几何定值与极值问题.doc

几何定值和极值 1. 几何定值问题 (1)定量问题：解决定量问题的关键在探求定值，一旦定值被找出，就转化为熟悉的几何证明题了。探求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法。 (2)定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题。在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线可以看作斜率一定的直线，实质上这些问题是轨迹问题。 2. 几何极值问题：最常见的几何极值问题大体包括：有关线段的最大最小问题；三角形面积的最大最小问题；角的最大最小问题等。【例题分析】 例1. 已知的两边的中点分别为M、N，P为MN上的任一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E，求证：为定值。 分析：用运动法探求定值，先考虑特殊情况，令P在MN上向M运动，此时D点向A运动，P点运动到M时，D点将与A点重合，而AMMB，于是，于是转入一般证明。 证明：连结AP 例2. 两圆相交于P、Q两点，过点P任作两直线与交一圆于A、B，交另一圆于、，AB与交于点C，求证：为定值。 分析：设两圆为O、，现从运动极端分析，因为直线与都是以P为固定点运动的。当与重合时，便成了左图的情况，而AC和分别成了两圆的切线。且，QA、分别为直径。 容易求得 这就是所求的定值。 证明：如右图，连结PQ、BQ、则有 例3. 在定角XOY的角平分线上，任取一点P，以P为圆心，任作一圆与OX相交，靠近O点的交点为A，与OY相交，远离O点的交点为B，则为定角。 分析：先探求定值，根据特殊化求定值，一般证明的原则，先看图(2)，如果以角平分线上任意一点P为圆心，以OP为半径作圆，此时，A点与O点重合， 证明：如图(1)，作 例4. 已知E、F分别是四边形ABCD的AB、CD边上的中点 求证： 分析：本题即证EF的最大值为，因此可先考虑特殊情况，以找出等号成立的条件，再证一般情况。 证明：(1)当四边形中AD/BC时，如左图 EF是梯形ABCD的中位线 (2)当AD不平行BC时，如右图 连结AC，取AC的中点G，再连结EG、FG 在中， 在中， 又中， 综合(1) (2)，得【考点解析】 例1. 如图，AD是O的直径，B是AD延长线上一点，BE切O于点E，交BE延长线于点C，若，弦EG交AD于点F。求证：。 证明：连结AE、ED 点评：本题用到了垂径定理的推论，圆周角、弦切角、直径所对的圆周角、直角三角形两锐角互余，角平分线的性质等知识。 例2. 如图，在中，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AC切于点D，与AB交于点E，若AD2，AE1，求的值和四边形BCDE的面积。 分析：求的值，需要用转化的思想，因为不是直角三角形，所以要转化到直角三角形中解决问题。因为，所以可以把问题转化到中解决问题。求四边形可以用割补的方法，把四边形分割成和等腰两个三角形分别求解。 解：连结BD，过D点作于点F 点评：本题主要运用了转化的思想，把求转化到了中来解决。考查了相似三角形、弦切角、圆周角、勾股定理等知识。【模拟试题】一. 几何定值问题 1. 求证：正三角形内一点到三边距离之和为定值。 2. 在正方形ABCD的外接圆的AD上任取一点P，则(PCPA)：PB为定值。 3. 在正方形ABCD内，以A点为顶点作且，设这个角的两边分别交正方形的边BC、CD于、F，自E、F分别作正方形对角线AC的垂线，垂足为P、Q。求证：过B、P、Q所作圆的圆心在BC上。 4. 已知CD是半径为R的O的直径，AB是动弦，AB与CD相交于E，且成角，求证：为定值。二. 几何极值问题 5. 在中，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点，试证明的面积不超过的面积之和。 的周长6. 如图，中，D、E分别是BC、AB上的点，且，如果依次是m、，证明：。 7. 已知P为平行四边形ABCD的AB边上的一个动点，DP的延长线与CB的延长线相交于Q，问P点在什么位置时，使得的值最小？ 8. 设AB是O的动切线，与通过圆心O而互相垂直的两直线相交于A 、B，O的半径为r，求OAOB的最小值。【疑难解答】 A.教师自己设计问题： 1 . 本周的模拟试题为什么没有选择题和填空题？ 2 . 解答题的8个题各属于几何定值和极值的哪种类型？它们的解题思路是什么？ B. 对问题的解答： 1. 本周的几何定值和极值问题综合性较强，而且一般都在解答题中出现，选择题和填空题出现极少，因此本周的模拟试题都是解答题。 2. 答：解答题的第1题、第2题和第4题是几何定值中的定量问题；第3题是几何定值中的定形问题；第5到第8题是几何极值问题。