连续时间系统时域分析xin.ppt

线性连续系统的描述及其响应冲激响应和阶跃响应卷积积分系统的微分算子方程 第二章连续系统的时域分析 系统分析方法 主要有时域分析法和变换域 频域 分析法 时域分析方法 不涉及任何变换 直接求解系统的微分 积分方程式 这种方法比较直观 物理概念比较清楚 是学习各种变换域方法的基础 系统分析 已知输入信号和系统模型分析输出 系统模型 系统物理特性的数学抽象 数学表达式主要用于系统计算 系统方框图主要用于系统仿真 系统描述方法 连续时间系统的数学模型通常用微分方程描述 有两种描述方法 系统分析简介 2 1线性连续系统的描述及其响应 2 1 1系统的描述及微分方程的列写描述线性时不变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程 式中an 1 a1 a0和bm bm 1 b1 b0均为常数 1 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程 2 对于电路系统 列写数学模型的基本依据 1 元件特性约束特性2 网络拓扑约束特性 元件特性约束 表征元件特性的关系式 网络拓扑约束 由网络结构决定的电压电流约束关系 kcl kvl 2 电感l 3 电容c 4 互感 同 异名端连接 理想变压器等原 副边电压 电流关系等 1 元件约束var 在电流 电压取关联参考方向条件下 1 电阻rur t r ir t 2 结构约束kcl与kvl 例图所示电路 激励是电流源is t 试列出电流il t 为响应的方程 uc t 解由kvl 列出电压方程 对上式求导 考虑到 根据kcl 有ic t is t il t 代入上式 结论 1 lti系统可以通过常系数线性微分方程来描述 而且方程的右侧自由项为激励 左侧为系统响应 2 求解系统的响应转化为求微分方程的解的问题 当r r 1 l 0 5 c 1时 则有 激励 excitation响应 response常系数的n阶线性常微分方程 c e均为常数 阶次 r t 的最高阶次减去其最低阶次 n阶线性时不变系统的模型 微分方程的解 完全解 齐次解 特解 齐次解 homogeneous特解 particular 2 1 2系统微分方程的经典法 1 经典解法 1 齐次解 homogeneous 满足方程 特征方程 特征根为 由特征方程 求出特征根 写出齐次解形式 分三种情况讨论 都有n个待定系数ai 解 系统的特征方程为 特征根 对应的齐次解为 2 特解 particular 将e t 代入方程的右端 整理得到自由项 根据自由项形式 设特解 p46 将特解函数式代入原方程 比较系数得出待定系数 从而得到特解 满足方程 如果已知 分别求两种情况下此方程的特解 例 给定微分方程式 将此式代入方程得到 等式两端各对应幂次的系数应相等 于是有 联解得到 所以 特解为 这里 b是待定系数 代入方程后有 2 微分方程的解与系统响应的关系 自由响应 由系统自身特性决定 rh t 强迫响应 与外加激励信号有关 rp t 自然频率 特征方程的特征根 i 微分方程的解 完全解 齐次解 特解系统的响应 全响应 自由响应 强迫响应 问题 要得到完全解 还需要确定系数ai 例给定系统的微分方程 若激励信号为 初始状态为 求系统的响应y t 解 1 求对应齐次方程的通解 系统的特征方程为 特征根为 1 5 2 2 对应的齐次解为 2 求特解 将 代入方程右端 得 选特解函数式 b为待定系数 代入方程后有 特解为 3 求完全解y t 由初始条件确定常数a1 a2 得 所以 系统响应为 t 0 根据初始条件 确定式中常数a 2 系统的二个状态 0时刻 激励加入的计时起点定义为0时刻 0 状态 激励加入之前瞬间的状态 0 状态 激励加入之后瞬间的状态 要确定ai 需要知道r t 在0 时刻的初始条件 3 确定ai 一般情况下 换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变 换路定则 对于一个具体的电网络 系统的0 状态就是系统中储能元件的储能情况 但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感 0 到0 状态就会发生跳变 4 系统状态及说明 系统变量的0 状态决定微分方程的0 状态 但通常要经过转换计算 经典法 当系统已用微分方程表示时 微分方程的0 状态已知 从0 状态到0 状态有没有跳变 取决于微分方程右端自由项是否包含 t 及其各阶导数 匹配法 2 1 