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三垂线定理 1 三垂线定理 复习斜线与射影概念三垂线定理三垂线定理证明习题练习作业 2 复习 直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面平行 直线与平面相交 a l a l a l 3 复习上一节 直线与平面垂直 定义 如果一条直线垂直于平面内所有直线 那么这条直线垂直于这个平面 判定定理 如果平面外一直线与平面内的两条相交 平行 直线垂直 那么这条直线垂直于这个平面 因为两条相交 平行 直线确定一个平面 重要结论 如果一条直线垂直于一个平面 那么这条直线垂直于平面内所有直线 4 斜线 定义 如果一条直线与平面相交且不垂直那么这条直线是这个平面的一条斜线 直线与平面的交点称斜足 l a O 平面 a斜线 l斜足 O 5 射影 点 平面外一点向平面引垂线 那么垂足就是该点在平面内的射影 任何一个图形由点组成的 所以 图形发在平面内的射影就是图形上的每一个点在平面内的射影点组成图形是 显然直线的射影是直线 6 斜线的射影 做法 斜线上任去一点 除斜足外 作该点在平面内的射影点 连结该点和斜足的直线就是斜线在平面内的射影 O a 平面 a斜线 PO射影 AO P A 7 三垂线定理 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 即如果平面内直线a垂直于平面的斜线PO的射影AO 则a垂直于斜线PO 8 证明 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 已知条件 PA 平面a A是P在平面内的射影 a AO求证 a PO 证明 PA 平面a PA AO PA a 如果一条直线垂直于一个平面 那么这条直线垂直于平面内所有直线 a AO a 平面OAP 如果平面外一直线与平面内的两条相交直线垂直 那么这条直线垂直于这个平面 a PO 9 三垂线定理包含几种垂直关系 1 线面垂直 2 线射垂直 3 线斜垂直 直线和平面垂直 平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直 平面内的直线和平面的一条斜线垂直 10 例题一 引例 如图 已知PA 平面ABC ABC 90 求证 BC PB 证 PA 平面ABC BC在平面ABC内 PA BC 又 ABC 90 BC AB BC 平面PAB PB在平面PAB内 BC PB 思考 1 证明线线垂直的方法有哪些 2 三垂线定理及其逆定理的主要内容 11 例题2 如图所示 已知PA 平面ABC ACB 90 AQ PC AR PB 试证 PBC PQR为直角三角形 证明 PA 平面ABC ACB 90 AC BC AC是斜线PC在平面ABC的射影 BC PC 三垂线定理 PBC是直角三角形 BC 平面PAC AQ在平面PAC内 BC AQ 又PC AQ AQ 平面PBC QR是AR在平面PBC的射影 又AR PB QR PB 三垂线逆定理 PQR是直角三角形 12 巩固性练习 1 若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直 则这条直线与斜线的位置关系是 A 垂直 B 异面 C 相交 D 不能确定 D 2 在一个四面体中 如果它有一个面是直角三角形 那么它的另外三个面 A 至多只能有一个直角