下面就这8个题的解题思路分别作以下的说明。 第1题：已知P为正内任意一点，它到BC、CA、AB的距离分别为PE、PF、PD，求证：PDPEPF为定值。 分析：点P可以在三角形内任意运动，当P点运动到正三角形的一个顶点时，显然就是正三角形的高，因此，PDPEPF必取定值，这个定值，就是的高h。 证明：连结PA、PB、PC显然有： 第2题：分析：用运动法令P与D重合，则(PCPA)： PB变为(DA DC)：DB，显然其定值为。 由于图中直角比较多，所以可做垂线构造相似形证明。 证明：由A引 第3题：本题属于定形问题，要证B、P、Q三点所确定的圆的圆心在BC上，若命题正确，则B点就是半径的端点，且，AB就是圆的切线， APQ是割线，那么必有，证明即可。 证明：如图， 得 AB是过B、P、Q三点所作圆的切线，BC过切点B垂直于AB，它必通过圆心，也就是过B、P、Q所作圆的圆心在BC边上。 第4题：这是定值问题，既然AB是O的动弦，而且与O的定直径CD保持夹角为，则可把这些动弦视为一组平行移动的弦，显然，做一条过圆心且平行于AB的弦，则E点与O点重合，这时，于是探求到定值为，这里的是特殊位置，一般情况就比较好证了。 第5题： 分析：因为DADB，所以就可以拼合成一个四边形，然后再去与比较面积的大小。 证明：(1)如图(1)，以D为对称中心，把旋转，易知四边形是凸四边形，连结，而且 (2)当E运动到与A重合时，如图(2) (3)当F运动到与B重合时，如图(3) 综合(1)、(2)、(3) 总能成立。 第6题：分析：初看本题不好下手，但仔细想来有两条路可走，一是把分别用同一个三角形的边长的代数式表示，将转化为二次函数求极值；另一是将的和，分别求其代数式再求极值。 证明：设BCa，ACb，ABc，则mabc 第7题：分析：P是AB边上的一个动点，Q点随P的运动而动，题中涉及两个未知量的和。BQ随AP的变化而变化，所以可用AP的代数式来表示。这样，我们设所求两线段之和为线段AP的函数，即可用代数法求解。 解：设APx，ABm，ADn，APBQy，易证 把(1)式变形为 即y的最小值是，用代入(2)式 解得，当AP的长为平行四边形ABCD的比例中项式，APBQ的值最小。 第8题：分析：设OAx，OBy观察图形可看出中，斜边AB上的高OPr为定值，则AB越小，其面积越小，当OAOB时，面积最小，此时，也最小，的最小值为。动态几何中的定值问题开场白：同学们，动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。这类问题中就有一类是定值问题，下面我们来看几道题：【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角边AB=AC=1，P是斜边BC上的一动点，过P作PEAB于E，PFAC于F，则PE+PF= 。方法1：特殊值法：把P点放在特殊的B点或C点或BC中点。此种方法只适合小题。方法2：等量转化法：这是绝大部分同学能够想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。方法3：等面积法：连接AP，总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中（方法2抓住了边长AB 的不变性和PE,PF与BE,AE的不变关系；方法3抓住了面积的不变性），使得问题迎刃而解。设计：大部分学生都能想到方法2，若其他两种方法学生没有想到，也不要深究，更不要自己讲掉。此题可叫差生或中等偏下的学生回答（赛比艳，艾科）（设计意图：由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。）过渡：这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了，我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决？请看：【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为等腰三角形，且两腰AB=AC=5，底边BC=6，过P作PEAB于E，PFAC于F，则PE+PF还是定值吗？若是，是多少？若不是，为什么?方法1：三角形相似进行量的转化 （板书）（M为BC中点）（解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住这条线的长度是不变量这个特点，建立PE,PF与AM之间的联系，化动为静）方法2：等面积法：（M为BC中点） （板书）（解题要点：抓住三角形面积是个不变量，用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。）