中考数学复习资料教案讲义资料(二轮专题讲解与训练)第二部分.pdf

中考数学复习专题精讲 各类思想方法归纳 中考数学压轴题例举 专题梳理专题梳理 层层推进层层推进 突破重点突破重点 分析难点分析难点 介绍热点介绍热点 例题精析例题精析 真题模拟真题模拟 快速提高快速提高 将初中知识有机整合 打通知识点之间联系 突出重难点 考点 强化训练 将初中知识有机整合 打通知识点之间联系 突出重难点 考点 强化训练 融会贯通 全面提升中考复习效果 融会贯通 全面提升中考复习效果 前 言 中考数学复习专题精讲中考数学复习专题精讲资料适用于全资料适用于全国国各省市中考数学第一轮 第二轮各省市中考数学第一轮 第二轮 总复习 本系列与 总复习 本系列与 中考数学复习精讲精练 学习手册中考数学复习精讲精练 学习手册 讲义资料 讲义资料 配套使 配套使 用 效果更好 用 效果更好 数学部分共数学部分共包括包括 1616 个专题 每个专题包括 要点梳理 解题方法 模个专题 每个专题包括 要点梳理 解题方法 模 拟训练 组成 拟训练 组成 要点梳理 要点梳理 全面总结每个专题考查方法 考查重点 全面总结每个专题考查方法 考查重点 解题 解题 方法 方法 总结了每个专题解题规律方法 总结了每个专题解题规律方法 模拟训练 模拟训练 选取近三年中考真题选取近三年中考真题 中 中 考压轴题考压轴题 使本资料具有较强的仿真 押题性质使本资料具有较强的仿真 押题性质 以全面提升实战能力 本以全面提升实战能力 本 资料资料所有训练题目附详细答案 所有训练题目附详细答案 本资料适用于各省市各版教材本资料适用于各省市各版教材 欢迎广大师生选用 本资料在编排的过 欢迎广大师生选用 本资料在编排的过 程中经过精心设计和细致核对 囿于水平 疏漏之处在所难免 敬请广大读程中经过精心设计和细致核对 囿于水平 疏漏之处在所难免 敬请广大读 者不吝批评指正 者不吝批评指正 慧择精品屋是您的忠实伴侣 欢迎您的光临 qq 2740999614 更多精 品 敬请访问 慧择精品屋慧择精品屋 20142014 年年 1111 月月 目目 录录 专题 11 几何应用性问题 1 专题 12 几何综合型问题 5 专题 13 动手操作类问题 10 专题 14 方程 函数与几何相结合型综合问题 13 专题 15 动态型问题 18 专题 16 综合型问题 22 参考答案 26 第 1 章 方程 组 与不等式 组 问题 26 第 2 章 方程型综合问题 29 第 3 章 函数型综合问题 32 第 4 章 方程与函数相结合型综合问题 36 第 5 章 探索型问题 40 第 6 章 开放型问题 45 第 7 章 方案设计型问题 50 第 8 章 阅读理解型问题 54 第 9 章 分类讨论型问题 60 第 10 章 图表信息题 69 第 11 章 几何应用性问题 71 第 12 章 几何综合型问题 73 第 13 章 动手操作类问题 77 第 14 章 方程 函数与几何相结合型综合问题 79 第 15 章 动态型问题 84 第 16 章 综合型问题 89 1 专题 11 几何应用性问题 专专专专题题题题1 11 1 几几几几何何何何应应应应用用用用性性性性问问问问题题题题 要点梳理 要点梳理 几何应用题的形式有长度 面积 体积 角度以及三角函数的计算 还有方案设计等 一 般有这样几类 一 三角形在实际问题中的应用 二 几何设计问题 三 折线运动 问题 四 几何综合应用问题 解决这类问题时 应结合实际问题的背景 抽象出几何 模型 画出图形 把生活情景的问题转化为数学问题 利用几何知识加以解决 然后再回 到实际问题 进行检验 解释 反思 解题时应特别注意数形结合 分类讨论等数学思想 解题方法 解题方法 1 几何应用题的解题策略几何应用题的解题策略 首先要阅读材料 理解题意 找到考查的主要内容和知识点 揭示实际问题的数学本 质 把实际问题转化成数学问题 几何应用性问题的解题策略是 将实际问题几何化 从实 际问题中抽象出基本几何图形 解题时需要画出图形 在图形中标出已知线段长和角的度 数等 注意几何与代数的联系 及数学思想方法的综合运用 2 用代数方法解几何应用题用代数方法解几何应用题 几何求值问题 当未知量不能直接求出时 一般需设出未知数 继而建立方程 组 用解方程 组 的方法去求结果 这是解题中常见的具有导向作用的一种思想 模拟训练 模拟训练 1 在一次夏令营活动中 小霞同学从营地 a 点出发 要到距离 a 点 1000m 的 c 地去 先沿北偏东 70 方向到达 b 地 然后再沿北偏西 20 方向走了 500 m 到达目的地 c 此时小霞在营地 a 的 a 北偏东 20 方向上 b 北偏东 30 方向上 c 北偏东 40 方向上 d 北偏西 30 方向上 2 在同一时刻 身高 1 6 米的小强在阳光下的影长为 0 8 米 一棵大树 的影长为 4 8 米 则树的高度为 a 4 8 米 b 4 6 米 c 9 6 米 d 10 米 3 如图 农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚 如果不考虑塑料薄膜埋在土里 的部分 那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是 a 64 m 2 b 68 cm 2 c 78 m 2 d 80 m 2 4 如图 西安路与南京路平行 并且与八一街垂直 曙光路与环 城路垂直 如果小明站在南京路与八一街的交叉口 准备去书店 按 图中的街道行走 最近的路程约为 a 600 m 2 中考数学复习专题精讲 b 500 m c 400 m d 300 m 5 