小学生数形结合思想的培养.doc

包头师范学院本科毕业论文题 目：小学数学教学中学生数形结合思想的培养 学生姓名：刘广鑫学 号：0807840068学 院：教育科学学院专 业：小学教育班 级：08级小教2班指导教师：王志东 教授二 一二 年 五 月摘 要通过研究数形结合思想及其形成途径，从而深刻的理解数形结合的内容及其它的形成途径，在结合个案分析来深刻体会数形结合在小学教学中的应用，在实际的数学学习过程中，培养学生的直觉思维能力、发散思维能力和学生的创造思维能力，并使学生通过数形结合思想转变自己的学习观念，并养成良好的思维意识和树立辩证的唯物主义世界观。关键词：思想方法；数形结合；渗透11AbstractBy research number shaped combination thought and formed way, to deep of understanding number shaped combination of content and the other of formed way, in combination case analysis to deep experience number shaped combination in primary school teaching in the of application, in actual of mathematics learning process in the, training students of intuition thinking ability, and divergent thinking ability and students of created thinking ability, and makes students by number shaped combination thought change themselves of learning concept, and habit good of thinking consciousness and set dialectical of materialism world.Key word：Method of thinking number shape union penetration目 录引 言1一、数形结合思想及其形成途径2（一）数形结合的表现形式2（二）数形结合思想的形成途径3（三）小学生的数形结合思维4（四）个案研究51、质数与合数52、解决问题53、连乘问题64、小数除以整数6二、 应用“数形结合”，提高学生的能力7（一）“数形结合”有助于对数学知识的记忆7（二）应用“数形结合”，训练学生数学直觉思维能力7（三）应用“数形结合”，培养学生的发散思维能力8（四）应用“数形结合”，培养学生的创造性思维能力8三、应用“数形结合”，转变学生的观念8（一）树立现代思维意识8（二）树立辩证唯物主义世界观8参考文献10致谢11引 言 学生是学习的主体，教师是学生学习的引导者、激励者和组织者。课堂教学应充分让学生去想、去说、去做，逐步养成从直观到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从未知到已知的思维习惯，逐步学会自觉运用数学思想、数学方法来思考、解决问题。课堂上要留给学生充足的思维时间和空间，启发学生积极思维、主动探索、独立思考，让学生亲自经历知识的形成过程。这是我们在新课程改革进程中所达成的共识。 数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚先生指出，数缺形时少直观，形少数时难入微。形象说明了数形结合的重要性，指出了数学问题应从数形相联系入手。 数与形是数学研究的两个重要方面。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合在数学解题中有重要的指导意义，这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，即数量问题和图象性质是可以相互转化的，这不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。 从儿童思维特点来看：小学生的思维是从具体形象思维为主要形式逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。因此，培养学生的形象思维能力，既是儿童本身的需要，又是他们学习抽象数学知识的需要。小学中低段孩子学习特点以兴趣为主更多关注“有趣、好玩、新奇的事物 ”，因而教材的编排主要以实际生活背景相关的、符号、图形、故事方面的情境，学生能够通过各种活动将新旧知识联系起来，思考现实中的数量关系和空间形式，由此发展他们对数学的理解。而数学中的数量关系、量的变化等都是以符号（关系符号、运算符号、图形、图表）加以表示的。学生身心发展的这一特点和数学的抽象性特征共同决定了学生数学学习基本是一种符号化语言与生活实际相结合的学习。如何在小学的不同年龄段安排不同的视图内容，以适应学生的思维发展和空间能力发展的需要？首都师范大学数学科学学院的刘晓玫认为从6年级的总体表现和在三个维度的表现看出，6年级在识图和画图等维度均不如其他年级，虽然其中可能存在学习态度上的问题，比如对学习的兴趣和对测试卷回答的厌倦等因素，但从访谈的情况看出，6年级学生对某些问题的想象的意识和水平确实与2、3年级相当甚至低于低年级的学生。这从某种程度上说明在小学低年级段引入视图的内容，对学生空间观念的发展是有利的。一、 数形结合思想及其形成途径（一）数形结合的表现形式 数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“形”不仅仅指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。 数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。 以“形”助“数”。“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。 数学概念的建立借助“形”的直观。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。 