3初始条件的确定 起始点的跳变 从0 到0 一般情况下 换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变 换路定则 对于一个具体的电网络 系统的0 状态就是系统中储能元件的储能情况 但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感 0 到0 状态就会发生跳变 1 电容电压或电感电流的跳变1 电容电压的突变 由伏安关系 当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时 2 电感电流的突变 如果为有限值 综合1 和2 可得 当电容有阶跃电压或者冲激电流加入时 电容的电压v0 到v0 会出现跳变 当电感有冲激电压或者阶跃电流加入时 电感的电流i0 到i0 会出现跳变 2 冲激函数匹配法求跳变量 难点 引入函数 例 t 0时刻 在t 0时刻 在t 0时刻 所以 设 2 逐次积分 一直到得到r t 3 代入原方程 冲激函数匹配法步骤 1 考察方程两边 右边关于的最高阶项肯定由左边r t 的最高阶产生 由此先设r t 的最高阶项 4 按左右两端各系数相等求得各待定参量 5 求跳变量的大小 1 将e t 代入微分方程 得0时刻方程 方程右端的冲激函数项最高阶次是 因而设 代入微分方程 2 求得 因而有 冲激函数匹配法的关键问题 准确写出系统从0 到0 时刻满足的微分方程 掌握冲激函数匹配法的各个步骤 掌握求跳变量大小的方法 自由响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应 暂态响应 稳态响应 2 1 4零输入响应与零状态响应 系统的完全响应可分为 系统的完全响应也可分为 零输入响应 当激励信号为0时 仅由起始状态所产生的响应 零状态响应 当起始状态时 仅由激励信号所产生的响应 y t yzs t yzi t h e t h x 0 1 零输入及零状态的线性 1 响应的分解性系统响应可分解为零状态响应和零输入响应 2 零状态的线性当起始状态为零时 系统的响应yzs t 与e t 成线性 3 零输入的线性当外加激励e t 为零时 系统的响应yzi t 与起始状态成线性 y t yzs t yzi t h e t h x 0 已知一线性时不变系统 在相同起始状态下 当激励为e t 时 其全响应为 当激励为2e t 时 其全响应为 求 1 起始状态不变 当激励为e t t0 时的全响应r3 为大于零的实常数 2 起始状态增大1倍 当激励为0 5e t 时的全响应 解 设零输入响应为rzi t 零状态响应为rzs t 则有 例题 例题 某lti系统微分方程为 若激励信号和起始状态为 e t u t r 0 0 试求出系统响应 解 可令方程右侧为u t 则有 把r 0 r 0 0代入可得 a 1 3 可设特解为 r1p t b 则带入方程可得b 1 3 因此r1 t 为 根据系统的线性及微积分特性可得系统全响应为 结论 系统的零状态响应也可以利用线性及微积分性等性质来求解 零输入响应 当激励信号e t 0时 由起始状态所产生的响应 零输入响应为 其中待定系数由起始条件来确定 2 零输入响应与零状态响应经典解法 零状态响应 当起始状态时 由激励信号e t 所产生的响应 零状态响应的形式为 其中系数azsk由y k zs 0 来确定 注意 y k zs 0 与y k zs 0 不一定相同 当方程右侧有冲激函数或者其各阶导数 会有跳变 应使用冲激函数平衡法 例题 某lti系统微分方程为 若激励信号和起始状态为 e t u t r 0 1 试分别求出零输入响应 零状态响应及全响应 解 由已知得 e t u t r 0 1 设rzi t 和rzs t 分别为零输入响应和零状态响应 1 零输入响应rzi t 则有rzi 0 rzi 0 1 且输入为零 即方程右侧为零 把rzi 0 1代入可得 a 1 2 零状态响应rzs t 则有rzs 0 0 且输入为 e t u t 因此 通解为 设特解为b 方程右侧没有冲激函数及其导数 因此有 因此全响应为 例题 某lti系统微分方程为 若激励信号和起始状态为 e t t r 0 1 试分别求出零输入响应 零状态响应及全响应 解 由已知得 e t t r 0 1 设rzi t 和rzs t 分别为零输入响应和零状态响应 1 零输入响应rzi t 则有rzi 0 rzi 0 1 且输入为零 即方程右侧为零 把rzi 0 1代入可得 a 1 2 零状态响应rzs t 