第1章_控制系统的状态空间表达式.ppt

现代控制理论 张涛 自动化专业学位课程 华北科技学院自动化系 1 1状态变量及状态空间表达式 1 3状态变量及状态空间表达式的建立 一 1 2状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 1 5状态矢量的线性变换 坐标变换 1 4状态变量及状态空间表达式的建立 二 1 8时变系统和非线性系统的状态空间表达式 1 6从状态空间表达式求传递函数阵 1 7离散时间系统的状态空间表达式 1 1状态变量及状态空间表达式 1 1 1状态变量 状态变量 确定系统状态的最小一组变量 如果知道这些变量在任意初始时刻t t0的值以及t t0的系统输入 便能够完整地确定系统在任意时刻t的状态 状态 动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合 这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的 状态变量的特点 状态变量的选择不唯一 但相互独立 各个变量线性无关 其个数为微分方程的阶数 也为系统中独立储能元件的个数多组状态变量间存在某种非奇异变换关系状态变量可选任何变量 但通常选易测量或易观察的量 以便满足实现状态反馈 改善系统性能的需要 1 1状态变量及状态空间表达式 如果个状态变量用表示 并把这些状态变量看作是矢量的分量 则就称为状态矢量 记作 1 1 2状态矢量 1 1 3状态空间 以状态变量为坐标轴所构成的维空间 称为状态空间 1 1 4状态方程 反映系统内部状态变量和输入变量间因果关系的一阶微分 差分 方程组称为系统的状态方程 用下图所示的网络 说明如何用状态变量描述这一系统 图1 1 此系统有两个独立储能元件 有两个状态变量 分别为uc和i 容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程组 式 1 就是图1 1系统的状态方程 式中若将状态变量用一般符号表示 即令并写成矢量矩阵式 则状态方程变为 或 1 1 5输出方程 在指定系统输出的情况下 该输出与状态变量间以及输入量之间的函数关系式 称为系统的输出方程 如在图1 1系统中 指定作为输出 输出一般用y表示 则有 式 3 就是图1 1系统的输出方程 它的矩阵表示式为 式中 在经典控制理论中 用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程 如上图一所示的系统 在以作输出时 从式 1 消去中间变量i 得到二阶微分方程为 其相应的传递函数为 6 5 回到式 5 或式 6 的二阶系统 若改选和作为两个状态变量 即令则得一阶微分方程组为 1 1 6状态空间表达式 1 1 6状态空间表达式 即 8 设单输入一单输出定常系统 其状态变量为则状态方程的一般形式为 输出方程式则有如下形式 用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为 多输入一多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为 式中 x和a分别为n维状态矢量和n n系统矩阵 9 10 1 1 7状态空间表达式的系统框图 和经典控制理论相类似 可以用框图表示系统信号传递的关系 对于式 9 和式 10 所描述的系统 它们的框图分别如图a和b所示 为了简便 下面除特别申明 在输出方程中 均不考虑输入矢量的直接传递 即令d 0 1 2状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 状态空间表达式的框图可按如下步骤绘制 积分器的数目应等于状态变量数 将它们画在适当的位置 每个积分器的输出表示相应的某个状态变量 然后根据所给的状态方程和输出方程 画出相应的加法器和比例器 最后用箭头将这些元件连接起来 对于一阶标量微分方程 它的模拟结构图示于下图 再以三阶微分方程为例 将最高阶导数留在等式左边 上式可改写成 它的模拟结构图示于下图 同样 已知状态空间表达式 也可画出相应的模拟结构图 下图是下列三阶系统的模拟结构图 下例是二输入二输出的二阶系统的模拟结构图 可见较复杂 所以多输入多输出系统的结构图多以矢量结构图的形式表示 1 3状态变量及状态空间表达式的建立 一 状态空间表达式一般可以从三个途径求得 一是由系统框图来建立 即根据系统各个环节的实际连接 写出相应的状态空间表达式 二是从系统的物理或化学的机理出发进行推导 三是由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得 1 3 1从系统框图出发建立状态空间表达式 该法是首先将系统的各个环节 变成相应的模拟结构图 并把每个积分器的输出选作一个状态变量其输入便是相应的然后 由模拟图直接写出系统的状态方程和输出方程 一 由系统框图建立状态空间描述 例1 1 系统框图如下 关键 将积分部分单独表述出来 对结构图进行等效变换 等效变换如下 图中有三个积分环节 三阶系统 取三个状态变量如上图 选择积分环节后的变量为状态变量 则有 