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口 假设钢珠的 直径是 10 mm 测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm 如图所示 则这个小圆孔的宽口 ab 的长度为 mm 题型一 题型一 有关长度 面积问题有关长度 面积问题 6 小王购买了一套经济适用房 他准备将地面铺上地砖 地面结构 如图所示 根据图中的数据 单位 m 解答下列问题 1 用含 x y 的代数式表示地面总面积 2 已知客厅面积比卫生间面积多 21 m 2 且地面总面积是卫生间面 积的 15 倍 若铺 1 m 2 地砖的平均费用为 80 元 那么铺地砖的总费用为 多少元 探究提高 探究提高 适当分割 将图形转化为便于求长度 面积的几何图形 7 已知 abc 中 acb 90 如图 点 p 到 acb 两边的距离相等 且 pa pb 1 先用尺规作出符合要求的点 p 保留作图痕迹 不需要写作法 然后判断 abp 的形状 并说明 理由 2 设 pa m pc n 试用 m n 的代数 式表示 abc 的周长和面积 题型二 题型二 解直角三角形的应用解直角三角形的应用 8 如图 a 城气象台测得台风中心在 a 城正西方向 300 千米的 b 处 并以每小时 10 7千米的速度 向北偏东 60 的 bf 方向移动 距台风中心 200 千米的范围内是受台风影响的区域 1 a 城是否受到这次台风的影响 为什么 2 若 a 城受到这次台风的影响 那么 a 城遭受这次台风影响的时间有多 长 探究提高 探究提高 解直角三角形在实际中有广泛的应用 其解题思路是 弄清题中名词术语的意义 然后 根据题意画出几何图形 建立数学模型 将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形中各元素之间的 关系 9 在建筑楼梯时 设计者要考虑楼梯的安全程度 如图 1 虚线为楼梯的倾斜度 斜度线与地面的 夹角为倾角 一般情况下 倾角越小 楼梯的安全程度越高 如图 2 设计者为了提高楼梯的安全程度 3 专题 11 几何应用性问题 要把楼梯的倾角 1减至 2 这样楼梯所占用地板的长度由 d1增加到 d2 已知 d1 4m 1 40 2 36 求楼梯占用地板增加的长度 计算结果精确到 0 01 m 参考数据 tan 40 0 839 tan 36 0 727 题型三 题型三 利用三角函数进行图形计算利用三角函数进行图形计算 10 黄岩岛是我国南海上的一个岛屿 其平面图如图甲所示 小明据此构造出该岛的一个数学模型 如图乙所示 其中 b d 90 ab bc 15 千米 cd 3 2千米 请据此解答如下问题 1 求该岛的周长和面积 结果保留整数 参考数据 2 1 414 3 1 732 6 2 449 2 求 acd 的余弦值 探究提高 探究提高 当有些图形不是直角三角形时 可适当添加辅助线 把它们分割成直角三角形 把实际 问题中的数量关系归结为直角三角形中各元素之间的关系 11 如图 小红同学用仪器测量一棵大树 ab 的高度 在 c 处测得 adg 30 在 e 处测得 afg 60 ce 8 米 仪 器高度 cd 1 5 米 求这棵树 ab 的高度 结果保留两位有效 数字 3 1 732 题型四 题型四 几何图形设计几何图形设计 12 abc 是一张等腰直角三角形纸板 c rt ac bc 2 1 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形 有甲 乙两种剪法 如图 1 比较甲 乙两种剪 法 哪种剪法所得的正方形面积更大 请说明理由 图甲 图乙图乙 4 中考数学复习专题精讲 2 图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取 记所得的正方形 面积为 s1 按照甲种剪法 在余下的 ade 和 bdf 中 分 别剪取正方形 得到两个相同的正方形 称为第 2 次剪取 并记这两个正方形面积和为 s2 如图 2 则 s2 再在余下的四个三角形中 用同样的方法分别剪取正方形 得到四个相同的正方形 称为第 3 次剪取 并记这四个正方形的面积和为 s3 如图 3 继续操作下去 则第 10 次剪取时 s10 3 求第 10 次剪取后 余下的所有小三角形的面积和 探究提高 探究提高 根据题意 画出符合题意的各种图形 再逐一用相应的几何知识解答 13 在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料 如图 现找出其中的一种 测得 c 90 ac bc 4 现要从这种三角形中剪出一种扇形 做成不同形状的玩具 使扇形的边缘半径恰好都在 abc 的边上 且扇形与 abc 的其他边相切 请设计出所有可能符合题意的方案示意图 并求出扇形的半径 只要求画出图形 并直接写出扇形半径 易错警示 易错警示 证明三角形相似缺乏条理证明三角形相似缺乏条理 14 如图 de ab ef bc af 5 cm fb 3 cm cd 2 cm 求 bd 的 长 5 专题 12 几何综合型问题 专专专专题题题题1 12 2 几几几几何何何何综综综综合合合合型型型型问问问问题题题题 要点梳理 要点梳理 几何型综合题考查知识点多 条件隐晦 要求学生有较强的理解能力 分析能力 解 决问题的能力 对数学基础知识 数学基本方法有较强的驾驭能力 并有较强的创新意识 和创新能力 1 几何型综合题 常用相似与圆的有关知识作为考查重点 并贯穿几何 代数 三角 函数等知识 以证明 计算等题型出现 