(若学生想不到，可提示：在此题中，不变的东西是什么？不变的这个量和变量PE,PF之间有什么联系，能不能用一个等式来表示？学生会三角形的边长，角度，周长，面积等都是不变量。（设计意图：由特殊到一般，引出求垂线段长度的常用方法：等面积法）（教师行为：出示题之后，让学生做，教师下去看。叫用方法1的同学先站起来回答，然后再叫用方法2的同学。以达到过渡到下一题的目的。）问：我把题中的5改为a，6改为b，PE+PF还是定值吗？你能求出这个定值吗？答：是定值，求解方法不变。问：由这题，你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗？结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=(a为腰长,b为底边长,h为的边上的高)（等面积法可以求解，注意当顶角为钝角的情况）问题：通过前面几题，你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么？应该注意什么问题？答：不要被动、变迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到不变量或不变关系，找到解题的途径。在解题过程中要注意点或线在运动的过程中，是否需要讨论。过渡：上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动，有些同学可能还是觉得不够刺激，下面再来一道刺激一点的，让点在一个区域内运动，请看：【变式2】已知P为边长为a的等边三角形ABC内任意一动点， P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之和是否为定值？为什么？（由上题的启示，学生可能很容易想到等面积法） 为定值 （M为BC中点） （板书）可以用几何画板度量长度，进行演示过渡：研究完了P在三角形内部运动的情况，我们不防降低对P点的约束，让这个好动的点P动到三角形外部去，情况又会有何变化？【变式3】已知P为边长为a的等边三角形ABC外任意一点，P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之间有何关系？为什么？ 图1 图2 图3 在几何画板中操作，发现当点P移出三角形时，h1h2h3发生改变，那么h1,h2,h3有没有什么一定的关系呢？等面积法还可以用吗？PAB，PBC，PAC的面积有何关系？这三个三角形的面积和不变的三角形ABC的面积有何关系？（直需讲解一种情况，其它让学生自己去补充）图1：为定值 （板书）图2：为定值 （只把结论板书）图3：为定值 （只把结论板书）图1 图2 图3图1：为定值 （板书）图2：为定值 （只把结论板书）图3：为定值 （只把结论板书）（分类讨论）（几个三角形之间的面积关系。）过渡：前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题，下面再看一道以圆为背景的定值问题。【问题2】已知：已知弧AB为120度，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作M的切线，两条切线相交于点C.求证：ACB有定值，并求出这个定值.分析：问：这个图形中不变的是什么？不变的角是那一个？答： 此题中的不变量是弧AB，因此AMB也是不变量；不变关系是相切。问：已知直线和圆已经相切，我们会想到什么？答：连接圆心与切线方法1：问：要证ACB有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证ACB有定值，只需证CAB+CBA是定值，只需证MAB+MBA是定值，只要AMB是定值即可。证明：在ABC中，MAB+MBA=180AMB，M是ABC的内心，CAB+CBA=2(180AMB).ACB=180（CAB+CBA）=1802(180AMB)= 2AMB18060.ACB有定值60.方法2：问：要证ACB有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证ACB有定值，只需证EMF是定值，只需证EMD+FMD是定值，只要AMD+BMD即AMB是定值即可。证明：在四边形CEMF中，C+EMF=180，M是ABC的内心，DMA=EMA, FMB=DMBEMD+FMD=2AMB =240EMF=120 C =180-EMF=60总结：若要证的不变量比较困难，你可以先找找题中比较容易看出的不变量，然后建立两者之间的联系。（多角度，多方位地研究动态几何中的定值问题，本题以圆为背景，研究角的定值问题。）过渡：上题是道有关定值的证明题，也就是已经明确方向肯定是定值了，若不是证明题呢？【问题3】已知：O是如图同心圆的圆心,AB是大圆的直径?点P是小圆