则有rzs 0 0 且输入为 e t t 因此 代入微分方程可得 注意 方程右侧含有冲激函数 因此0 到0 有跳变 根据左右两侧冲激函数匹配可得 因此全响应为 由冲激函数匹配法 在t 0时刻可以设 冲激响应 系统在单位冲激信号 t 的激励下产生的零状态响应 记作h t 阶跃响应 系统在单位阶跃信号u t 的激励下产生的零状态响应 记作g t h t h t h t h u t g t h u t 对于lti系统 h t 与g t 之间关系 2 2冲激响应和阶跃响应 对于线性系统 冲激响应h t 满足方程 及起始状态 2 2 1冲激响应 例 解 求特征根 通解为 求系统的冲激响应 由已知可得 求0 定系数 代入h t 得 例题 某lti系统微分方程为 试求出系统的冲激响应 解 由已知可得 则有 代入微分方程可得 确定h 0 可用冲激函数平衡法 在t 0时可设 例题 某lti系统微分方程为 试求出系统的冲激响应 代入微分方程可得 因此有 因此有 a 5 系统冲激响应为 总结 冲激响应的求解至关重要 冲激响应的定义零状态 单位冲激信号作用下 系统的响应为冲激响应 冲激响应说明 在时域 对于不同系统 零状态情况下加同样的激励 看响应 不同 说明其系统特性不同 冲激响应可以衡量系统的特性 用变换域 拉氏变换 方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便 但时域求解方法直观 物理概念明确 如果描述系统的微分方程是式g n t an 1g n 1 t a1g 1 t a0g t bmu m t bm 1u m 1 t b1u 1 t b0u t 法一 经典解法可求得其特解特征根 i i 1 2 n 均为单根 则系统的阶跃响应的一般形式 n m 为法二 2 2 2阶跃响应 由于 反之 2 3 1卷积定义在信号分析与系统分析时 常常需要将信号分解为基本信号的形式 2 3卷积积分 当 0时上式变为 我们定义 卷积定义 设两个函数f1 t f2 t 则称如下运算为函数f1 t 与f2 t 卷积 1 解析计算例 已知f1 t e 3tu t f2 t e 5tu t 试计算两信号的卷积f1 t f2 t 解 2 3 2卷积积分的计算 2 图解计算 例 已知分别如下图 a b 所示 试用图解法求两信号的卷积y t f t h t t tt t tt t tt t tt t tt 综合各段结果 有 解 1 当时 2 当时 3 当 即当时 4 当 即当时 5 当 即时 2 3 3卷积积分法求解零状态响应 在求解系统的零状态响应yf t 时 将任意信号f t 都分解为冲激信号序列 然后充分利用线性时不变系统的特性 从而解得系统在任意信号f t 激励下的零状态响应yf t 系统的零状态响应yf t 为输入激励f t 与系统的冲激响应h t 的卷积积分 为 例 已知某线性时不变系统的冲激响应为h t e 5tu t 求当激励为f t e 3tu t 时系统的响应 解 系统的响应为 例 求下列两个串并系统的冲激响应 并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和 串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积 例题 图 a 系统由三个子系统构成 已知各子系统的冲激响应如图 b 所示 求复合系统的冲激响应 并画出它的波形 a b 解 如图 c 所示 x c 2 3 4卷积积分的性质 代数性质时移性质微分积分性质 1 代数性质 1 交换律 2 分配律 3 结合律 2 时移性质 解 因为 根据时移性质得 因此有 3 微分积分性质 两端对t求导 即 证明 推广 微分性质积分性质联合实用 对于卷积很方便 g t 的积分 微分n次 积分m次 m n 微分次数 积分次数 解 因为 根据微积分性质得 例 例题 已知函数f t h1 t h2 t 如图 求f t h1 t f t h2 t 结果 结论 门函数卷积之和为等腰梯形或为三角形 其中 起点 起点之和 终点 终点之和 腰宽 窄门宽 平顶宽 两门宽之差 最大值 门高之积 窄门宽 2 4系统的微分算子方程 2 4 1微分算子和积分算子 式中 p称为微分算子 1 p称为微分逆算子或积分算子 这样 可以应用微分或积分算子简化表示微分和积分运算 例如 性质1以p的正幂多项式出现的运算式 在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解 例如 性质2设a p 和b p 是