2 几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算 主要有线段和弧的长度的计算 角 的三角函数值的计算 以及各种图形面积的计算等 几何计算型综合问题 其中以线段的计算最为常见 线段的计算通常是通过勾股定理 相交弦定理 切割线定理及推论 相似三角形对应边成比例所提供的等式进行的 这些等 式可以根据不同的已知条件转化为方程或方程组 3 几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力 几何论证型综合问题 常以相似形 圆的知识为背景 串联其他几何知识 顺利证明 几何问题取决于下列因素 熟悉各种常见问题的基本证明 能准确添加基本辅助线 对复杂图形能进行恰当的分解与组合 善于选择证题的起点并转化问题 解题方法 解题方法 1 一个方法一个方法 几何图形可以直观的表示出来 在人们认识图形的初级阶段主要依靠形象思维 人们 对几何图形的认识始于观察 测量 比较等直观实验手段 人们可以通过直观实验了解几 何图形 发现其中的规律 2 一个策略一个策略 几何证明常用的方法是综合法 它是以题设作为出发点 根据已确定的公理和定理 逐步推理 直接推得结论成立 或问题解决 在综合法的思路过程中 我们应当研究由题 设的条件 或部分的条件 能得出哪些中间结果 进而再研究由这些中间结果 或它们的组合 又能得到哪些结果 如此继续研究思考 直到推出题中的结论成立 3 四个注意四个注意 解几何型综合题 还应注意以下几点 1 注意数形结合 多角度 全方位观察图形 挖掘隐含条件 寻找数量关系和相等关系 2 注意推理和计算相结合 力求解题过程的规 范化 3 注意掌握常规的证题思路 常规的辅助线添法 4 注意灵活地运用数学的思想方 法 模拟训练 模拟训练 6 中考数学复习专题精讲 1 如图 国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成 在这个图案中反映出的两圆位置关系有 a 内切 相交 b 外离 相交 c 外切 外离 d 外离 内切 2 将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后 得 到的图形是 3 如图 o 的半径是 1 a b c 是圆周上的三点 bac 36 则劣弧 bc 的长为 a 5 b 2 5 c 3 5 d 4 5 4 如图 矩形 abcd 中 ab 3 ad 1 ab 在数轴上 若以点 a 为圆心 对角 线 ac 的长为半径作弧交数轴的正半轴于 m 则点 m 的坐标为 a 2 0 b 5 1 0 c 10 1 0 d 5 0 5 如图 ab 是半圆直径 半径 oc ab 于点 o ad 平分 cab 交弧 bc 于点 d 连接 cd od 给出 以下四个结论 ac od ce oe ode ado 2cd 2 ce ab 其中正确结论的序号是 a b c d 6 如图 菱形 abcd 中 b 60 点 e 在边 bc 上 点 f 在边 cd 上 1 如图 1 若 e 是 bc 的中点 aef 60 求证 be df 2 如图 2 若 eaf 60 求证 aef 是等边三角形 探究提高探究提高 此题考查了菱形的性质 等边三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质以及等 腰三角形的判定与性质 此题难度适中 注意准确作出辅助线 注意数形结合思想的应用 7 1 操作发现 如图 d 是等边 abc 边 ba 上一动点 点 d 与点 b 不重合 连接 dc 以 dc 为 边在 bc 上方作等边 dcf 连接 af 你能发现线段 af 与 bd 之间的数量关系吗 并证明你发现的结论 2 类比猜想 如图 当动点 d 运动至等边 abc 边 ba 的 7 专题 12 几何综合型问题 延长线上时 其他作法与 1 相同 猜想 af 与 bd 在 1 中的结论是否仍然成立 3 深入探究 如图 当动点 d 在等边 abc 边 ba 上运动时 点 d 与点 b 不重合 连接 dc 以 dc 为边在 bc 上方 下方分别作等边 dcf 和等边 dcf 连接 af bf 探究 af bf 与 ab 有何数量关系 并 证明你探究的结论 如图 当动点 d 在等边 abc 边 ba 的延长线上运动时 其他作法与图 相同 中的结论是 否成立 若不成立 是否有新的结论 并证明你得出的结论 8 已知 如图 在 rt abc 中 c 90 d 是 bc 的中点 de ab 垂足为 e 若 tanb 1 2 ae 7 求 de 的长 探究提高探究提高 由已知可推得 bed 和 bca 均为直角三角形且相 似 由 tanb 1 2 可知 ac bd cd 欲求 de 可利用题中明显的 等量关系 如勾股定理 比例等式等 建立方程而求之 该例题可以有多种解法 这就是说明当问题中 存在多个等量关系时 利用不同的等量关系 可建立不同的方程 具体求解时 应选择最简单的方程 9 在锐角 abc 中 ab 4 bc 5 acb 45 将 abc 绕点 b 按逆时针方向旋转 得到 a1bc1 1 如图 1 当点 c1在线段 ca 的延长线上时 求 cc1a1的度数 8 中考数学复习专题精讲 2 如图 2 连接 aa1 cc1 若 aba1的面积为 4 求 cbc1的面积 3 如图 3 点 e 为线段 ab 中点 点 p 是线段 ac 上的动点 在 abc 绕点 b 按逆时针方向旋转过程 中 点 p 的对应点是点 p1 求线段 ep1长度的最大值与最小值 10 如图 ae 切 o 于点 e