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几何语言在立体几何教学中的应用的探讨几何语言在立体几何教学中的应用的探讨 柯街中学 周德春 摘要：几何语言是指运用几何术语、符号和图象表达的语言，是学习几何知识的基础，是解决几何问题的前提，是数学思维发展中不可缺少的重要工具。本文强调了新形势下高中立体几何教学中培养学生精练准确的几何语言观的重要性，并依此阐述了立体几何的语言教学思想，旨在为增强立体几何教学的有效性提供有益的启示。 关键词：立体几何 ；几何语言；几何教学1.引言数学同其它学科一样，与历史文明一样古老，数学有广泛的应用性，问题是数学真理究竟怎样被其它学科所使用呢? 现在以上问题可以这样来回答：数学之所以重要，就在于它是精确简约通用的科学语言，伽里略在 400年前曾指出，宇宙大自然的奥秘写在一本巨大的书上，而这部书是用数学语言写成的，最初是日常使用的生活语言，后来为了精确和清晰，使用符号语言及图形语言，如化学方程式及工程中传递信息的图纸，但这种语言都只有在各自领域中发生作用，唯有数学语言，它是一切科学都使用的语言，一门学科它使用数学语言越多，表示这门学科越成熟。1.1几何语言的研究背景学习数学在一定程度上可以说就是学习数学语言，学习数学的过程也就是数学语言不断内化、形成和运用的过程。数学语言是进行数学思维、数学表达和交流的工具。数学语言作为一种语言，已经不只是描述自然科学的语言工具，也成为描述社会科学、管理科学等门类的语言工具。掌握好数学语言，就等于掌握了描述科学和生产实践活动中的实际问题的工具，即数学化的手段。中学许多课程中都使用了数学语言(如向量、统计表、统计图、几何图形、计算机算法语言等)，数学语言的掌握直接关系到这些学科的学习。如果数学语言不，将难以阅读和交流，难以准确表达自己的思想，听不懂、看懂别人用数学语言表达的观点、无法完成知识的交流、深化。1.1.1几何语言研究的兴起几何学的教育价值决定了立体几何研究空间形状、大小和位置关系的几何学在过去、现在和将来都是国内外高中数学课程的核心内容之一。数学教育领域的研究正发生着深刻的变革，研究的思维空间正在不断拓展，研究视角逐渐向纵深发展。FritzSchweiger在第七届国际数学教育大会(ICME一7)上曾作了题为“MathematiCS15alanguage”的报告。他指出近年来人们对数学与语言之间的关系发生了兴趣，数学语言的一些研究结果对数学教育的发展产生了重要的影响。由此，对于数学语言的理论和实践的研究引起了人们的广泛关注。于是，在第十届国际数学教育大会(ICME一10)对这一问题又进行了专门讨论。这次大会设计了29个专题研究小组(TSG)，每一个专题研究小组都由该领域的卓越专家作为组织者，其目的是既提供该专题当前的全面进展，又展示该专题各方面杰出的最新研究成果，并且从国际比较的视角予以考虑。此外，998年在韩国召开的第一届东亚国际数学教育研讨会的学习论专题中也对这一问题给予了关注，其中中国的一个课题就是“学生运用数学语言能力的一项研究。1.1.2几何语言研究的成果皮姆在1987年出版的数学地谈论:数学课堂中的交流中，提出了语言视角下的数学教育观点，数学应当看成一种语言，一种专门的语言，它包括区别于一般语言的专门词汇、语法，也包括新的论证方式的引进，以及意义的改变等等。皮姆在1987年出版的数学地谈论:数学课堂中的交流中，提出了语言视角下的数学教育观点，数学应当看成一种语言，一种专门的语言，它包括区别于一般语言的专门词汇、语法，也包括新的论证方式的引进，以及意义的改变等等。1.2几何语言的界定1.2.1概念界定语言是人类进行思想交流的重要工具，在学科性很强的数学中，也同样有着科学的专用数学语言。数学语言是一门结构严谨的语言，它具有简洁、准确、规范、概括。直观形象的特点。几何学作为数学的一门分支，其科学性的专属语言是揭示概念、认识图形、进行推理的必备工具。几何语言按叙述方式可以分 为文字语言、图形语言与符号语言三种。文字语言是对图形的描述，解释与讨论，它讲究用词的准确性和用语的严肃性，是具有它本身独特内涵的文字。 几何的有关概念、定理性质、公理都是用文字语言来叙述的。高中阶段教材中众多的概念、公理、定理都是用抽象的文字语言来描述的。图形语言就是通过识图、作图来表达几何的特征并辅之以一定得文字说明。如“两个平行平面被第三个平面所截”、“用一个平面去截一个球”，可分别用图形图1、图2来表示。 图1：两个平行平面被第三个平面所截 图2 ：用一个平面去截一个球符号语言就是用一系列特殊符号简洁、形象的描述几何图形，几何语言的精练表达于符号语言，符号语言是文字语言的简单化和图形语言的抽象化。