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平面向量要点知识汇总平面向量ABCDaca+b+cba+bb+c运算定律：结合律：()=() 第一分配律：(+)=+ 第二分配律：(+)=+ 向量的坐标表示平面向量的坐标运算法则1若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标；解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, ) P点坐标为(-1, -)2若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2=(-3,-3)1共线向量的充要条件是有且只有一个实数使得=，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？2推导：设=(x1, y1) =(x2, y2) 其中由= (x1, y1) =(x2, y2) 消去：x1y2-x2y1=0结论： ()的充要条件是x1y2-x2y1=0注意：1消去时不能两式相除，y1, y2有可能为0， x2, y2中至少有一个不为02充要条件不能写成 x1, x2有可能为03、从而向量共线的充要条件有两种形式： ()例:若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求x解：=(-1,x)与=(-x, 2) 共线 (-1)2- x(-x)=0 x= 与方向相同 x=线段的定比分点1 线段的定比分点及P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数，使 = 叫做点P分所成的比，有三种情况：P1P1P1P2P2P2PPP0(内分) (外分) 0 (-1) 外分) 0 (-10内分， 0，(a)b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq， a(b) =|a|b|cosq， 若 0，(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq， a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq。3 (a + b)c = ac + bc例：已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角。 解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 两式相减：2ab = b2 代入或得：a2 = b2设a、b的夹角为q，则cosq = q = 60平面向量的数量积的坐标表示设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：ii = 1，jj = 1，ij = ji = 0推导坐标公式：a = x1i + y1j, b = x2i + y2jab = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j2= x1x2 + y1y2从而获得公式：ab = x1x2 + y1y2例：设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求ab解：ab = 5(-6) + (-7)(-4) = -30 + 28 = -2长度、角度、垂直的坐标表示1、a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =2、若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则=3、 cosq =4、ab ab = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）例：已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(-2, 5)，求证：ABC是直角三角形。 证：=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3) =1(-3) + 13 = 0 ABC是直角三角形例：已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足xa = 9与xb = -4的向量x。解：设x = (t, s)，由xa = 9 3t - s = 9 t = 2 由xa = 9 3t - s = 9 s = -3x = (2, -3)AOB例：如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角OAB，使B = 90，求点B和向量的坐标。解：设B点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x-5, y-2) x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29由B点坐标或；=或 例五、在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一个内角为直角，求k值。解：当A = 90时，= 0，21 +3k = 0 k = 当B = 90时，= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 当C = 90时，= 0，-1 + k(k-3) = 0 k = 向量的平移例：将函数y = 2x的图象l按a = (0, 3)平移到l，求l的函数解析式。PPaO解：设P(x, y)为l上任一点，它在l上的对应点为P(x, y)由平移公式：代入y = 2x得：y - 3 = 2x 即：y = 2x + 3按习惯，将x、y写成x、y得l的解析式：y = 2x + 3例：已知抛物线y = x2 + 4x + 7，1 求抛物线顶点坐标。2 求将这条抛物线平移到顶点与原点重合时的函数解析式。解：1设抛物线y = x2 + 4x + 7的顶点O坐标为(h, k)则h = -2, k = 3 顶点O坐标为(-2, 3)2. 按题设，这种平移是使点O (-2, 3)移到O(0, 0)，设= (m, n) 则设P(x, y)是抛物线y = x2 + 4x + 7上任一点，对应点P为(x, y), 则 代入y = x2 + 4x + 7得：y = x2 即：y = x2正弦定理特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sinA= sinB= sinC=1 即：c= c= c= =在任意斜ABC当中：SABC=两边同除以即得：=CCC已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）aCbbabbaaaAB B AB1B2AcAB 一解 两解 一解余弦定理 变形： 例:设=(x1, y1) =(x2, y2) 与的夹角为q （0qp），求证：x1x2+ y1y2=|cosqOBA证：如图：设, 起点在原点，终点为A，B则A=(x1, y1) B=(x2, y2) =- 在ABC中，由余弦定理|-|2=|2+|2-2| cosq|-|2=|2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+( y2-y1)2|2=x12+y12 |2= x22+y22(x2-x1)2+( y2-y1)2= x12+y12+ x22+y22-2| cosqx1x2+ y1y2=|cosq 即有= x1x2+ y1y2=|cosq ABC中=2R，其中R是三角形外接圆半径例: 在ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的两个根，且2cos(A+B)=1 求 1、角C的度数 2、AB的长度 3、ABC的面积解：1、cosC=cosp-(A+B)=-cos(A+B)=- C=1202、由题设： AB2=AC2+BC2-2ACBCosC 即AB=3、SABC= A B C N M例：已知A(1,2)，B(-1,3)，C(2,-2)，点M分的比为3:1，点N在线段BC上，且，求点N的坐标。解：由题设：=3 =又： 即：|sinABC =|sinABC又 | =| | = | = 即N分的比为4:5, 设N(x, y) 点N的坐标是例：已知点M(2,3)，N(8,4)，点P在线段MN上，且，求点P坐标和。解：设点P坐标为(x, y)，由，又 可知 0，且，从而, 代入检验(*)： 或点P坐标或点P坐标例：将函数 y = 2x2 的图象经过怎样的平移可得到 y = 2x2 - 4x + 3的图象？解：y = 2x2 - 4x + 3 = 2(x - 1)2 +1即向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即按a = (1,1)的方向平移即得的图象。例：已知函数 y = -2(x - 2)2 -1的图象经过按a平移后使得抛物线顶点在y轴上，且在x轴上截得的弦长