at 交 o 于点 m n 线段 oe 交 at 于点 c ob at 于点 b 已知 eat 30 ae 3 3 mn 2 22 1 求 cob 的度数 2 求 o 的半径 r 3 点 f 在 o 上 fme 是劣弧 且 ef 5 把 obc 经过平移 旋转和相似 变换后 使它的两个顶点分别与点 e f 重合 在 ef 的同一侧 这样的三角形 共有多少个 你能在其中找出另一个顶点在 o 上的三角形吗 请在图中画出这个三角 形 并求出这个三角形与 obc 的周长之比 探究提高 探究提高 此题考查了切线的性质 垂径定理 勾股定理 相似三角形的判定与性质 含 30 直 角三角形的性质 平移及旋转的性质 以及锐角三角函数定义 熟练掌握定理及性质是解决本题的关键 11 已知 如图 1 在面积为 3 的正方形 abcd 中 e f 分别是 bc 和 cd 边上的两点 ae bf 于点 g 且 be 1 1 求证 abe bcf 2 求出 abe 和 bcf 重叠部分 即 beg 的面积 3 现将 abe绕点a逆时针方向旋转到 ab e 如图2 使点 e落在cd边上的点e 处 问 abe 在旋转前后与 bcf 重叠部分的面积是否发生了变化 请说明理由 易错警示 易错警示 几何证明不能以特殊结果代替一般结论几何证明不能以特殊结果代替一般结论 9 专题 12 几何综合型问题 12 如图 ad 是 o 的直径 a 与 o 交于点 b c 连接 bc 交 ad 于点 h 若 ah 1 hd 9 在 o 的优弧 bdc 上取动点 p p 不在 b c 两点 ap 交 bc 于点 q 若结论 aq ap 是定值 pq pa 是 定值 其中只有一个是正确的 判断并求值 10 中考数学复习专题精讲 专专专专题题题题1 13 3 动动动动手手手手操操操操作作作作类类类类问问问问题题题题 要点梳理 要点梳理 操作型问题是指通过动手测量 作图 象 取值 计算等实验 猜想获得数学结论的 探索研究性活动 这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式 需要动手 操作 合情猜想和验证 不但有助于实践能力和创新能力的培养 更有助于养成实验研究 的习惯 符合新课程标准特别强调的发现式学习 探究式学习和研究式学习 鼓励学生进 行 微科研 活动 培养学生乐于动手 勤于实践的意识和习惯 切实提高学生的动手能力 实践能力的指导思想 解题方法 解题方法 动手操作型试题主要包括 折纸与剪纸 图形的分割与拼合 图形的平移 翻折与旋 转变换 几何体的展开与叠合 点线的运动变化等问题 题型从单一的选择 填空 到猜 想 论证 分类讨论等综合题 常用解题方法有 割补 全等 实验 类比 转化 模拟训练 模拟训练 类型类型一一 折叠剪切问题折叠剪切问题 折叠中所蕴含着丰富的数学知识 解决该类问题的基本方法就是 根据 折叠后的图形再展开 则 所得的整个图形应该是轴对称图形 求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的形状 大小 都不发生改变 折痕是它们的对称轴 折叠问题不但能使有利于培养我们的动手能力 而且还更有利于 培养我们的观察分析和解决问题的能力 1 将一正方形纸片按下列顺序折叠 然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形 将纸片 展开 得到的图形是 2 如图 把一张长方形纸片对折 折痕为 ab 再以 ab 的中点 o 为顶点把平角 aob 三等分 沿 平角的三等分线折叠 将折叠后的图形 剪出一个以 o 为顶点的等腰三角形 那 么剪出的等腰三角形全部展开铺平后 得到的平面图形一定是 a 正三角形 b 正方形 c 正五边形 d 正六边形 11 专题 13 动手操作类问题 o g f b d a c e 3 如图 矩形纸片 abcd ab 2 点 e 在 bc 上 且 ae ec 若将纸片沿 ae 折叠 点 b 恰好落在 ac 上 则 ac 的长是 4 如右图 在正方形纸片 abcd 中 对角线 ac bd 交于点 o 折叠正方形纸片 abcd 使 ad 落在 bd 上 点 a 恰好与 bd 上的点 f 重合 展开后 折痕 de 分别交 ab ac 于点 e g 连接 gf 下列 结论 agd 112 5 tan aed 2 s agd s ogd 四边形 aefg 是菱形 be 2og 其中正确结论的序号是 类型类型二二 分割图形问题分割图形问题 分割问题通常是先给出一个图形 这个图形可能是规则的 也有可能不规则 然后让你用直线 线段等把该图形分割成面积相同 形状相同的几部分 解决这类问题的时候可以借助对称的性质 面积 公式等进行分割 5 如图所示的方角铁皮 要求用一条直线 将其分成面积 相等的两部分 请你设计两种不同 的分割方案 用铅笔画图 不写画法 保留作图痕迹或简要的文字说明 6 如图 1 abc 中 90c 请用直尺和圆规作一条直线 把abc 分割成两个等腰三角形 不 写作法 但须保留作图痕迹 2 已知内角度数的两个三角形如图 2 图 3 所示 请你判断 能否分别画一条直线把 它们分割成两个等腰三角形 若能 请写出分 割成的两个等腰三角形顶角的度数 类型类型三 三 拼合图形问题拼合图形问题 拼图是几个图形按一定的规则拼接在一起的一种智力游戏 此类试题不仅可以考 查学生的观察能力 空间想象能力 判断能力和综合分析能力 通过拼图也能加强 同学们对图形的直观认识 能更好地判定所求图形的具体特征 7 如右图 将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开 