写成矩阵形式 系统 1 3 2从系统的机理出发建立状态空间表达式 一般常见的控制系统 按其能量属性 可分为电气 机械 机电 气动液压 热力等系统 根据其物理规律 如基尔霍夫定律 牛顿定律 能量守恒定律等 即可建立系统的状态方程 当指定系统的输出时 很容易写出系统的输出方程 步骤 1 根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程 2 选择有关的物理量作为状态变量 3 导出状态空间表达式 电路如图所示 建立该电路以电压u1 u2为输入量 ua为输出量的状态空间表达式 例1 2 解 1 选择状态变量两个储能元件l1和l2 可以选择i1和i2为状态变量 且两者是独立的 2 根据基尔霍夫电压定律 列写2个回路的微分方程 整理得 3 状态空间表达式为 例1 3 试列出在外力f作用下 以质量的位移为输出的状态空间描述 解 该系统有四个独立的储能元件 取状态变量如下 则有 及 将所选的状态变量 例1 4建立右图所示机械系统的状态空间表达式 注 质量块m的重量已经和弹簧k的初始拉伸相抵消 根据牛顿第二定律 即 选择状态变量 则 机械系统的系统方程为 该系统的状态图如下 例1 5建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式 电枢回路的电压方程为 系统运动方程式为 式中 为电动势常数 为转矩常数 为折合到电动机轴上的转动惯量 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数 可选择电枢电流和角速度为状态变量 电动机的电枢电压为输入量 角速度为输出量 状态空间表达式 状态图如下 1 3 5传递函数 矩阵 描述和状态空间描述的比较 1 传递函数是系统在初始松弛的假定下输入 输出间的关系描述 非初始松弛系统 不能应用这种描述 状态空间表达式即可以描述初始松弛系统 也可以描述非初始松弛系统 2 传递函数仅适用于线性定常系统 而状态空间表达式可以在定常系统中应用 也可以在时变系统中应用 3 对于数学模型不明的线性定常系统 难以建立状态空间表达式 用实验法获得频率特性 进而可以获得传递函数 4 传递函数仅适用于单入单出系统 状态空间表达式可用于多入多出系统的描述 5 传递函数只能给出系统的输出信息 而状态空间表达式不仅给出输出信息 还能够提供系统内部状态信息 综上所示 传递函数 矩阵 和状态空间表达式这两种描述各有所长 在系统分析和设计中都得到广泛应用 状态空间法具备如下优点 1 在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程组 比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易 2 状态空间法引入了向量矩阵 大大简化了一阶微分方程组的数学表示法 3 在控制系统的分析中 系统的初始条件对经典法感到困难的问题 采用状态空间法就迎刃而解了 4 状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应 不但反映了系统的输入输出外部特性 而且揭示了系统内部的结构特性 既适用单输入单输出系统又适用多输入多输出系统 5 状态空间法可利用计算机进行分析设计以及实时控制 所以可应用求解大量的非线性系统 时变系统 随机过程和采样系统 6 利用现代空间法进行系统综合时 是非常有利的 1 4状态变量及状态空间表达式的建立 二 对于给定的系统微分方程或传递函数 寻求对应的状态空间描述而不改变系统的输入 输出特性 称此状态空间描述是系统的一个状态空间实现 由于所选状态变量不同 其状态空间描述也不同 故其实现方法有多种 考虑一个单变量线性定常系统 它的运动方程是一个n阶线性常系数微分方程 相应的传递函数为 1 4状态变量及状态空表达式的建立 二 实现的存在条件是 当时 d 0 当m n时 d bm 不为零 此时 上式可写成如下形式 这里只研究不存在零 极点对消的情况 所求得的状态空间描述中 状态变量数量最少 各矩阵的维数最小 构造硬件系统时所需的积分器个数最少 称为最小实现 1 4 1传递函数中没有零点时的实现 在这种情况下 系统的微分方程为 1 4状态变量及状态空表达式的建立 二 相应的系统传递函数为 上式的实现 可以有多种结构 常用的简便形式可由相应的模拟结构图 下图 导出 这种由中间变量到输入端的负反馈 是一种常见的结构形式 也是一种最易求得的结构形式 将图中每个积分器的输出取作状态变量 有时称为相变量 它是输出的各阶导数 至于每个积分器的输入 显然就是各状态变量的导数 依据上图 容易列出系统的状态方程 输出方程为 表示成矩阵形式 则为 顺便指出 当a矩阵具有式上矩阵的形式时 称为友矩阵 友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为1 最后一行的元素可取任意值 而其余元素均为零 下面看个例题 例1设求 a b c d 解 选 则 状态空间表达式为 1 4 2传递函数中有零点时的实现 此时 系统的微分方程为 相应地 系统传递函数为 26 设待实现的系统传递函数为 因为n m 