2.71 直线与双曲线的位置关系(理).doc

2.71直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2焦点在y轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.要点二、双曲线的几何性质标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点 轴实轴长=，虚轴长= 离心率渐近线方程要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点直线与双曲线的相交弦设直线交双曲线于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：（1） 利用定义转化（2） 利用双曲线的几何性质（3） 转化为函数求最值【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.求下列双曲线的标准方程(1)与椭圆共焦点，且过点(2，)的双曲线；(2)与双曲线有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线【解析】(1)椭圆的焦点为(0，3)，所求双曲线方程设为：，又点(2，)在双曲线上，解得a25或a218(舍去)所求双曲线方程为.(2)双曲线的焦点为(2，0)，设所求双曲线方程为：，又点(3，2)在双曲线上，解得a212或30(舍去)，所求双曲线方程为.【总结升华】根据焦点所在轴的位置合理的设出方程是求双曲线方程的基本步骤。举一反三：【变式1】设双曲线焦点在x轴上，两条渐近线为yx，则该双曲线的离心率为()A5 B. C. D. 【答案】C【变式2】（2015 安徽卷）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是（ ）(A) (B) (C) (D)【答案】 C【解析】由题意：选项中A，B焦点在x轴，排除C项的渐近线方程为，即y2x，故选C.类型二：直线与双曲线的位置关系例2已知双曲线x2y2=4，直线l：y=k(x1)，讨论直线与双曲线公共点个数.【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解.【解析】联立方程组消去y，并依x项整理得：(1k2)x2+2k2xk24=0 (1)当1k2=0即k=1时，方程可化为2x=5，x=，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).(2)当1k20时，即k1，此时有=4(43k2)若43k20(k21)，则k，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.(3)若43k2=0(k21)，则k=，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).(4)若43k20，b0）矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_【解析】依题意，不妨设作出图像如下图所示则故离心率 【巩固练习】1、 选择题1双曲线的渐近线方程是A B C D2椭圆与双曲线有相同的焦点，则m的值是()A1 B1 C1 D不存在3（2015 新课标文改编）已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 4(2015 湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（ab）同时增加m（m0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（） A对任意的a，b，e1e2B当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C对任意的a，b，e1e2 D当ab时，e1e2；当ab时，e1e25. 已知双曲线的两个焦点为F1(，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1PF2，|PF1|PF2|2，则该双曲线的方程是()A. B. C. D6. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a8，那么ABF2的周长是()A16 B18C21 D26二、填空题7已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是_8（2016 葫芦岛二模）已知双曲线的一条渐近线经过点（3，6），则该渐近线与圆(x2)2+y2=16相交所得的弦长为_9已知双曲线 (a0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为_10设一个圆的圆心在双曲线的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O到该圆圆心的距离是_三、解答题11.已知双曲线的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率，求双曲线的标准方程及其渐近线12设双曲线C：相交于两个不同的点A、B；求双曲线C的离心率e的取值范围：13（2016 肇庆三模）设双曲线=1（0a0，b0)的两个焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230，求双曲线的渐近线方程15已知双曲线E：(a0，b0)的两条渐近线分别为1：y2x，2：y2x(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线分别交直线1，2于A，B两点(A，B分别在第一、第四象限)，且OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由【答案与解析】1.【答案】：C【解析】：将双曲线化为，以0代替1，得，即；即 ，故选C2.【答案】：A【解析】：验证法：当m1时，m21，对椭圆来说，a24，b21，c23.对双曲线来说，a21，b22，c23，故当m1时，它们有相同的焦点直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4m2m22.m21，即m1.3【答案】：A【解析】：根据双曲线渐近方程为，可设双曲线的方程为，把代入得m=1.所以双曲线的方程为，故选A。4. 【答案】：D【解析】 依题意，因为，由于m0，a0，b0，所以当ab时，所以e1e2；当ab时，而，所以，所以e1e2.所以当ab时，e1e2；当ab时，e1e2.故选D.5. 【答案】：C【解析】：c，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，4a24c2416，a24，b21.6.【答案】：D【解析】：|AF2|AF1|2a8，|BF2|BF1|2a8，|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)16，|AF2|BF2|16521，ABF2的周长为|AF2|BF2|AB|21526.7【答案】：【解析】：由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为yx，当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是.8【答案】：【解析】：双曲线的一条渐近线经过点（3，6），可得渐近线方程为：y=2x，圆(x2)2+y2=16的圆心与半径分别为（2，0），4，该渐近线与圆(x2)2+y2=16相交所得的弦长为：。故答案为：9. 【答案】：【解析】：由|PF1|PF2|2a及|PF1|4|PF2|得：|PF2|，又|PF2ca，所以ca，c，e，即e的最大值为.10【答案】：【解析】：由已知得双曲线的上顶点为A(0,3)，上焦点为F(0,5)，设圆心为P(x0，y0)，则y04.代入双曲线方程得，所以，故|PO|.11. 【解析】：由条件知焦点在y轴上，；可求；所以双曲线的方程为渐近线方程为.12.【解析】：由C与相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 双曲线的离心率13【解析】：由已知，的方程为ay+bx-ab=0, 原点到的距离为，则有, 又c2=a2+b2, ，两边平方，得16a2(c2-a2)=3c4.两边同除以a4并整理得3e4-16e2+16=0，e2=4或. 0ab, ,得,e2=4，故e=2.14【解析】在RtF1F2P中，PF1F230，|PF1|2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a，|PF2|2a.|F1F2|PF2|，即2c2a，c23a2.又c2a2b2，2a2b2.故所求双曲线的渐近线方程为yx.15. 【解析】：(1)因为双曲线E的渐近线分别为1：y2x，2：y2x，所以所以故ca，从而双曲线E的离心率(2)由(1)知，双曲线E的方程为设直线与x轴相交于点C，当x轴时，若直线与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a，又OAB的面积为8，所以|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为以下证明：当直线不与x轴垂直时，双曲线