数学性质的探索依赖“形”的操作。数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。如教学“3的倍数的特征”可作如下设计：让学生用9根小棒摆出三位数，判断是否是3的倍数；8根、6根呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数的和。又如，“分数的基本性质”、“小数的性质”可以让学生在对图形的等分中理解。 数学规则的形成需要“形”作材料。数学规则在小学主要是有关演算过程的具体实施方法。规则学习是学生技能形成的先导。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。如“20以内进位加法”是通过实物操作体会“凑十”的过程；分数乘法（如1/21/5）法则在折纸过程中归纳算法；长方形面积计算方法在“摆（面积单位）数（小正方形个数）想（个数与长宽关系）”等过程中获得。 解题思路的获得常用“形”来帮助。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的文字题、应用题（如“种植株数”、“截断”等）时，恰当选用线段图、示意图、集合图等等，是寻找解题途径最有效的手段之一。 以“数”解“形”。“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使儿童更准确地把握“形”。 对图形的认识要用数学语言的描述加以深化。如“直线”的教学，由于在生活中无法找到原型，画出来的也只是线段，而辅之以数学语言“直”、“无限”、“延伸”等，就能较好地建立相应的表象。又如“长方形”，学生从图形中感知获得的只是“长长的”、“方方的”，只有用数学语言揭示其特征（有4个角，都是直角；有4条边，对边相等），对长方形的认识才是深刻的。 几何图形的周长、面积、体积计算公式的归纳都是儿童对形体直观知觉的深化。如对长方形面积大小观念的建立从定性到定量，从直观比较到数方格，从摆小正方形（面积单位）到发现面积与长宽的关系，最终获得面积计算公式，使儿童从更深层面上认识了长方形。 对几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。如：“周长相同的三角形、正方形和圆，哪个面积最大？哪个最小？”由于作图困难，凭图形直观难以判断，而通过具体计算，结论就不辨自明。 （二）数形结合思想的形成途径 数形结合在方法论层面，只是一种具有普遍性和可操作性的程式，只有当它成为儿童解决数学问题的自觉意识时，才上升为“数学思想”，才成为“方法”的理论基础。 数形结合思想形成的前提是让学生经历应用的历练，而教师提供时间与空间是“方法”提升为“思想”的保证。 教师引领。在数学思想形成的过程中，教师的榜样作用至关重要。教师的引领既包括数形结合方法的示范，也包括教给学生技能和学生创造运用数形结合思想的机会。教师示范不仅要展现令人信服的结论，更重要的是数形结合思想如何体现在解决问题全过程中，包括：数形结合的思路是如何想到的；方法是如何运用的；在比较与反思中体会其优势。 群体互动。数学思想的形成离不开群体间的交往，因为个体的数学成长需要团体氛围，需要在与他人交往中获得肯定。如将自己解决数学问题的方法与他人的观点进行对照比较和争辩，让多种思维方式交织，个体从中感受到数形结合解决问题的优势，从而开阔思路、体验成功。学生在解决数学问题时都以个体的经验为背景建构对问题的理解，而在此基础上的同伴交流，使学生看到数形结合对问题的理解方式、解决模式的不同，思维活动得以彰显。这不仅使个体的思维过程更清晰，也使群体解决问题的方式更丰富，共同受益。 评价导向。由于数形结合思想常常不是表现为数学活动的结果，而表现在思维方式与过程中，体现在解决问题中手段的有效性、策略的合理性上，因而难以从儿童显性的学习行为中觉察。如果能在评价中体现出数形结合思想的运用，这将是学生学习的直接动力。在评价方式上，应改变单一考查答题结果的做法而辅之以面试、同学互评等，鼓励学生展示数形结合的思维过程。在评价内容上，不仅看事实性知识的掌握情况，也应评价其解决过程。对策略与方法优劣比较，作相应的联想与延伸等的强化与刺激，能很好地促进儿童数形结合思想的形成。（三）小学生的数形结合思维什么是小学生的数形结合思维?我认为思维就是对客观事物的一种心里反应，在我们做数学题时，就会产生如何解决问题的方法及过程，而利用我们对事物的直觉思维及在数学学习过程中掌握的逻辑思维去解决数学问题，我认为这就是数形结合思维，说它是思维，他其实是一种方法，但说它是方法，它又体现着思维的绝妙之处。我认为在重视小学生逻辑思维发展的同时，有必要研究和重视学生的直觉思维。因为数形结合思维就是同时利用逻辑思维与直觉思维的一种思维方法（现在我们且称它为方法，因为我认为它既是一种方法，又是一种思维，所以这种称谓比较合适）。这里提出以下三条建议。第一，注意以直观的活动引入新知，学生在学习数学概念的时候，往往有两种不同的认识水平，一种是未理解直接机械记忆、模仿的，一种是理解概念，并能充分掌握的，前一种课堂教学教学比较死板，学生对新概念只能机械的记忆，这样不但效果不好，时间长了还会遗忘，其大多数在引入新知时没有充分利用直观演示活动，学生对这一新概念没有直观的体验，只能依靠逻辑思维引导下去逐步体验，因为学生本身对其概念就没有什么理解，只是依靠机械记忆，所以对新概念掌握不好。后一种因为老师可能在学习过程中，用某一种事物做例子，让学生很容易在记忆的时候，联想到老师所拿的事物，这样对这个概念就能充分的理解，直觉的演示活动使学生产生一种直觉的整体体验。这里体现的是直觉思维的重要性，而在学生做题时，题干与事物结合而形成的思维就是我要说的数形结合思维。它充分说明了直觉思维在数形结合思维的重要性。第二，教师在教学过程中应注意以生动的比喻疏导思路，以为语言对学生也起到产生直觉思维的辅助效果，学生在数学学习中最困难的是掌握解题的思维方法，而大多数数学题都采用严格的逻辑思维方法叙述的，这样学生在做题过程中感觉到很枯燥，如果老师用生动的例子去为学生疏导思路，学生就能用形象的思维去理解这些题。形象的思维可以克服由于逻辑思维而使思维方法只停留在具体解题思路中的局限性，同时逻辑思维也可以辩证直觉思维容易产生的错误。