关于单变量统计过程控制图某些研究结果简介.doc

关于单变量统计过程控制图某些研究结果简介王兆军南开大学数学科学学院统计系天津 300071摘要 本文仅对一元连续变量的静态与动态控制图研究现状进行了简单的总结和介绍，并给出了较详细的参考文献，希望以此为在国内开展此方向的研究抛砖引玉。关键词：Shewhart控制图，CUSUM控制图，EWMA控制图一、引言众所周知，质量控制为世界工业经济的发展起到了巨大的推动作用，尤其是随着生产线的广泛应用，线内质量管理特别是质量控制图得到了充分应用、研究与发展1-5。目前，随着世界经济的全球化，产品竞争越来越激烈，如果一个产品没有过硬的质量，就很难在激烈竞争的市场中长久地生存、发展，这一点可以从日本的工业产品迅速占领国际市场得到验证。可以说，统计过程控制（Statistical Process Control, SPC）为日本工业产品迅速占领国际市场起到了巨大的推动作用6。另外，随着我国市场经济体制的完善以及全球经济的一体化，我国经济已融入了世界经济，如果我国工业产品不在质量上多下功夫，就可能使我国的民族工业遭受重创甚至没顶之灾。而统计过程控制则可以帮助工业企业如何提高自身产品质量，为我国工业产品走出国门、占领国际市场提供技术上的指导与帮助。统计过程控制图的研究起源于1931年由Shewhart博士提出的Shewhart X-bar控制图，在这七十年间，它得到了广泛的研究与发展，取得了相当丰富的成果。这些研究成果可大致分成如下几个方面：独立数据的第一、第二阶段控制图的研究；相关数据的第一、第二阶段控制图的研究；多元数据的控制图的研究7；基于非参数统计方法的控制图的研究8；动态控制图的研究9；控制图的经济设计(economic design)研究10；从大样本角度研究某些常用控制图的优良性质11, 12。本文就近几年关于统计过程控制图的研究成果作一简单介绍。二、关于独立数据的动态控制图的研究动态控制图的特点是其样本容量或抽样区间的大小与前一组样本的位置有关，这方面的成果可分为五类：VSI(Variable Sampling Interval)、VSS(Variable Sample Size)、VSSI(Variable Sample Size and Sampling Interval)、VP(Variable Parameter)和VSSIFT (Variable Sample size and Sampling Interval at Fixed Time)控制图。总的来说，动态控制图的平均报警时间(Average Time to Signal，简记为ATS)明显优于FSS(Fixed Sample Size)或FSI(Fixed Sampling Interval)控制图；对于小飘移，动态EWMA和CUSUM控制图明显优于动态Shewhart控制图；VSS控制图优于VSI控制图；VP X-bar控制图优于VSSI X-bar控制图。从比较准则来看，大家多采用Adjusted ATS或Steady State ATS，而仅有一篇文章从切换频率(Average Number of Switches,简记为ANSW)的角度研究动态控制图13。从所用统计量来看，多采用基于样本均值的统计量，而仅有少数几篇文章利用中位数等更稳键的统计量进行研究14。关于VP控制图，现只有关于VP X-bar控制图的结果15,而没有人研究过VP CUSUM和VP EWMA控制图的性质，也没有关于在固定时间点抽样的VP控制图的任何研究结果。关于稳键特别是基于非参数统计量的动态控制图，现在的结果非常少，只是张维铭教授研究过基于中位数的动态控制图。现在所有的动态控制图均假设过程参数已知，而没有研究参数估计对控制图的影响及自启动(Self-starting)的动态控制图。三、针对Linear Profile的控制图的研究关于Linear Profile控制图是Kang & Albin于2000年基于某实际问题首先提出并加以研究的16。到目前为止，所有的控制图均假设模型仅有截距和斜率项，采用的方法多为对估计后的残差做Shewhart X-bar、EWMA或CUSUM控制图；为了检测是截距、斜率及方差中的哪部分发生了飘移，有人也把原模型中心化后，使得斜率与方差的估计量独立，再分别针对二者进行检测17,18；有人把似然比检验用于Linear Profile控制图19；有人把Change-point方法用于Linear Profile控制图20；也有人研究过自启动的Linear Profile控制图21。从模拟结果看，基于Change-point方法的控制图的稳键性最优。其次，基于似然比的方法可以用来检测截距、斜率和方差的飘移，并且较其它方法具有一定的优势。到目前为止，还没有关于多元线性模型的控制图，其原因是Woodall等人提出的计算方法很难推广到多元情形；没有关于Linear Profile的动态控制图的研究结果；没有关于纵向数据(longitudinal data)的控制图。四、针对相关数据控制图的研究 关于相关数据的第二阶段控制图，基本有两大类方法22-29，一类是基于观测数据本身的，另一类是基于一步预测残差的。Montgomery和Mastrangelo22指出，不论数据的相关结构如何，均可以利用常规的EWMA控制图进行检测。基于残差的控制图均是在给定模型的条件下，利用一步预测残差的独立性而进行检测的。现在讨论最多的模型是ARMA，AR(1)及IMA(1,1)模型。其中Lin和Adams24较详细地研究了基于残差的Shewhart-EWMA联合控制图对于ARMA(p,q)模型的trend shift和AR(1)及IMA(1,1)模型的step shift的表现。