如“平行”、“垂直”等，它们分别可以用符号“”、“”来表示。1.2.2几何语言的特点数学语言中有大量的符号和图形，这与自然语言有显著的区别。除此之外，即使对于数学语言中的自然语言，也有四个明显的特点：明晰、严谨、简洁、规范。几何语言按叙述方式可以分为文字语言、图形语言、符号语言三种，其各种语言都有其鲜明的特点。文字语言用词准确精练、表达严谨，不能轻易改动。在几何里“若则”、“因为所以”、“如果那么”等等，它们组成了非常严谨的数学文字语言的基本架构。图形语言直观性强、形象生动，使文字语言更具体、更便于研究。几何性质、定理的学习与理解都必须借助于图形，它把抽象的问题形象化、直观化、具体化、体现了以形助数的思想。符号语言符号规范、表达简洁。几何学中每一个基本概念，每个图形及图形的性质和图形之间的关系都有相应的符号表示，这些符号能更直观、形象地表达概念及其性质。1.3几何语言的作用意义几何是中学教学的一个重要组成部分，是培养学生思维能力、提高学生思维品质的重要学科。历年来，提高几何的教学质量，始终是中学数学教学的一个难题，而在中学几何教学中，几何语言的教学历来是几何入门教学的重难点。前苏联数学教育家A斯托利亚尔曾指出，在一定程度上“数学教学就是数学语言的教学。”事实上“数学学习过程是通过数学语言，用它特定的符号、词汇、句法成语去交流，去认识世界。”作为数学思维和表达的载体，数学语言的强弱是学生数学水平的重要标志。几何语言能力是几何能力的基础，对学生学习几何知识，发展数学能力有重要的作用。1.3.1掌握几何语言是学习几何知识的基础一方面，几何语言既是几何知识的重要组成部分，又是几何知识的载体。另一方面，几何知识是几何语言的内涵，学生对几何知识的掌握实质上是对几何语言的理解。从而可见，几何语言的教学是几何教学的关键。解决一个问题，需要从本质上理解题意，分析有关的条件与结论，掌握几何语言是正确理解题意和分析处理问题的前提，可以说，解决几何问题的过程是几何语言的集中过程。1.3.2掌握几何语言有助于发展学生的思维能力和想象能力语言是思维的外在表现，而思维又依赖语言的形式直观动作语言有利于直观动作思维的形成，而严谨、准确、具有高度逻辑性、注重“数形结合”的几何语言的几何语言则是培养逻辑思维和空间想象力的“摇篮”。1.3.3掌握几何语言有助于思维品质的形成和学习兴趣的培养数学没具有自己的特点，表面上数学显得枯燥，其实数学却蕴藏着丰富的内涵，只有充分理解它才能领略其中的微妙之处，感受其美的意境。从而激起学习兴趣。而在探究的过程中，数学的严紧性又是培养思维品质的 “良方”。2.立体几何教学中培养学生几何语言的必要性数学语言作为一种表达数学科学思想的语言，在现代信息社会中已成为一种具有广泛应用性的交流语言;数学语言作为数学知识、数学思维的载体，为数学思想的交流提供了科学的保障，在发展数学思维方面起着重要作用。从一定意义上说，数学语言能力的高低决定了数学学习水平的高低。现实中，高中学生的数学语言能力的现状堪忧，其根源在于中学数学语言的教学现状问题多多。随着教育改革的深入发展和素质教育的进一步实施，数学语言能力的培养己引起越来越多的关注。2.1新课标中立体几何教学的要求标准中的几何内容分布在必修与选修课程中，具体来说，分布在必修课程的模块2、模块4，选修课程的四个系列均出现几何内容。而大纲中的几何内容全分布在必修课程中。标准中立体几何内容包括两部分，一是必修2中的“立体几何初步”；二是选修系列2中的“空间向量与立体几何”，它是对必修2“立体几何初步”的进一步扩展，对理科学生来说，实质上是限定选修内容。大纲中立体几何内容称为“直线、平面、简单几何体”，分A、B两个并列的系列，在教学建议中，要求二者选择其一。标准中解析几何内容也分为两部分，一是必修2中的“平面解析几何初步”，内容包括直线和圆的方程、空间直角坐标系两部分。二是选修系列1、2中的“圆锥曲线与方程”，分别又是文科限定选修内容与理科限定选修内容，两部分在内容基本相同的前提下，选修系列2内容略有增加。这样，在解析几何部分，实质上给学生提供了两种选择内容:一种是学习必修2中的“平面解析几何初步”和选修系列1的“圆锥曲线与方程”。 表1：大纲和标准中关于立体几何必修内容选择的比较大纲2000版标准必修直线、平面、简单几何体（36课时）1. 平面及其性质，立体图形直观图画法；2. 平行直线、异面直线所成角，异面直线的公垂线、异面直线的距离；3. 