山东教师招聘考试资料 小学数学学科专业知识.pdf

数学学科专业知识 重点导读与备考方略 要成为一名合格的数学教师袁首先必须具备系统的数学学科专业知识袁能准 确理解数学教材的内容和结构遥因此袁本教材的第一部分详细讲述了小学数学教 师所应具备的数学学科基础知识袁帮助考生建立完善的知识结构袁全面系统地把 握数学专业知识遥 该部分内容共分为九章袁详细讲述了集合尧逻辑与算法初步袁函数袁不等式尧 数列与极限袁导数与微积分袁简单几何体袁解析几何袁向量与复数袁推理与证明袁统 计与概率等数学专业基础知识遥 该部分知识是小学数学教师必须掌握的基础知识遥 在历年考试中袁该部分内 容是考查的重点袁考生在学习该部分知识的时候袁要注意多加练习袁学以致用遥 第一部分 学科专业知识 窑 小学数学 第一章 集合尧逻辑与算法初步 知识点常考题型要求掌握程度 集合选择题尧填空题掌握 简易逻辑选择题尧填空题了解 算法初步选择题尧填空题掌握 集 合 与 逻 辑 集合尧逻 辑与算 法初步 算 法 初 步 基本概念 逻辑联结词 命题 命题的条件与结论间的属性 集合的基本概念 集合间的基本关系 集合的运算 集合 简易逻辑 算法案例 常用逻辑用语要要要量词 本章内容框架 重要考点分布 2 第一部分 数学学科专业知识 考题再现 下列集合中表示同一集合 的是渊冤遥 a m 渊3袁2冤 袁n 3袁2 b m 渊x袁y冤 x y 1 袁n y x y 1 c m 渊4袁5冤 袁n 渊5袁4冤 d m 2袁1 袁n 1袁2 揖答案铱d遥 解析院a 选项袁m 渊3袁2冤 袁m 集合的元素表示点的 集合袁n 3袁2 袁n 表示数集袁故不 是同一集合袁故 a 错误曰b 选项袁 m 渊x袁y冤 x y 1 袁m 集合的元素 表示点的集合袁n y x y 1 袁n 表 示直线 x y 1 的纵坐标袁是数集袁 故不是同一集合袁 故 b 错误曰c 选项袁m 渊4袁5冤 袁集合 m 的元素 是点 渊4袁5冤袁n 渊5袁4冤 袁 集合 n 的元素是点渊5袁4冤袁故 c 错误曰d 选项袁m 2袁1 袁n 1袁2 根据集合 的无序性袁集合 m袁n 表示同一集 合袁故 d 正确曰故选 d遥 一尧集合 渊一冤集合的基本概念 员援集合的含义 某些指定的对象集在一起就成为一个集合袁 其中每一个对象 叫元素遥 圆援集合中的元素的三个特性 元素的确定性如院世界上最长的河流曰 元素的互异性如院由 匀粤孕孕再的字母组成的集合喳匀袁粤袁 孕袁再札曰 元素的无序性如院喳葬袁遭袁糟札和喳葬袁糟袁遭札是表示同一个集合遥 猿援集合的表示 用拉丁字母表示集合院粤越喳我校的篮球队员札袁月越喳员袁圆袁猿袁源袁缘札遥 集合的表示方法院列举法尧描述法与图示法遥 渊员冤列举法院喳葬袁遭袁糟噎札曰 渊圆冤描述法院将集合中的元素的公共属性描述出来袁写在大括 号内表示集合的方法遥 例如喳曾沂砸渣曾原猿跃圆札曰 渊猿冤语言描述法院例如喳不是直角三角形的三角形札曰 渊源冤灾藻灶灶 图袁也叫文氏图袁它既可以表示一个独立的集合袁也可 以表示集合与集合之间的相互关系遥 如图 a b c 常用数集及其记法院非负整数集渊即自然数集冤记作 晕袁正整数 集记作 晕鄢或 晕垣袁整数集记作 在袁有理数集记作 匝袁实数集记作 砸遥 源援集合的分类 有限集院含有有限个元素的集合曰 无限集院含有无限个元素的集合曰 空集院不含任何元素的集合记为 遥 例如喳曾渣曾圆越原缘袁曾沂砸札遥 渊二冤集合间的基本关系 全集院一般地袁如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所 第一节集合与逻辑 本章考点梳理 3 学科专业知识 窑 小学数学 考题再现 设集合 粤越喳曾渣员约曾约圆札袁月越喳曾渣 曾约葬札袁若 粤哿月袁求 葬的取值范围遥 揖答案铱葬逸圆遥 解析院由图可 知袁粤 表示的是黑色区域袁月 必须 包含 粤袁可得 葬逸圆遥 12a 有元素袁那么就称这个集合为全集袁通常记作 哉遥 子集院一般地袁对于两个集合 粤尧月袁如果集合 粤 中的任意一个 元素都是集合 月 中的元素袁我们就称这两个集合有包含关系袁称集 合 粤 为集合 月 的子集袁记作 粤哿月袁读作野粤 包含于 月冶遥 真子集院如果 粤哿月袁且 粤屹月袁那就说集合 粤 是集合 月 的真子 集袁记作 粤芴月渊或 月芡粤冤遥 反之院集合 粤 不包含于集合 月袁或集合 月 不包含集合 粤袁记作 粤芫月 或 月芸粤遥 由上述集合间的基本关系袁可以得到下列结论院 渊员冤任何一个集合是它本身的子集即 a哿a遥 渊圆冤对于集合 a尧b尧c袁如果 