拼成一个新的图形 这个新的图形可以是下列图形 中的 a 三角形 b 平行四边形 c 矩形 d 正方形 8 如右图 1 是一个等腰梯形 由 6 个这样的等腰梯形恰好 可以拼出如图 2 所示的一个菱形 对于图 1 中的等腰梯形 请 写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结 论 9 从右图中选择四个拼图板 可拼成一个矩形 正确的选择 12 中考数学复习专题精讲 方案为 只填写拼图板的代码 10 如图 方格纸中有一透明等腰三角形纸片 按图中裁剪线将这个纸片裁剪成三部分 请你将这 三部分小纸片重新分别拼接成 1 一个非矩形的平行四边形 2 一个等腰梯形 3 一个正方形 请 在图中画出拼接后的三个图形 要求每张三角形纸片的顶点与小方格顶点重合 11 如图所示 在 6 6 的方格纸中 每个小方格都是边长为 1 的正方形 我们称每个小正方形的顶 点为格点 以格点为顶点的图形称为格点图形 如图 中的三角形是格点三角形 1 请你在图 中画一条直线将格点三角形分割成两部 分 将这两部分重新拼成两个不同的格点四边形 并将这两个 格点四边形分别画在图 图 中 2 直接写出这两个格点四边形的周长 类型类型四四 探索性问题探索性问题 此类题目常涉及到画图 测量 猜想证明 归纳等问题 它与初中代数 几何均有联系 此类题目 对于考查学生注重知识形成的过程 领会研究问题的方法有一定的作用 也符合新课改的教育理念 12 小华将一张矩形纸片 如图 1 沿对角线 ca 剪开 得到两张三角形纸片 如图 2 其中 acb 然后将这两张三角形纸片按如图 3 所示的位置摆放 efd 纸片的直角顶点 d 落在 acb纸片的斜边 ac 上 直角边 df 落在 ac 所在的直线上 1 若 ed 与 bc 相交于点 g 取 ag 的中点 m 连接 mb md 当 efd 纸片沿 ca 方向平移 时 如图 3 请你观察 测量 mb md 的长度 猜想并写出 mb与 md 的数量关系 然后证明你的 猜想 2 在 1 的条件下 求出 bmd 的大小 用含 的式子表示 并说明当 45 时 bmd 是什么三角形 3 在图 3 的基础上 将 efd 纸片绕点 c 逆时针旋转一定的角度 旋转角度小于 90 此 时 cgd 变成 chd 同样取 ah 的中点 m 连 接 mb md 如图 4 请继续探究 mb 与 md 的数量关系和 bmd 的大小 直接写出你的猜想 不 需要证明 并说明 为何值时 bmd 为等边三角形 13 专题 14 方程 函数与几何相结合型综合问题 专专专专题题题题1 14 4 方方方方程程程程 函函函函数数数数与与与与几几几几何何何何相相相相结结结结合合合合型型型型综综综综合合合合问问问问题题题题 要点梳理 要点梳理 以几何量为一元二次方程的根或系数构成方程与几何相结合型综合题 解决这类问题 的关键 是把一元二次方程的知识与几何图形的性质以及计算与证明有机结合起来 函数与几何相结合型综合题 各地中考常常作为压轴题进行考查 这类题目难度大 考查知识多 解这类习题的关键就是善于利用几何图形的有关性质和函数的有关知识 并 注意挖掘题目中的一些隐含条件 以达到解题目的 近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现 其解题关键是借助几 何直观解题 运用方程 函数的思想解题 灵活运用数形结合 由形导数 以数促形 综 合运用代数和几何知识解题 值得注意的是近年中考几何综合计算的呈现形式多样 如折 叠类型 探究型 开放型 运动型 情境型等 背景鲜活 具有实用性和创造性 在考查 考生计算能力的同时 考查考生的阅读理解能力 动手操作能力 抽象思维能力 建模能 力 力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去 解题方法 解题方法 1 一个考向一个考向 代数几何综合题从内容上来说 是把代数中的数与式 方程与不等式 函数 几何中 的三角形 四边形 圆等图形的性质 以及解直角三角形的方法 图形的变换 相似等内 容有机地结合在一起 同时也融入了开放性 探究性等问题 如探究条件 探究结论 探 究存在性等 经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题 简称坐标几何问题 以及 图形运动过程中求函数解析式问题等 2 三个步骤三个步骤 解决代数几何综合题 第一 需要认真审题 分析 挖掘题目的隐含条件 翻译并转 化为显性条件 第二 要善于将复杂问题分解为基本问题 逐个击破 第三 要善于联想 和转化 将以上得到的显性条件进行恰当地组合 进一步得到新的结论 尤其要注意的是 恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想 转化思想 数形结合思想 分类讨论思想 运动观点等数学思想方法 能更有效地解决问题 模拟训练 模拟训练 1 一辆汽车和一辆摩托车分别从 a b 两地去同一城市 它们离 a 地 的 路 程 随 时 间 变 化 的 图 象 如 图 所 示 则 下 列 结 论 错 误 的是 a 摩托车比汽车晚到 1 h b a b 两地的路程为 20 km c 摩托车的速度为 45 km h d 汽车的速度为 60 km h 2 已知 如图 点 p 是正方形 abcd 的对角线 ac 上的一个动点 a c 除外 作 pe ab 于点 e 作 pf bc 于 f 设正方形的边长为 x 矩形 pebf 的周长为 y 14 中考数学复习专题精讲 在下列图象中 大致表示 y 