直线和平面平行的判定和性质；直线和平面垂直的判定和性质；点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理。4. 平面与平面平行的判定和性质；平面平行间的距离；二面角及其平面角，两个平面垂直的判定性质；5.多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球。立体几何初步（18课时）1. 空间几何体。（1）柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征。（2）简单空间图形（长方体、球、圆柱、棱柱等简易组合）的三视图。三视图表示的立体模型，斜二侧法画直观图。（3）平行投影与中心投影（4）实习作业（5）球、棱锥、台体的表面积和体积。2.点、线、面之间的位置关系空间线、面的位置关系及相关的公理和定理，空间线面、面面平行与垂直的性质判定。表2：大纲和标准中关于立体几何选修内容选择的比较大纲2000版标准选修注：大纲中立体几何部分虽未设选修内容，但与必修（A）相对应，没有必修（B），教学内容和教学目标需在两个方案中选一个执行。必修（B）中增加了空间向量坐标表示，和数量积，直线的方向向量和平面的法向量，直线、平面、简单几何体的内容与必修（A）基本一致，并用向量的观点处理相关内容。选修系列2空间向量与立体几何（18课时）为希望在理工、经济等方面发展的学生而设置（12课时）1. 空间向量及其运算，空间向量的概念、基本定理，正交分解及其坐标表示，空间向量的数量积及其坐标表示，向量的共线和垂直。2. 空间向量的应用直线的方向向量、平面的法向量，线线、线面、面面的垂直、平行关系、三垂线定理，线线、线面、面面的夹角。从表1和表2可以看出，标准对数学语言加大了力度，明确要求学生学会准确的用数学语言表达几何对象的位置关系。例如，用数学语言表述有关平行、垂直的性质和判定，培养和发展学生运用文字、符号、图形语言恰当表达思想和进行数学交流的能力。自然引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言:以具体的长方体中的点、线、面之间的关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系;通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题已成为教师教学工作的重点。2.2立体几何的教与学中存在的问题在和一些教师的交流中发现，教师普遍认为立体几何难教，即使耗费再多的心血，教学的效果也不会理想。学生也普遍认为立体几何难学，不好理解。2.2.1 启蒙学习不够重视基础薄弱通过对大部分中学老师的走访调查，发现大部分高中数学老师普遍认为学生几何语言不足主要原因是初中老师不怎么重视几何语言，在各方面对几何语言的要求都不高，导致学生在进入高中以后对立体几何语言一下子无从下手。例如:2010年3月在云南省云大附中举行的初三学生中考模拟考试中的一道考试题，超过十多个学生的答题中出现如下错误： 20.（7分）我省各地、市遭暴雨袭击，水位猛涨，某市抗洪抢险救援队伍在B处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A处，情况危急！救援队B处测得A在B的北偏东60度的方向上，救援队决定分成两组：第一组马上下水游向A处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C处，再从C处下水游向A处救人，已知A在C的北偏东30度的方向上，救援人员在水中游进的速度均为1米/秒，在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问那组救援队先到达A处？请说明理由（参考数据） 图3：20题示意图 分析:本题为中考必考题型，意在考察学生对直角锐角三角函数知识的掌握。然而好多学生却在几何语言的表述上出现了很大问题，如：过A点作ADC东。事实上，过点作线段的垂线却是解题入手点，但是线段表示是由初始字母组合表示，如：线段AD、线段CD，所以正确作法为：过A点作ADCD。又如：2010年在北师大附中云南实验学校的考试演练课上，2005年云南省昆明市中考试题中一道考试题，初三（1）不少于3个同学出现如下错误：12.圆O半径为3，圆O和圆P外切，且OP=8，则圆P 的半径为： 8/3分析:两圆外切所以圆心距等于两圆的半径之和即： OP= 圆O半径+圆P半径 所以，圆P半径=op - 圆O半径 =8 - 3 =5而现实中，由于好多初三学生对于几何语言的掌握没有到位，竟然把OP=8理解成：圆O半径圆P半径=8，通过以上课堂实例可以看出，学生在中学初期的几何语言知识极为欠缺，这方面的教育需要老师辅助解决。