但值得注意的是，对于step飘移，在任何一个模型下，残差的飘移不是固定不变的，而是随着时间的推进，逐步减小,以至于利用残差不易检测过程已经发生飘移，并且其recovery rate依赖于模型的选择。为此，Nembhard和Kao26提出了一种权函数依时间发生变化的Adaptive EWMA控制图。另外，Adams和Tseng27研究了基于残差控制图的稳键性问题，Lu和Reynolds28研究了相关数据的均值与标准差的控制图。到目前为止，关于相关数据的CUSUM控制图还不多见29，其困难在于：不同模型的飘移有不同的特点；参数如何估计，而估计后的残差并不是IID的等等。 另外，Han和Tsung基于Cuscore检验提出了一种叫做Reference-free Cuscore控制图12，并从大样本角度和其它几种控制图进行了比较。理论与模拟结果均显示这种控制图具有一定的优势。关于相关数据的第一阶段控制图，现只有一篇文章对此进行了研究30。此文主要是针对来自AR(1)模型的相关数据，利用带有独立测量误差的AR(1)模型与ARIMA模型的等价性，给出了模型参数的一种稳健的估计方法。另外，还有一篇文章研究了相关数据的离群值的检验方法31。关于研究相关数据第一阶段动态控制图的困难在于：其模型如何确定，参数如何估计，而估计后的残差并不是IID的，其报警概率如何计算等。五、基于似然比的控制图的研究 关于第一阶段控制图，现有的基于似然比的控制图有：Sullivan和Woodall提出的基于极大似然比的LRT图32；Koning和Does提出的基于检测线性飘移的UMP检验的CUSUM（Cumulative Sum,累积和）控制图33；代毅、邹长亮和王兆军提出的基于似然比的CUSUM图34。其中仅LRT图可同时检测均值与方差的飘移。虽然Koning和Does提出的CUSUM统计量是UMP的，但它仅对检测线性飘移才有效，而对于step飘移和多个飘移它都不如我们提出的CUSUM图。关于第二阶段控制图，Page博士于1954年提出了CUSUM控制图就是基于极大似然比检验得到的，现已验证它对于小飘移的检测是非常有效的。关于动态控制图，有Soumbos和Reynolds提出的SPRT控制图35, 36。SPRT控制图充分利用了SPRT的优良性质，以使其平均报警时间得到了很大的提高。这两篇文章的区别在于第一篇仅考虑到了样本抽取时间可忽略的情况，而第二篇则取消了此限制。另外，两篇文章均利用积分方程求解平均报警时间，但第二篇文章利用了某些近似，使计算效率得到了极大的提高。从模拟结果看，SPRT控制图明显优于其它现有的动态控制图，但它们仅能检测均值的飘移，而不能检测方差或二者同时发生的飘移。另外，他们提出的控制图是基于极大似然比检验导出的，故属于CUSUM控制图。另外，还有两篇文章研究相关数据的基于似然比的控制图37, 38。六、检测区间飘移的控制图的研究现有绝大多数控制图的最优参数都是针对固定飘移设计得到的，但在许多实际问题中，飘移的大小是很难事先确定的，于是就有了区间飘移的检测问题。最早研究区间飘移的是Lorden, 其方法是联合无穷多个CUSUM39，但其计算非常困难。Zhao, Tsung, and Wang40提出的DCUSUM控制图不仅可以用来检测区间飘移，而且其一种设计方法的效果非常接近Lorden的无穷多个CUSUM控制图，即它是渐近最优的(相对于无穷多个CUSUM控制图)。另外，他们也首先给出了衡量检测区间飘移的准则IRARL及其计算方法，但由于利用了马氏链方法，故推广到双边情况较困难(或所需计算时间很长)。Han和Tsung用类似于Lorden的思想提出了GEWMA11，并从大样本角度与其它几种常用方法进行了比较。无论从理论结果还是模拟结果看，GEWMA较其它几种方法均具有一定的优势。虽然Han和Tsung仅比较了ARL的大小，并没有从运行长度的分布和标准差角度进行比较，但这是利用大样本性质研究控制图的第一篇文章（不包括变点问题。关于变点问题的类似方法请见Siegmund and Venkatraman41），并由此开辟了研究控制图的一种新方法。七、结束语本文仅就独立及相关数据的第一、第二阶段控制图及相关数据的动态质量控制图的研究内容，进行了简单的介绍，并给出了较详细的参考文献。对其中有兴趣的读者可参见相应的文献。当然，关于质量控制图还有一些研究热点，如稳键的多元控制图（有基于auti-rank的，有基于statistical depth的）、结合SPC与EPC的控制图等等，但由于篇幅所限，本文没有加以介绍。参考文献：1 Montgomery, D. C. (2004). Introduction to Statistical Quality Control, 5th ed. John Wiley & Sons, New York. 2 Woodall, W. H. and Montgomery, D. C. (1999). Research issues and ideas in statistical process control. Journal of Quality Technology 31, 376386.3 张维铭(1992). 统计质量控制理论与应用，浙江大学出版社. 4 章渭基等(1988). 质量控制，科学出版社. 5 周纪芗、茆诗松(1999). 质量管理统计方法，中国统计出版社.6 吴玉印(1983). 