与 x 之间的函数关系的是 3 如图 在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上 下底面 剩余的矩形作为圆柱的侧面 刚好能组合成圆柱 设矩形的长和 宽分别为 y 和 x 则 y 与 x 的函数图象大致是 4 如图 在正方形 abcd 中 ab 3 cm 动点 m 自 a 点出发沿 ab 方向以每秒 1 cm 的速度运动 同时动点 n 自 a 点出发沿折线 ad dc cb 以每秒 3 cm 的速度 运动 到达 b 点时运动同时停止 设 amn 的面积为 y cm 2 运动时间为 x 秒 则下列图象中能大致反映 y 与 x 之间函数关系的是 5 如图 四边形 abcd 是边长为 1 的正方形 四边形 efgh 是边长为 2 的正方形 点 d 与点 f 重合 点 b d f h 在同一条直线上 将正方形 abcd 沿 f h 方向平移至点 b 与点 h 重合时停止 设点 d f 之间的距离为 x 正方形 abcd 与正方形 efgh 重叠部分的面积为 y 则能大致反映 y 与 x 之间函数关系 的图象是 15 专题 14 方程 函数与几何相结合型综合问题 6 阅读材料 如图 过 abc 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线 外侧两条直线之间 的距离叫 abc 的 水平宽 a 中间的这条直线在 abc 内部线段的长度叫 abc 的 铅垂高 h 我们可得出一种计算三角形面积的新方法 s abc 1 2ah 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积 的一半 解答下列问题 如图 抛物线顶点坐标为点 c 1 4 交 x 轴于点 a 3 0 交 y 轴于点 b 1 求抛物线和直线 ab 的解析式 2 点 p 是抛物线 在第一象限内 上的一个动点 连接 pa pb 当 p 点运动到顶点 c 时 求 cab 的铅垂高 cd 及 s cab 3 是否存在一点 p 使 s pab 9 8s cab 若存在 求出 p 点的坐标 若不存在 请说明理由 探究提高 探究提高 理解 铅垂高 h 且能利用 铅垂高 来计算三角形面积 根据题意 求二次函数解 析式时 应用顶点式 y a x m 2 h 可以简捷地求得函数解析式 是否存在点 p 可由等量关系 s pab 9 8s cab 列出方程 若方程有实数根 则点 p 存在 反之 点 p 不存在 7 如图 o 的圆心在坐标原点 半径为 2 直线 y x b b 0 与 o 交于 a b 两点 点 o 关于直线 y x b 的对称点为 o 1 求证 四边形 oao b 是菱形 2 当点 o 落在 o 上时 求 b 的值 16 中考数学复习专题精讲 8 如图 抛物线 y x 2 bx c 与 x 轴交于 a b 两点 与 y 轴交于点 c 点 o 为坐标原点 点 d 为抛物线的顶点 点 e 在抛物线上 点 f 在 x 轴上 四边形 ocef 为矩形 且 of 2 ef 3 1 求抛物线所对应的函数解析式 2 求 abd 的面积 3 将 aoc 绕点 c 逆时针旋转 90 点 a 对应点为点 g 问点 g 是否在该抛物线上 请说明理由 探究提高 探究提高 根据题意 解方程求得待定系数 b c 的值 从而求得函数表达式 再由函数解析式得 出顶点 d 的坐标 以 ab 为底 d 点纵坐标的绝对值为高 可求出 abd 的面积 旋转条件求出 g 点的坐 标 然后将点 g 的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可 9 如图 等边 oab 和等边 afe 的一边都在 x 轴上 双曲线 y k x k 0 经过边 ob 的中点 c 和 ae 的中点 d 已知等边 oab 的边长为 4 1 求该双曲线所表示的函数解析式 2 求等边 aef 的边长 10 在平面直角坐标系内 反比例函数和二次函数 y k x 2 x 1 的图象交于点 a 1 k 和点 b 1 k 1 当 k 2 时 求反比例函数的解析式 2 要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大 求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围 3 设二次函数图象的顶点为 q 当 abq 是以 ab 为斜边的直角三角形时 求 k 的值 探究提高 探究提高 此题考查了二次函数的性质 反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识 此题综 合性较强 难度较大 注意掌握待定系数法求函数解析式 注意数形结合思想的应用 11 在直角坐标系中 点 a 是抛物线 y x 2 在第二象限上的点 连接 oa 过点 o 作 ob oa 交抛物 线于点 b 以 oa ob 为边构造矩形 aobc 1 如图 1 当点 a 的横坐标为 时 矩形 aobc 是正方形 2 如图 2 当点 a 的横坐标为 1 2时 求点 b 的坐标 将抛物线 y x 2 作关于 x 轴的轴对称变换得到抛 物线 y x 2 试判断抛物线 y x2 经过平移交换后 能否经过 a b c 三点 如果可以 说出变换的过程 如果不可以 请说明理由 17 专题 14 方程 函数与几何相结合型综合问题 易错警示 易错警示 不能混淆点的坐标与距离的概念不能混淆点的坐标与距离的概念 12 如图 点 o 是坐标原点 点 a n 0 是 x 轴上一动点 n 0 以 ao 为一边作矩形 