上式可变换为 关键是选取合适的结构 使状态方程中不包含输入函数的导数项 先从三阶微分方程出发 找出其实现规律 然后推广到n阶系统 令 则 对上式求拉氏反变换 可得 据此可得系统模拟结构图 如下图所示 先画出本页最上方传递函数的模拟结构图 再添加 每个积分器的输出为一个状态变量 可得系统的状态空间表达式 或表示为 推广到n阶系统 式 26 的实现可以为 28 可见状态方程与无零点时是相同的 只与传递函数的分母有关 由于实现非唯一 下图示出上例的另一种实现方法 从输入 输出的关系看 二者是等效的 可见输出方程与无零点时不同 根据这个结论 由传递函数中分子分母多项式的系数 可写出系统的状态空间表达式 从图中可以看出 将输入函数的各阶导数作适当的等效移动 可用下图表示 将综合点等效地移到前面 得到等效模拟结构图如下图所示 由上图可求得其对应的传递函数为 29 为求得令式 29 与式 26 相等 通过对多项式系数的比较得 也可将式 30 写成式 31 的形式 以便记忆 31 将上图的每个积分器输出选作状态变量 如图所示 得这种结构下的状态空间表达式 扩展到n阶系统 其状态空间表达式为 33 式中 或记为 值得注意的是 这两种方法所选择的状态变量是不同的 这点从它们的模拟结构图可以清楚地看到 1 4 3多输入一多输出系统微分方程的实现 以双输入一双输出的三阶系统为例 设系统的微分方程为 35 同单输入 单输出系统一样 式 35 系统的实现也是非唯一的 现采用模拟结构图的方法 按高阶导数项求解 1 4 3多输入一多输出系统微分方程的实现 对每一个方程积分 故得模拟结构图 如下图所示 取每个积分器的输出为一个状态变量 如上图所示 则式 35 的一种实现为 或表示为 36 1 5状态矢量的线性变换 坐标变换 1 5 1系统状态空间表达式的非唯一性 对于一个给定的定常系统 可以选取许多种状态变量 相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统 也就是说系统可以有多种结构形式 所选取的状态矢量之间 实际上是一种矢量的线性变换 或称坐标变换 1 5状态矢量的线性变换 坐标变换 1 5 1系统状态空间表达式的非唯一性 设给定系统为 37 我们总可以找到任意一个非奇异矩阵t 将原状态矢量x作线性变换 得到另一状态矢量z 设变换关系为 即 代入式 37 得到新的状态空间表达式 38 由于t为任意非奇异阵 故状态空间表达式非唯一 通常称t为变换矩阵 1 5 2系统特征值的不变性及系统的不变量 1 系统特征值 系统 系统特征值就是系统矩阵a的特征值 也即特征方程 43 的根 方阵a共有n个特征值 实际物理系统中 为实数方阵 故特征值或为实数 或为成对共轭复数 如为实对称方阵 则其特征值都是实数 2 系统的不变量与特征值的不变性 同一系统 经非奇异变换后 得 式 43 与式 44 形式虽然不同 但实际是相等的 即系统的非奇异变换 其特征值是不变的 可以证明如下 将特征方程写成多项式形式由于特征值全由特征多项式的系数唯一确定 而特征值经非奇异变换是不变的 那么这些系数也是不变的量 所以称特征多项式的系数为系统的不变量 一个维矢量 经过以作为变换阵的变换 得到一个新的矢量即 如果此即矢量 经线性变换后 方向不变 仅长度变化倍 则称为的对应于的特征矢量 此时有 3 特征矢量 1 5 3状态空间表达式变换为约旦标准型 根据系统矩阵a求其特征值 可以直接写出系统的约旦标准型矩阵j无重根时 有重根时 而欲得到变换的控制矩阵和输出矩阵ct 则必须求出变换矩阵t 下面根据a阵形式及有无重根的情况 分别介绍几种求t的方法 1 a阵为任意形式 1 a阵的特征值无重根时 设是a的个互异特征根 求出a的特征矢量则变换矩阵由a的特征矢量构成 即 2 a阵为标准型 即 1 a的特征值无重根时 其变换是一个范德蒙德 vandermonde 矩阵 为 2 a特征值有重根时 以有的三重根为例 3 有共轭复根时 以四阶系统其中有一对共轭复根为例 即 此时 已知系统传递函数 55 现将式 55 展开成部分分式 由于系统的特征根有两种情况 一是所有根均是互异的 一是有重根 3 系统的并联型实现 讨论此系统 也有一个q重极点 分析 既有互异极点 实现方法 整理得 系数为待定系数 其中 采用留数定理计算 1 对于互异极点部分 令 拉氏反变换可得 2 对于重极点部分 令 则 联立上两式得 拉氏反变换可得 联立 1 2 4 可得 由 3 6 7 可得状态空间描述为 xn xq 1 x11 x12 x1q y t u t 1 q 1 n 1 1 c11 c12 c1q cq 1 cn 约当标准型状态结构图 1 6从状态空间表达式求传递函数阵 1 6 1传递函数 阵 1 单输入一单输出系统 已知系统的状态空间表达式 式中 为维状态矢量 和为输出和输入 它们都是标量 a为方阵 为列阵 c为行阵 d为标量 一般为零 62 1 6从状态空间表达式求传递函数阵 对式 62 进行拉氏变换 并假定初始条件为零 则有 63 故u x间的传递函数为 64 它是一个的列阵函数 间的传递函数为 它是一个标量 2 多输入一多输出系统 已知系统的状态空间表达式 66 同前 对式 66 作拉氏变换并