三角形四心

三角形四心1.外心：三角形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC。(2)A=。2.内心：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。(2)A的平分线和ABC的外接圆相交于点D，则D与顶点B、C、内心I等距(即D为BCI的外心)。(3)BIC=90+A，CIA=90+B，AIB=90+C。3.垂心：三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。ABC的垂心一般用字母H 表示，它具有如下的性质：(1)顶点与垂心连线必垂直对边，即AHBC，BHAC，CHAB。(2)若H在ABC内，且AH、BH、CH分别与对边相交于D、E、F，则A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、D；A、B、D、E共六组四点共圆。(3)ABH的垂心为C，BHC的垂心为A，ACH的垂心为B。(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。4.重心：三角形三条中线的交点叫三角形的重心。ABC的重心一般用字母G表示，它有如下的性质：(1)顶点与重心G的连线必平分对边。(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。(3)。练习1、三角形的三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的 心；三个角的平分线的交点叫做三角形的 心；三条中线的交点叫做三角形的 心；三条高线的交点叫做三角形的 心。2、在ABC中，A=40，为ABC的内心，则BOC 度。3、圆的外切正三角形的边长是圆内接三角形的边长的 倍。4、已知三角形三边长分别为3、4、5，则其内切圆半径为 。5、设ABC的垂心为H，则BHCBAC= 度。6. ABC的三条中线AD，BE，CF的长分别是5，12,13，求ABC的面积。7.如图1，ABC中，AD为BC边的高线，点O为ABC的外心，求证：BAO=DAC。8. 如图9，ABC中，A=2B，由顶点C作A的平分线AD的垂线CF，垂足为F，求证：CF经过ABC的外心。9.如图8，ABC的垂心H，若垂足三角形DEF的外接圆和HC的交点为G，求证：HG=CG。10.如图9-2所示，在ABC的大边AB上取AN=AC，BM=BC，点P为ABC 的内心，求证：MPN=A+B。 11. 如图12，过ABC的重心G引直线XY，使A与B、C在XY的异侧，从顶点A、B、C向这条直线作垂线，设垂足分别为，求证：。12.如图3，已知ABC的内心为I，BCI的外心为D，求证：A、B、C、D四点共圆。【练习答案】基础练习：1.外心，内心，重心，垂；2.110；3. 2; 4.1; 5.1806.略；7.略8.作ABC的外接圆，令A的平分线和圆周的交点为D，若由C作AD的垂线和圆周交于E，和AD交于F，AFC90，易证半圆周。AD为BAC的平分线，BBAC半圆周EC是外接圆的直径，即CE过ABC的外心。9.证明：如图，连结DG、DE、DF、EFCFAB于F，ADBC于D，BFCBDH180B、F、H、D四点共圆。23同理可证A、E、D、B四点共圆，1312同理可证45(注：4为EFC，5为CFD)HDG1EDG2425DHG25，HDGDHGHGGDHDC90GDCGCDGCGDHGGC10.分析、连接PA、PB、PC及PM、PN。由已知易证APCAPN，BPCBPM。从而PC=PN，PC=PM，即PM=PN=PC。故P为CMN的外心，此时有MPN=2MCN。而CAN=90A，BCM=90B，故ACN+BCM=180(A+B)，即 MCN+ACB=180(A+B)，则MCN=(180ACB)(A+B) = (A+B)。故MPN=2MCN=A+B。11.证明：如图，连结AG并延长交BC边于E，过点作EMXY于MXY，EMXY，XY，MEE为BC中点，NE为梯形的中位线。2ME，G为ABC的重心。AG2GE，XY。ME，2ME12.证明：如图，连结BD、ID、CD、AID为BIC的外心，DBDIDC