aobc 使 ob 2ao 点 c 在第二象限 将矩形 aobc 绕点 a 逆时针旋转 90 得矩形 agde 过点 a 的直线 y kx m k 0 交 y 轴于点 f fb fa 抛物线 y ax 2 bx c 过点 e f g 且和直线 af 交于点 h 过点 h 作 x 轴的垂线 垂足为 m 1 求 k 的值 2 点 a 的位置改变时 amh 的面积和矩形 aobc 的面积比是 否改变 说明你的理由 18 中考数学复习专题精讲 专专专专题题题题1 15 5 动动动动态态态态型型型型问问问问题题题题 要点梳理 要点梳理 动态型试题比较侧重图形的旋转 平移 对称 翻折 中考重点考察学生几何图形的 认识 对称 全等 相似 是对数学综合能力的考察动态型试题 对学生的思维要求比较高 对题目的理解要清晰 明确变化的量之间的关系 同时还要明确不变的量有那些 抓住关 键 理清思路 解题方法 解题方法 动态几何型问题体现的数学思想方法是数形结合思想 常把函数与方程 函数与不等 式联系起来 实际上是一般化与特殊化方法 当求变量之间关系时 通常建立函数模型或 不等式模型求解 当求特殊位置关系和值时 常建立方程模型求解 中考中常考题型主要 有直线上动点 三角形边上动点 特殊四边形边上动点 抛物线上动点 模拟训练 模拟训练 类型一类型一 探索性的动态题探索性的动态题 探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论 需要经过推断 探索型问题一般没有明确 的结论 没有固定的形式和方法 需要学生自己通过观察 分析 比较 概括 推理 判断等探索活动 来确定所需要的结论或方法或条件 用考察学生的分析问题和解决问题的能力和创新意识 1 如图 在 rt abc 中 ab ac p 是边 ab 含端点 上的动点 过 p 作 bc 的垂线 pr r 为 垂足 prb的平分线与 ab 相交于点 s 在线段 rs 上存在一点 t 若 以线段 pt 为一边作正方形 ptef 其顶点 e f 恰好分别在边 bc ac 上 1 abc 与 sbr 是否相似 说明理由 2 请你探索线段 ts 与 pa 的长度之间的关系 3 设边 ab 1 当 p 在边 ab 含端点 上运动时 请你探索正方 形 ptef 的面积 y 的最小值和最大值 2 如图 已知o的半径为 6cm 射线pm经过点o 10cmop 射线pn与o相切于点 q ab 两点同时从点p出发 点a以 5cm s 的速度沿射线pm方向运动 点b以 4cm s 的速度沿 射线pn方向运动 设运动时间为ts 1 求pq的长 2 当t为何值时 直线ab与o相切 19 专题 15 动态型问题 oa c b x y 类型二类型二 存在性动态题存在性动态题 存在性动态题运用几何计算进行探索的综合型问题 要注意相关的条件 可以先假设结论成立 然 后通过计算求相应的值 再作存在性的判断 3 如图 直线4 3 4 xy和 x 轴 y 轴的交点分别为 b c 点 a 的坐标是 2 0 1 试说明 abc 是等腰三角形 2 动点 m 从 a 出发沿 x 轴向点 b 运动 同时动点 n 从点 b 出发沿线段 bc 向点 c 运动 运动 的速度均为每秒 1 个单位长度 当其中一个动点到达终点时 他们都停止运动 设 m 运动 t 秒时 mon 的面积为 s 求 s 与 t 的函数关系式 设点 m 在线段 ob 上运动时 是否存在 s 4 的情形 若存 在 求出对应的 t 值 若不存在请说明理由 在运动过程中 当 mon 为直角三角形时 求 t 的值 4 已知 在矩形aobc中 4ob 3oa 分别以oboa 所在直线为x轴和y轴 建立 如图所示的平面直角坐标系 f是边bc上的一个动点 不与bc 重合 过f点的反比例函数 0 k yk x 的图象与ac边交于点e 1 求证 aoe 与bof 的面积相等 2 记 oefecf sss 求当k为何值时 s有最 大值 最大值为多少 3 请探索 是否存在这样的点f 使得将cef 沿 ef对折后 c点恰好落在ob上 若存在 求出点f的坐 标 若不存在 请说明理由 5 如图 在平面直角坐标系中 四边形 oabc 是矩形 点 b 的坐标为 4 3 平行于对角线 ac 的直线 m 从原点 o 出发 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速 度运动 设直线 m 与矩形 oabc 的两边 分别交于点 m n 直线 m 运动的时间为 t 秒 1 点 a 的坐标是 点 c 的坐标是 2 当 t 秒或 秒时 mn 2 1 ac 3 设 omn 的面积为 s 求 s 与 t 的函数关系式 4 探求 3 中得到的函数 s 有没有最大值 若有 求出最大 值 若没有 要说明理由 20 中考数学复习专题精讲 类型三类型三 开放性动态题开放性动态题 开放性问题的条件或结论不给出 即条件开放或结论开放 需要我们充分利用自己的想像 大胆猜 测 发现问题的结论 寻找解决问题的方法 正确选择解题思路 解答开放性问题的思维方法及途径是 多样的 无常规思维模式 开放性问题的条件 结论和方法不是唯一的 要对问题充分理解 分析条件 引出结论 达到完善求解的目的 6 如图 在等腰梯形abcd中 adbc 5abdc 6ad 12bc 动点p从d 点出发沿dc以每秒 1 个单位的速度向终点c运动 动点q从c点出发沿cb以每秒 2 个单位的速度 向b点运动 两点同时出发 当p点到达c点时 q点随之停止运动 1 梯形abcd的面积等于 2 当pq ab 时 p 点离开 d 点的时间等于 秒 3 当pqc 三点构成直角三角形时 