它表明了数形结合思维是逻辑思维与直觉思维的集合体，并充分利用直觉思维与逻辑思维的优点去解决我们遇到的数学问题。 第三，注意以图形激发灵感，首先应观察图形的特点、规律等一系列问题。比如通过线段图来理解应用题中的数量关系，和一些相遇问题等等。这些形象图在教学实践中不是没有，只是没有引起多数教师的重视，我们应该要求学生充分去利用图形解决数学问题，让学生养成借助图形分析问题的习惯。数形结合思想在小学阶段十分重要，老师们应该重视学生的这方面的培养，这样才能为学生以后的学习打下良好的基础。（四）个案研究1、质数与合数 操作活动 用三个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？ 用这样的四个小正方形，你拼出的长方形是什么样的？能拼几个？ 出示：用这样的12个小正方形，你能拼出几个长方形？分别是什么样的？出示： 在以上操作活动中,表示正方形个数的数正好与质数、合数的概念有关。通过操作引导学生发现表示正方形个数的数只有1和它本身两个因数的时候，只能拼成一个长方形，当这个数除了1和它本身两个因数还有别的因数时拼得的长方形的个数不止一种，由此学习质数、合数概念。2、解决问题问题：学校食堂买来一些大米。计划吃8天，实际每天比计划多吃5千克，结果提前2天就吃完了。你能算出原计划每天吃多少千克吗？解决策略：这个问题乍一看，无从下手，但如果你能想到用一个长方形来表示“买来大米的总量”，思路就打开了。数形图： 提前2天 5千克 8天上面的图你能“读”懂吗？如果能，说明你的左右脑开始共同运动了。我们一起来分析：白色的大长方形表示大米的总量，灰色的小长方形就表示每天多吃的5千克，灰色的大长方形呈现的就是（8-2）天总共多吃的千克数。因为每天都多吃5千克，所以导致提前2天吃完，总共多吃的千克数其实就是原计划2天吃的千克数，即：5（8-2）2=15（千克）3、连乘问题问题：全班有8个小组，每组6人。每位同学向西部儿童捐书3本，全班一共捐书多少本？ 每组6人数形图：68=48（人） 36=18（本） 38=24（本）348=144（本） 188=144（本） 246=144（本）通过画图，隐藏的数量关系通过“形”的表象就显现出来了，学生一目了然。 4、小数除以整数问题：计算4.23 解决策略：“一张正方形纸表示1，你能用正方形纸表示出4.2吗？”接着让学生把“4.2”平均分成3份，看每份是多少。数形图：一份三，二这一操作过程正好蕴涵了计算4.23的算理。这样运用数形结合的教学手段可有效地帮助学生（特别是学困生）理解算理，竖式的学习则是水到渠成。二、 应用“数形结合”，提高学生的能力 对大脑的科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭，如数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等。右半脑功能则偏听偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力时，也促进了逻辑思维能力的发展。（一）“数形结合”有助于对数学知识的记忆 “记忆是智慧的仓库”。人的知识、经验的积累、技能的形成、技巧的熟练、思维能力的培养、事业的成就等都离不开良好的记忆能力。 中等职业教育中的数学知识是基础性知识，需要牢固地记忆并掌握这些基础知识，在此基础上做到灵活应用，在整个教学过程中，这二者是相辅相成的。记忆正是掌握知识的基本手段，记忆的过程也就是知识积累的过程，同时有助于知识的深化，知识水平的提高更是要以记忆为前提。有的学生面对一些数学问题束手无策，找不到解题的思路与方法，这与脑子里记忆的数学知识太少有关。只有对数学的基础知识记忆牢固，才能做到温故而知新，应用时熟能生巧，才能进一步发展数学思维，提高数学能力。教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，对学生输入的数学信息和映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。（二）应用“数形结合”，训练学生数学直觉思维能力 在数学里，存在着大量的直觉思维。这就是人们在求解数学问题时，运用已有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论。它具有顿悟、飞跃的特征。（三）应用“数形结合”，培养学生的发散思维能力发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。在教学中常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知与未知之间的矛盾联系，来引发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。（四）应用“数形结合”，培养学生的创造性思维能力目前，推行素质教育已成为教育发展的主流。对学生进行综合素质和能力的培养，是建立新世纪创造性人才队伍的需要。，是思维的最高境界。只有具有创造性思维能力的人，才能在各自的领域中有所创造发明，才能推动科学技术、人类社会的向前发展。在数学教学中，教师可通过编选一些探索性的题目，让学生去研究，去探讨，去发现。让他们不是从头脑中已有的思维形式和思维方法中去找答案，而是从问题的本身进行具体的分析，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维方式大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选出解决问题的方法。三、应用“数形结合”，转变学生的观念（一）树立现代思维意识 在数学教育中，通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合起来，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。 在数学教学活动中，通过数与形的结合，能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，可以养成多向性思维的好习惯。在数学教学活动中，教师引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置。运用动态思维方式处