08-09I防灾科技学院概率论与数理统计期末考试试卷.pdf

1 装 订 线 防灾科技学院 2008 2009 学年 第一学期期末考试概率论与数理统计试卷 a 使用班级 07601 07602 07103 答题时间 120 分钟 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一 填空题 每题 2 分 共 20 分 1 已知事件a b有概率4 0 ap 条件概率3 0 abp 则 bap 0 28 2 设 1 pnbx 2 pnby则 yx 21 pnnb 3 若 2 x 则 2 xe 6 4 随机变量x的分布函数 是 x x x x xf 3 1 31 8 0 11 6 0 1 0 则 31 xp 0 4 5 连续型随机变量的概率密度函数为 0 00 0 x xe xf x 则分布函数 为 00 0 1 x xe xf x 6 若 1 0 nzyx dii 则 2 22 yx z 2 t 7 若随机变量x 1 2 xdxe 则利用切比雪夫不等式估计概率 32xp 9 8 8 若总体 2 nx 则样本方差的期望 2 se 2 9 设随机变量 2 1 ux 令 0 0 0 1 x x y 则y的分布律为 3 2 3 1 10 k p y 10 已知灯泡寿命 100 2 nx 今抽取 25 只灯泡进行寿命测试 得样本1200 x小 时 则 的置信度为 95 的置信区间是 1160 8 1239 2 96 1 025 0 z 二 单项选择题 本大题共 5 小题 每题 2 分 共 10 分 1 若6 0 4 0 5 0 bapbpap 则 abp c a 0 2 b 0 45 c 0 6 d 0 75 2 设离散型随机变量x的分布律为 k kxp 2 1 k且0 则参 数 c a 1 1 b 1 c 1 1 d 不能确定 3 设随机变量x和y不相关 则下列结论中正确的是 b a x与y独立 b 4 2 ydxdyxd c 2 2 ydxdyxd d 4 2 xdydyxd 4 若 1 0 nx 则 2 xp a a 2 1 2 b 1 2 2 c 2 2 d 2 21 5 下列不是评价估计量三个常用标准的是 d a无偏性 b有效性 c相合性 d正态性 阅卷教师 得 分 阅卷教师 得 分 试卷序号 班级 学号 姓名 2 本大题共 4 小题 每题 8 分 共 32 分 三 1 金鱼的主人外出 委托朋友换水 设已知如果不换水 金鱼死去的概率为 0 8 若换水 则金鱼死去的概率为 0 15 有 0 9 的把握确定朋友会记得换水 问 1 主人回来金鱼还活着的概率 2 若主人回来金鱼已经死去 则朋友 忘记换水的概率为多大 解 设a表示 朋友换水 b表示 金鱼还活着 则9 0 ap 1 0 ap 85 015 01 abp 15 0 abp 2 0 abp 8 0 abp 1 由全概率公式 abpapabpapbp 0 9 0 85 0 1 0 2 0 785 5 分 2 由贝叶斯公式372093 0 785 01 8 01 0 bp abpap bap 8 分 2 二维随机变量 yx的联合分布律为 1 03 02 01 2 01 01 00 101 y x 1 求yx 的边缘分布律 2 求 1 yxp 3 yx 是否相互独立 解 1 3 02 01 0 1 xp 4 01 03 0 0 xp 3 01 02 0 1 xp 4 02 01 01 0 0 yp 6 01 03 02 0 1 yp 4 分 2 5 0 0 1 1 0 1 yxpyxpyxp 7 分 3 因为 0 0 1 0 0 0 ypxpyxp yx 不相互独立 3 设x和y是相互独立的随机变量 x在 1 0 上服从均匀分布 y的概率密 度函数为 0 0 0 2 1 2 y ye yf y y 求 1 x和y的联合概率密度函数 2 设含有a的二次方程02 2 yxaa 求a有实根的概率 已知 8413 0 1 5000 0 0 9772 0 2 5066 22 根据需要选用 解 x的概率密度函数为 0 10 1 其它 x xfx 1 因为x和y是两个相互 独立的随机变量 所以x和y的联合概率密度函数为 0 0 10 2 1 2 其它 yxe yfxfyxf y yx 3 分 2 二 次 方 程02 2 yxaa有实根 的充 要条 件为044 2 