2.2.2衔接学习没抓好过度不当通过和一部分老师和学生的交流中发现，很多学生进入高中以后发现立体几何已不再和平面几何一样直观，很多地方需要抽象的思维来将知识具体化，而有的时候却又需要把具体的知识抽象化来理解，再加上受到平面几何知识的干扰，总是以平面的观点来接受立体几何知识，没有分清平面几何与立体几何的区别，所以学生觉得很难学，而一些教师也基于此原因觉得立体几何教起来学生不容易接受，因此，为了让学生更容易接受立体几何知识，在教学过程中大量穿插与平面几何知识相对比的内容，这样一来，学生在长期的积累后容易造成误解：立体几何和平面几何联系甚微，长此以往容易造成对知识点的误解。事实上，平面几何知识是立体几何知识的基础，立体几何是在发展到一定程度后的必然产物，数学知识来源于生活，应用于生活。在平面几何知识满足不了人类生产生活的需要之后，立体几何知识的产生填补了这块空白，所以，本质上来说立体几何是平面几何的继承和发展。2.3近年高考中立体几何语言的重要性立体几何是历年来高中数学教学中难度较大的内容，更是高考中得分率较低的内容之一。很多的高考题都注重在几何语言方面的考察。 例1 (1994 年全国高考题)如图4对于直线m、n和平面，的一个充分条件是(A )m n,m ，n(B )m n,，n(C)m n,n,m(D )m n,m , n 图4：例1示意图分析: 本题中涉及的基本线、面关系都是用符号语言表述的, 需作适当的语言翻译, 弄清题意, 才能作出正确的判断.对于选择支A , 翻译成文字语言是: 两个平面分别平行于两条垂直的直线中的一条, 这两个平面垂直. 这显然是一个假命题. 对于选择支B , 翻译成图形语言可以如图所示, 由此即可作出判断: 与不一定垂直. 对于选择支C, 用符号语言推理是: .例2 (1984 年全国高考题)已知三个平面两两相交得三条交线, 求证这三条交线交于一点或互相平行. 这是1984 年全国高考题, 面对这道用文字语言表述的题目(其实它源自课本), 很多考生望而生畏, 不知如何下手.但若学生有数学语言的互译意识, 能将用文字语言表述的题意翻译成图形语言, 进而用符号语言来表述, 则易于打开解题思路, 并完成证明. 证明由 = a, 知 又由= b，可知ba、b 相交或平行(1) ab= P (如图3) p 这就是说,c 也过点P. 故a、b、c 相交于一点. (2) 若ab(如图4) a、b、c 互相平行.故由(1)、(2) 知, 这三条交线交于一点或互相平行. 图5：例2示意图综上所述,立体几何中三种数学语言的互译在高考中极为普遍。所以, 在立体几何教学中,我们应当将数学语言的教学贯穿于教学的始终。3.立体几何教学中学生的几何语言能力培养策略立体几何语言的培养是从二维到三维的过渡，在这个转折点学生很难马上接受，这就需要教师从以下几个方面加以引导，加快学生在立体几何学习的进程。3.1突出平面到空间的过渡立体几何起始阶段的教学时从平面几何到立体几何的过渡，在这个阶段的学习过程中学生不仅会受到平面几何的正向牵引作用，而且在很多概念上也会被平面几何的内容所束缚例如：“平行于同一条直线的两条直线平行”，“一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角平行或互补”，这些与旧知识类似的地方，学生往往产生心理上的正迁移，很容易接受。有时，学生往往习惯把平面几何知识照搬到立体几何中来，又会产生产生心理上的负迁移，比如：解答“垂直于同一条直线的两条直线有几种位置关系”时，学生会受平面几何中“垂直于同一条直线的两条直线平行”的干扰。对此，教师在进行这部分内容的教学时必须处理好平面几何到立体几何的过渡。3.1.1指导二维思维向三维思维转化有机的连接二维语言与三维语言，使学生认识到“立体几何”是“平面几何”的继续和深化。类似的我们看一道例题： 例3 正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求其高和斜高。 分析：（图6）要求高so,首先要在底面内求得OA，然后归结到平面SOA中，利用勾股定理求得SO。要求斜高SM，首先由AMO求出OM,然后归结在平面SOM中，利用RtSOM，求出SM。教师在教学中，应把重点放在分析过程上，使学生掌握学习的方法和思考问题的思路。 图6：例3示意图3.1.2牵引三维思维向二维思维转化 由三维空间到二维空间是解决立体几何问题的主要方法之一，立体几何中降维的目的就是把立体几何中的基本元素转换到某一个平面图形中去，然后用平面几何的知识解决问题。