p点离开d点多少时间 7 如图 已知 abc 是边长为 6cm 的等边三角形 动点 p q 同时从 a b 两点出发 分别沿 ab bc 匀速运动 其中点 p 运动的速度是 1cm s 点 q 运动的速度是 2cm s 当点 q 到达点 c 时 p q 两点都停止运动 设运动时间为 t s 解答下列问题 1 当 t 2 时 判断 bpq 的形状 并说明理由 2 设 bpq 的面积为 s cm2 求 s 与 t 的函数关系式 3 作 qr ba 交 ac 于点 r 连结 pr 当 t 为何值时 apr prq 8 课堂上 老师将图 中 aob 绕 o 点逆时针旋转 在旋转中发现图形的形状和大小不变 但位 置发生了变化 当 aob旋转 90 时 得到 a1ob1 已知 a 4 2 b 3 0 1 a1ob1的面积是 a1点的坐标为 b1点的坐标为 2 课后 小玲和小惠对该问题继续进行探究 将图 中 aob绕 ao 的中点 c 2 1 逆时针 旋转 90 得到 a o b 设 o b 交 oa 于 d o a 交 x 轴于 e 此时 a o 和 b 的坐标分别为 1 3 3 1 和 3 2 且 o b 经过 b点 在刚才的旋转过程中 小玲和小惠发现旋转中的三角形与 aob 重叠部分的面积不断变小 旋转到 90 时重叠部分的面积 即四边形 cebd 的面积 最小 求四边形 cebd 的面积 3 在 2 的条件下 aob外接圆的半径等于 21 专题 15 动态型问题 22 中考数学复习专题精讲 专专专专题题题题1 16 6 综综综综合合合合型型型型问问问问题题题题 要点梳理 要点梳理 综合型试题是将所学的知识在一定的背景下进行优化组合 找到解决问题的方案 在 解决问题的时候所用到的知识不再是单一的知识点 而是相关的知识 可能同时用到方程 函数 也有可能是三角形与多边形 也有可能是相关学科的知识 这类题目对学生综合能 力的要求较高 同时这类题目有相对新颖的背静环境 数学综合题是初中数学中覆盖面最 广 综合性最强的题型 解题方法 解题方法 解数学综合题必须要有科学的分析问题的方法 要善于总结解数学综合题中所隐含的 重要的转化思想 数形结合思想 分类讨论的思想 方程的思想等 要结合实际问题加以 领会与掌握 这是学习解综合题的关键 模拟训练 模拟训练 类型类型一一 代数类型的综合题代数类型的综合题 代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题 主要包括方程 函数 不 等式等内容 用到的数学思想方法有化归思想 分类思想 数形结合思想以及代人法 待定系数法等 解 代数综合题要注意各知识点之间的联系和数学思想方法 解题技巧的灵活运用 要抓住题意 化整为零 层层深人 各个击破 1 刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令 一分队立即出发往 30 千米的 a 镇 二分队因疲劳可 在营地休息 a 0 a 3 小时再往 a 镇参加救灾 一分队出发后得知 唯一通往 a 镇的道路在离营地 10 千米处发生塌方 塌方地形复杂 必须由一分队用 1 小时打通道路 已知一分队的行进速度为 5 千米 时 二分队的行进速度为 4 a 千米 时 若二分队在营地不休息 问二分队几小时能赶到 a 镇 若二分队和一分队同时赶到 a 镇 二分队应在营地休息几小时 下列图象中 分别描述一分队和二分队离 a 镇的距离 y 千米 和时间 x 小时 的函数关系 请写出你认为所有可能合理的代号 并说明它们的实际意义 2 一辆经营长途运输的货车在高速公路的 a 处加满油后 以每小时 80 千米的速度匀速行驶 前 往与 a 处相距 636 千米的 b 地 下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量 y 升 与行驶时间 x 时 之间的关系 1 请你认真分析上表中所给的数据 用你学过的一次函数 反比例函数和二次函数中的一种来 表示 y 与x之间的变化规律 说明选择这种函数的理由 并求出它的函数表达式 不要求写出自变量 23 专题 16 综合型问题 的取值范围 2 按照 1 中的变化规律 货车从 a 处出发行驶 4 2 小时到达 c 处 求此时油箱内余油多少 升 3 在 2 的前提下 c 处前方 18 千米的 d 处有一加油站 根据实际经验此货车在行驶中油箱 内至少保证有 10 升油 如果货车的速度和每小时的耗油量不变 那么在 d 处至少加多少升油 才能使 货车到达 b地 货车在 d 处加油过程中的时间和路程忽略不计 类型类型二二 几何类型的综合题几何类型的综合题 几何综合题考查知识点多 条件隐晦 要求学生有较强的理解能力 分析能力 解决问题的能力 对数学知识 数学方法有较强的驾驭能力 并有较强的创新意识与创新能力 解决几何型综合题的关 键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来 进行 分析 推理 从而达到解决问题的目的 3 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 o 交 x 轴于 a b两点 直线 fa x 轴于点 a 点 d 在 fa 上 且 do 平行 o 的弦 mb 连 dm 并延 长交 x 轴于点 c 1 判断直线 dc 与 o 的位置关系 并给出证明 2 设点 d 的坐标为 2 4 试求 mc 的长及直线 dc 的解析式 4 abc 是一块等边三角形的废铁片 利用其剪裁一个正方形 defg 使正方形的一条边 de 落在 bc 上 顶点 f g