yx 即 0 2 yx 所求概率为 1445 0 5000 08413 0 5022 21 0 1 2121 1 2 1 0 1 0 2 2 1 1 0 2 1 0 0 2 0 2 1 0 2 2 2 2 2 dxe dxedxedyedxyxp x x x y x y 8 分 4 已知某种型号电子器件的寿命x 以小时计 的概率密度函数为 100 0 100 100 2 x x xxf 1 求x的分布函数 xf 2 现有一大批此种器件 设各器件损坏与否相互 独立 任取 10 只 以y表示寿命大于 150 小时的器件的只数 求y的分布律 解 1 因 为 当100 x时 00 x dxxf 当1 0 0 x时 xx dx x dxxf x x 100 1 100100 0 100 100 2 100 阅卷教师 得 分 3 所以 100 0 100 100 1 x x xxf 4 分 2 因为任意一只器件寿命x大于 150 小时的概率为 3 2 150 1 fp 又各器件损坏与否相互独立 所以y服从 3 2 10 b 概率分布律为 10 2 1 0 3 1 3 2 10 10 k k kxp kk 8 分 四 本大题共 2 小题 每小题 8 分 共 16 分 1 二维随机变量 yx的具有联合概率密度函数 0 10 1 其它 xxy yxf 求 yxcovyexe 解 3 2 2 1 0 2 1 0 dxxxdydxxe x x 2 分 0 1 0 x x ydydxye 4 分 0 1 0 x x xydydxxye 6 分 0 yexexyeyxcov 8 分 2 设 随 机 变 量 321 xxx相 互 独 立 且 都 服 从 1 0 上 的 均 匀 分 布 求 ma x 321 xxxu 和 min 321 xxxv 的数学期望 解 因为 321 xxx的密度均为 其它 0 101 x xf 1 1 10 00 x xx x xf 所以 1 1 1 10 0 0 33 321 u uu u ufuxuxuxpuupufu 2 分 0 10 3 2 其它 uu ufuf uu 随机变量u的数学期望 duuufue u 4 3 3 1 0 2 duuu 4 分 2 1 1 10 1 1 0 0 1 1 33 u uu u ufvvpvfv 6 分 0 10 1 3 2 其它 uu vfvf vv 所以随机变量v的数学期望 4 1 1 3 1 0 2 dvvvduvvfve v 8 分 五 共 3 小题 共 22 分 1 本小题 7 分 有一批梧桐树苗 其中 90 的高度不低 于 3 米 现从树苗中随机地取出 300 株 问其中至少有 30 株低于 3 米的概率 已知9987 0 3 9772 0 5 2 5000 0 0 根据需要选用 解 因为树苗中 90 的高度不低于 3 米 所以其低于 3 米的概率为 0 1 设x为 300 株树苗中高度低于 3 米的株数 则 1 0 300 bx 其分布律为 kk k kxp 300 9 01 0 300 300 1 0 k30 xe 27 xd 3 分 用棣莫佛 拉普拉斯定理 5000 05000 01 0 1 27 3030 27 30 1 30 1 30 x pxpxp 7 分 阅卷教师 得 分 阅卷教师 得 分 4 2 本小题 8 分 设随机变量x具有分布律 x 1 2 3 k p 2 1 2 2 1 其中 10 为未知参数 已知取得了样本值2 1 1 321 xxx 求 的 矩估计量和极大似然估计量 解 23 1 3 1 221 22 xe 样本均值 3 4 3 211 x 令 3 4 23 得 的矩估计值为 6 5 4 分 似然函数为 1 2 1 2 522 l 对数似然函数为 1ln ln52ln ln l 似然方程为 0 1 15 ln d ld 得 的最大似然估计值为 6 5 8 分 3 本小题 7 分 某批矿砂的 5 个样品中的金含量 测定结果为252 3 x 002 0 s 再假设测定总体服从正态分布 但参数均未知 问在01 0 下能 否接受假设 这批矿砂的金含量均值为 3 25 已知6041 4 4 005 0 t 0322 4 5 005 0 t 236 25 根据需要选用 解 测定值 2 nx 2 均未知 关于均值 的假设检验 用t检验 法 提出假设 25 3 0 h 25 3 1 h