关于日本生产率的一个秘决，数理统计与管理，No 1, 1-8.7 Lowry, C. A. and Montgomery, D. C. (1995). A review of multivariate control charts. IIE Transactions, 27, 800-810.8 Chakraborti, S., Van Der Laan, P., and Barki, S. (2001). Nonparametric statistical process control: an overview and some results, Journal of Quality Technology, 33, 304-315.9王兆军(2002).关于动态质量控制图的设计理论，应用概率统计,18,316-333.10Montgomery, D. C.(1980). The economic design of control charts: a review and literature survey, Journal of Quality Technology, 12, 75-87.11Han, D., Tsung, F. G. (2004). A Generalized EWMA Control Chart and Its Comparison with the Optimal EWMA, CUSUM and GLR Schemes, Annals of Statistics, 32, 316-339.12Han, D., Tsung, F. G. (2006). A reference-free Cuscore chart for dynamic mean change detection and a unified framework for charting performance comparison, to appear in JASA.13Amin, R. W., Hemasinha, R. (1993). The switching behavior of X-bar charts with variable sampling intervals, Communication in Statistics-Theory and Method, 22, 2081-2102.14张维铭(2000). 可变样本容量的质量控制图, 应用概率统计, 16, 255-261.15Costa, A. F. B. (1999). X-bar charts with variable parameters, Journal of Quality Technology, 31(4), 408-416.16Kang, L, Albin, S. L. (2000). On-line monitoring when the process yields a linear profile, Journal of Quality Technology, 32, 418-426.17Kim, K. , Mahmound, M. A., and Woodall, W. H. (2003). On the monitoring of linear profile, Journal of Quality Technology, 35, 317-328.18Mahmoud, M. A., Woodall, W. H. (2004). Phase I analysis of linear profiles with calibration applications, Technometrics, 46, 380-391.19Zou Changliang, Day Yi, and Wang Zhaojun (2004). Control Charts Based on Likelihood Ratio For Preliminary Analysis of Linear Profile. Nankai Preprints in Mathematics, 05-49.20Zou Changliang, Zhang Yujuan, Wang Zhaojun (2006). Control chart based on Change-Point model for monitoring Linear Profiles, to appear in IIE Transactions, 38. 21Zou Changliang, Zhou Chunguang, Wang Zhaojun (2005). Self-Starting Control Chart For Linear Profiles. ?22Montgomery, D. C., Mastrangelo, C. M. (1991). Some statistical process control methods for autocorrelated data, Journal of Quality Technology, 23, 179-203.23Jiang, W., Tsui, K. L., and Woodall, W. H. (2000). A new SPC monitoring method: the ARMA chart, Technometrics, 42, 399-410.24Lin, W. S. W., Adams, B. M. (1996). Combined control charts for forecast-based monitoring schemes, Journal of Quality Technology, 28, 289-301.25Dyer, J. N., Adams, B. M., Conerly, M. D. (2003). The reverse moving average control chart for monitoring autocorrelated processes, JQT, 