万有引力问题的归类分析

万有引力问题的归类分析 虽说万有引力涉及的内容不多，但因为这方面的内容游离于生活经验之外，学生们对它缺乏感性认识。再加上公式的形式比较复杂，因此，广大同学对这部分内容的学习普遍感到头疼。涉及到万有引力的问题主要集中在以下三个方面。一、万有引力定律本身的直接应用万有引力公式只适用于可抽象成质点的两个物体间万有引力大小的计算。比如两个形状不规则且互相靠近的两物体、处于地球球心处的物体与地球间的万有引力的计算就不可以直接用该公式运算。例1：如图1，在半径为R的质量为M的均匀铜球中，挖出一半径为R/2的球形空穴，空穴与铜球相切。一质量为m的均匀小球（可视为质点）位于连接铜球球心跟空穴中心的直线上，小球球心到铜球之间的距离为d，试求这两个球体之间的引力。解：因挖出空穴后，剩余部分不是均匀球体，不能将其视为质点，不能直接利用万有引力公式。设想将挖去的部分填入，则完整的均匀铜球对小球m的引力又填入部分是一个球体，它的质量为M/8，它对小球的引力 显然，所求的引力二、万有引力与重力1、忽略地球的自转时，物体受到地球的万有引力等于重力。即。这一公式称为黄金替代式。证明：设一质量为1Kg的物体静止在地球的赤道上，其受到的万有引力为F万、地面支持力为N。地面的支持力与物体受到的重力G是一对平衡力。地球自转的周期为T=24h，地球半径为R=6400Km。物体随地球自转做圆周运动的向心力由F万和N的合力来提供，即：或者写为： 对于1Kg的物体受到的重力为9.8N，而向心力可见，向心力比重力要小得多，万有引力近似等于重力。例2：假设地球为一密度均匀的球体，若保持其密度不变，而将半径缩小1/2，那么地面上的物体所受到的重力将变为原来的A、2倍 B、1/2 C、4倍 D、1/8解：因为万有引力近似等于重力：，而所以：可见在密度保持不变时，半径缩小1/2，重力变为原来的1/2。选B。例3：一物体在地球表面重16N，它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，则此时火箭离开地球表面的距离是地球半径的A、1/2 B、2倍 C、3倍 D、4倍解：在地球表面火箭升空时其中，支持力N=9N，加速度a=5m/s2。由以上两方程解得：h=3R。选C。2、考虑地球自转时，重力加速度随着纬度的增加而增大。在赤道处最小，在两极处最大。证明：在赤道处，万有引力的一部分要提供向心力，即： 在地球上各处，物体随地球自转的角速度都相同，纬度越高，物体随地球自转做圆周运动的半径越小， 所需要的向心力越小，在两极，物体不需要向心力，万有引力就等于重力，即： 因此g2 g1，且随着纬度的增加重力加速度增大。 3、在完全失重的情况下，物体仍受到重力，此时万有引力就是重力。完全失重是指一种运动状态，在该状态下物体对其支持面无压力，用弹簧秤测量其重力的示数为零。而重力是指物体受到地球吸引而受到的力，因此，只要受到万有引力，物体就受到重力。比如某星球转动的很快，以至于该星球赤道上的物体对星球表面无压力，此时万有引力等于重力且全部提供向心力；再比如某人造地球卫星绕地球做圆周运动，卫星中的物体受到的万有引力等于物体受到的重力且全部提供向心力。 例4：某行星一昼夜运行时间T0=8h，若用一弹簧秤去测量同一物体的重力，结果在行星赤道上测量比在两极测量示数小9%。设想该行星的自转角速度快到某一值时，在赤道上的物体将完全失重，则这时行星的自转周期为多大？解：在两极，万有引力等于重力：在赤道，万有引力的一部分提供向心力，另一部分为重力：而赤道上的重力比两极的重力小9%，所以：当该星球自转到赤道上的物体完全失重时：由以上两个方程解得：三、万有引力与向心力万有引力的另一个运用就是提供圆周运动的向心力，主要有以下几种题型。1、求中心天体的质量、密度等例5：一艘宇宙飞船在一个星球表面附近做圆周轨道环绕飞行，宇航员要估测该星球的密度只需要A、测定飞船的环绕半径 B、测定行星的质量C、测定飞船的环绕周期 D、测定飞船的环绕速度解：飞船在星球表面环绕飞行，则环绕半径即为该星球半径。又因为所以：星球密度即本题选C。2、不同的卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系例6：有两颗质量相同的人造卫星A、B，其轨道半径分别为RA、RB，且，那么下列判断中正确的是A、 它们的运行周期之比为B、 它们的运行线速度之比为C、 它们所受的向心力之比为 D、 它们的运行角速度之比为解：两颗卫星都满足由此找出T、V、F与半径r的关系即可求出结果。本题选D。注意这种题型不可以直接利用等公式 ，因为不同的卫星，轨道半径不同，线速度、角速度等均不同，不可以由这些公式进行比较。3、同一艘宇宙飞船在不同轨道上的物理量的比较例7：一宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，飞船原来的线速度是V1，周期是T1，若在某时刻它向后喷气向前加速运动，又进入新的轨道做匀速圆周运动，运动的线速度是V2，周期是T2，则A、V1 V2 ，T1 T2 B、V1 V2 ，T1 T2 C、V1 V2 ，T1 T2 D、V1 V2 ，T1 T2 解：飞船向后喷气后，速度要变大，做离心运动。过渡到一半径更大的轨道上做圆周运动。根据公式可以判断宇宙飞船到新的轨道后速度变小，周期变大，选B。4、同步卫星关于同步卫星要掌握它的三个特点：一是同步卫星的周期与地球的自转周期相同；二是同步卫星的位置只能在赤道的正上方；三是同步卫星与地球表面的高度是一定的。例8：用m表示地球通讯卫星的质量，h表示它离地面的高度，R表示地球的半径，g表示地球表面的重力加速度，表示地球的转动角速度，则该通讯卫星所受到的地球对它的万有引力大小为：A、0 B、 C、 D、mg解：同步卫星受到的万有引力 在地球表面 将代入方程（1），得由方程（1）、（2）得所以同步卫星受到的万有引力本题选B、C。5、双星例9：两颗靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动时，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图2所示，设双星的质量分别为m1、m2，它们之间的距离为L，求双星运行轨道半径r1和r2以及它们运行的周期T。双星与通常的天体运动不同，一般的天体总是围绕某一中心天体做圆周运动，向心力由中心天体的万有引力来提供。而双星的彼此之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，具有如下特点：一、两个天体的运动轨道是同心圆；二、两个天体运动的角速度、周期相同；三、