 可得 fsmin 2 48 1 0 25 2 108kHz 最低抽样频率fsmin 108kHz 需要指出 从上述两个抽样定理中可知 抽样信号必须是冲激信号 而理想的冲激信号是无法得到的 因此 在实际应用中 大都采用窄脉冲序列代替冲激信号 3 6时分复用 在第2章中我们学过了信道复用中的频分复用法 这一节我们介绍信道复用的第二种方法 时分复用法 TDM 我们知道一路基带话音信号的最高频率为3 4kHz 一般取其为fH 4kHz 那么 若对该信号进行PCM 则根据抽样定理取抽样频率fs 8kHz 所对应的抽样间隔Ts 1 fs 125 s 如果每个样点的持续时间为25 s 则样值信号的相邻两个样点之间就有100 s的空闲时间 若一个信道只传输一路这样的PCM信号 则每一秒就有0 8s被白白浪费掉了 如果进行长途传输 其信道利用率之低 传输成本之高是人们难以容忍的 为此 人们提出了时分复用的概念 所谓时分复用就是对欲传输的多路信号分配以固定的传输时隙 时间 以统一的时间间隔依次循环进行断续传输 下面我们以图3 10为例详细介绍时分复用的原理 假设收 发信端各有3人要通过一个实信道 一条电缆 同时打电话 我们把他们分成甲 乙 丙三对 并配以固定的传输时隙以一定的顺序分别传输他们的信号 比如第一时刻开关拨在甲位传输甲对通话者的信号 第二时刻开关拨在乙位传输乙对通话者的信号 图3 10时分复用示意图 第三时刻开关拨在丙位传输丙对通话者的信号 第四时刻又循环到传送甲对信号 周而复始 直到通话完毕 时分复用的特点是 各路信号在频谱上是互相重叠的 但在传输时彼此独立 任一时刻 信道上只有一路信号在传输 在上述通信过程的描述中 我们要注意两个问题 一是传输时间间隔必须满足抽样定理 即各路样值信号分别传输一次的时间T 125 s 但每一路信号传输时所占用的时间 时隙 没有限制 显然 一路信号占用的时间越少 则可复用的信号路数就越多 第二个问题就是收信端和发信端的转换开关必须同步动作 否则信号传输就会发生混乱 这里需要引入 帧 的概念 所谓 帧 就是传输一段具有固定数据格式数据所占用的时间 这里面包含两个意思 第一 帧 是一段时间 不同应用或不同场合的帧其时间长短是不同的 每一帧中的数据格式是一样的 第二 帧 是一种数据格式 一般来说同一种应用每一帧的时间长度和数据格式是一样的 但每一帧的数据内容可以不同 注意 有时同一种应用其帧长允许变化 比如802 3协议中的帧 因此 在讲到帧时 要么是强调传输时间的长短 要么是强调数据格式的结构 比如 上面讲的话音信号复用时 每一个传输循环必须小于等于125 s 如果我们取最大值的话 则一个循环就是125 s 从传输时间上看 这125 s就是3路话音信号TDM的一个帧 或者说 一个帧是125 s 而数据格式就是各路信号在一个帧中的安排方式 结构 注意在图3 10的例子中 为了形象地说明时分复用 我们 掩盖 没有画出 了量化和编码过程 而实际上TDM都是传输经过编码后的数字信号 上例中 如果把125 s四等分 前三个等分按甲 乙 丙的顺序分别传输3路话音信号 第四个等分传输一路控制信号 每个样值用8位二进制码编码 那么这种数据安排方式就是数据格式或帧结构 图3 11就是帧结构示意图 图3 11帧结构示意图 帧的概念非常重