空间图形中许多问题都可以用此方法来解决。例如，例4 教材第44页例2：“已知两条异面直线a、b所成的角为，公垂线段AA的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设AE = m,AF = n,求EF.”分析： 如图3设点A和直线a确定的平面，平面=c,过点E作EGc，垂足为G.连结EF、FG，这样就构造了一个直角EFG，EF为这个三角形的一条边。这种构造法就是利用平移、射影、作辅助平面等手段将一些基本元素“集中”到某个平面图形上来解决。 图7：例4示意图 3.2准确用词用语，培养学生严谨的几何语言能力数学语言是教师传授知识、教育学生最直接的工具。教师在传授知识时必须科学合理的处理好自己的用语，尤其在表达定义、定理、法则、公式等重要内容时，要保证用词用语的准确。例如，“经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面”不能讲成“经过不在同一条直线上的三点，只有一个平面”；不能说“延长直线AB”，只能说“延长线段AB”或“反向延长线段AB”，等等。总之，在教学过程中，教师处处模范的使用数学语言，对培养学生的数学语言能力有着极其重要的作用。3.3教学中加强几种语言的互译与对比几何中的三种语言各有其特点，在新课改后的教学中教师应该尊重学生的个性，根据学生的特点和兴趣，选择适当的语言进行教学，以提高教学的效果。为此三种语言的互译就成了必不可少的教学手段。例如，讲授公理“如果一条直线上的两点在一平面，那么这条直线上所有的点都在这个平面内”时，及时引入三种语言的转换： 图形语言 符号语言： 或 如此，学生将更容易直观的掌握。3.4注重等价语言能力的培养在生活中，同一个事实常常会有几种不同的叙述，这些对同一事实的不同叙述我们把它叫做等价语言。几何学中，很多的定理公理都有等价语言，像教材第5页公理3“经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面”有以下等价语言叙述： （1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面。 （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。在立体几何中等价语言的使用非常广泛，许多很多复杂的定理、性质、命题、推论的证明往往是通过证明其等价语言来实现的。例如： 例5 举例：用三角方法在几何题中的应用已知：ABC，ABAC，D是BC上任一点，DEAC，CGAB。求证：DEDFCG。证明：ABAC，BACB设Bx，则在RTBDE，RTDCF，RTBCG中有DEBDsinx,DFDCsinx,CGBCsinxDEDFBDsinxDCsinx(BDDC)sinxBCsinxDEDFCG总之，学习几何过程中要注意等价语言的学习是必不可少的，教师要引起足够的重视。4. 结论与思考在当前学校数学教育中，数学语言能力的培养对学习数学的重要性一直没有受到足够的重视，学生的数学语言能力现状堪忧。我们非常有必要认真研究高中生的数学语言能力现状及其其内在发展规律，弄清学生对数学语言的态度和心理，校正广大师生对数学语言教学的不正确观念和习惯做法，改革和探索新的教学对策和模式，提升教学效益。充分认识数学语言能力的培养对大幅度提高教学效益有着巨大作用。本文从本人自己的学习和体验过程中的经历和经验出发，结合实际教学的参与，加之课余访谈，从现阶段中学立体几何教学的几何语言现状存在问题考虑，提出自己的观点看法，虽然在指导老师尽心指导下经过几次修改，仍有纰漏，不足之处敬请读者见教。5. 参考文献：1林瑾.平面几何教学应重视数学语言的教学J.贵州教育，2000，10:2陈贵华.初中几何语言教学初探J.学科教学，2005(7、8)3张崇雅.浅谈几何语言在初中几何教学中的重要地位J.成都师专学报，2001，20（4）:24张明龙.遵循教学规律突破立体几何入门教学的关键N.数学通报，1995，12（1）：2-35崔苏.注重几何语言教学，提高几何教学质量J.自贡师范高等专科学校学报，2001，16(55):26王青文.浅谈几何语言训练的重要性J.福建教育学院学报，2004，9(9):2-57李占守.数学语言在教学中的作用EB/OL.,2004/6/238刘国超.浅析新课标立体几何内容变化带来的教学启示EB/OL.，2010/1/179陈信华.谈立体几何的入门教