35, 139-152.26Nembhard, H. B. Kao, M.S. (2003) Adaptive forecast-based monitoring for dynamic systems, Technometrics, 45, 208-219.27Adams, B. M., Tseng, I. T. (1998). Robustness of forecast-based monitoring schemes, Journal of Quality Technology, 30, 328-339.28Lu, C. W., and Reynolds, M. R., Jr. (1999). Control charts for monitoring the mean and variance of autocorrelated processes, Journal of Quality Technology, 31, 259-274. 29 VanBracklet, L. N., and Reynolds, M. R., Jr. (1997). EWMA and CUSUM control charts in the presence of correlation, Communication in Statistics-Simulation and Computation, 26, 979-1008.30 Boyles, R. A. (2000). Phase I analysis for autocorrelated processes, Journal of Quality Technology, 32, 395-409.31 Wright, C. M., Booth, D. E., and Hu, M. Y. (2001). Joint estimation: SPC method for short-run autocorrelated data, Journal of Quality Technology, 33, 365-378.32Sullivan, J. H. & Woodall, W. H. (1996), A control chart for preliminary analysis of individual observations, Journal of Quality Technology, 28,265-278.33Koning, A. J. and Does, R. J. M. M. (2000). CUSUM control charts for preliminary analysis of individual observations, Journal of Quality Technology, 32, 122-132.34Dai, Y., Zou, C. L., and Wang, Z. J. (2004). Cusum control charts based on likelihood ratio for preliminary analysis. Nankai Preprints in Mathematics, 05-46.35Stoumbos, Z. G., and Reynolds, Jr. M. R. (1997). Control charts applying a sequential test at fixed sampling intervals, Journal of Quality Technology, 29, 21-40.36Stoumbos, Z. G., Reynolds, Jr., M. R. (2001). The SPRT control chart for the process mean with samples starting at fixed times, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2, 1-34. 37Apley, D. W. and Shi, J. (1994). The GLRT for statistical process control of autocorrelated processed, IIE Transactions, 31, 1123-1134. 38Shu, L. J., Apley, D. W., and Tsung, F. (2002). Autocorrelated process monitoring using triggered Cuscore charts. Quality and Reliability Engineering International, 18, 411-421. 39Lorden, G. (1971). Procedures for reacting to a change in distribution. Annals of Mathematics and Statistics, 42, 1897-1908.40Zhao Yi, Tsung Fugee, Wang Zhaojun (2005). Dual CUSUM control scheme for detecting a range of mean shift. IIE Transactions, 37, 1047-1058.41Siegmund, D. , and Venkatraman, E. S. (1995). Using the generalized likelihood ratio statistic for sequential detection of