a哿b袁且 b哿c袁那么 a哿c遥 渊猿冤如果 a哿b 且 b哿a袁那么 a越b遥 渊源冤空集是任何集合的子集袁空集是任何非空集合的真子集遥 渊缘冤有 n 个元素的集合袁含有 2n个子集袁2n 1 个真子集遥 渊三冤集合的运算 运算类型交集并集补集 定义 由所有属于 a 且属于 b 的元素所组成的集 合 叫做 a b 的交集遥 记作 a疑b 渊读作野a 交 b冶冤袁 即 a疑b 喳x x沂a 且 x沂b札遥 由所有属于集合 粤 或属于集合 月 的元 素所组成的集合袁叫 做 粤袁月 的并集遥 记 作院粤 胰月 渊读作野粤 并 月冶冤袁即 粤 胰月越喳曾渣 曾沂粤 或 曾沂月札冤遥 设 u 是一个集合袁粤 是 u 的一个子集袁 由 u 中所有不属于 粤 的元素组成的集 合袁叫做 u 中子集 粤 的补集渊或余集冤袁记 作 ua袁即ua越 喳曾渣曾沂u 且 曾埸粤札遥 韦恩图示 性质 a疑a a a疑 a疑b b疑a a疑b哿a a疑b哿b a胰a a a胰 a a胰b b胰a a胰b勐粤 a胰b勐b 渊 u粤冤疑渊u月冤 越 u渊粤胰月冤 渊 u粤冤胰渊u月冤 越 u渊粤疑月冤 粤胰渊 u粤冤越哉 粤疑渊 u粤冤越 a u ab ab 揖例题铱缘园 名学生做物理尧 化学两种 实验袁已知物理实验做的正确的有 源园 人袁 化学实验做的正确的有 猿员 人袁 两种实验 都做错的有 源 人袁那么这两种实验都做对 的有多少人钥 揖答案铱圆缘遥 解析院方框里的总人数是 缘园 人袁两个椭圆里的人数 分别是 源园 和 猿员袁黑色区域的人数为 源园垣猿员垣源原缘园越圆缘遥 都做错的院4 40 物理 化学 31 4 第一部分 数学学科专业知识 考题再现 命题院野方程 x2 1 0 的解是 x 依1冶袁 其使用逻辑联结词的情 况是渊冤遥 a 使用了逻辑联结词野且冶 b 使用了逻辑联结词野或冶 c 使用了逻辑联结词野非冶 d 没有使用逻辑联结词 揖答案铱b遥 二尧简易逻辑 渊一冤逻辑联结词 员援野或冶野且冶野非冶这些词叫做逻辑联结词曰不含有逻辑联结词的 命题是简单命题曰由简单命题和逻辑联结词野或冶野且冶野非冶构成的 命题是复合命题遥 构成复合命题的形式院责 或 择渊记作 责胰择冤曰责 且 择 渊记作 责疑择冤曰非 责渊记作劭责冤遥 逻辑联结词野或冶可以与集合中的野并冶相联系袁 u渊粤胰月冤越 u粤疑u月遥 逻辑联结词野且冶可以与集合中的野交冶相联系袁 u渊粤疑月冤越 u粤胰u月遥 逻辑联结词野非冶可以与集合中的野补冶相联系袁 u粤越喳曾渣曾沂哉袁且 曾埸粤札遥 圆援野或冶野且冶野非冶的真值判断 渊员冤野非 责冶形式复合命题的真假与 责 的真假相反曰 渊圆冤野责 且 择冶形式复合命题当 责 与 择 同为真时为真袁其他情况 时为假曰 渊猿冤野责 或 择冶形式复合命题当 责 与 择 同为假时为假袁其他情况 时为真遥 渊二冤命题 员援定义院可以判断真假的语句叫做命题遥 若一个命题是正确的袁该命题叫真命题曰若一个命题不正确袁该 命题叫假命题遥 由命题的概念袁一个命题不是真命题就是假命题遥 圆援命题的四种形式与相互关系 渊员冤原命题院若 责 则 择曰 渊圆冤逆命题院若 择 则 责曰 渊猿冤否命题院若劭责 则劭择曰 渊源冤逆否命题院若劭择 则劭责曰 原命题与逆否命题互为逆否命题袁同真假曰 逆命题与否命题互为逆否命题袁同真假遥 原命题 若p袁则 q 否命题 若非 p袁则非 q 逆命题 若q袁则 p 逆否命题 若非 q袁则非 p 互为逆命题 互为逆命题 互为逆否命题 互 为 否 命 题 互 为 否 命 题 5 学科专业知识 窑 小学数学 知识拓展 当从命题条件的正面不易 证明时袁可以从命题结论的反面 考虑采用反证法袁即从命题结论 的反面出发渊假设冤袁引出渊与已 知尧公理尧定理噎噎冤矛盾袁从而 否定假设证明原命题成立袁这样 的证明方法叫做反证法遥 渊三冤命题的条件与结论间的属性 若 责圯择袁则 责 是 择 的充分条件袁择 是 责 的必要条件袁即野前者为 后者的充分袁后者为前者的必要冶曰 若 责圳择袁则 责 是 择 的充分必要条件袁简称 责 是 择 的充要条件曰 若 责圯择袁且 责圯择袁那么称 责 是 择 的充分不必要条件曰 若 责圯择袁且 择圯责袁那么称 责 是 择 的必要不充分条件曰 若 责圯择袁且 择圯责袁那么称 责 是 择 的既不充分又不必要条件遥 揖例题铱已知责院方程曾圆垣皂曾垣员越园有两个不等负实根遥 择院方程 源曾圆垣 源渊皂原圆冤曾垣员越园无实根遥若责或 择 为真袁责 且 择 为假遥求实数皂的取值 范围遥 揖解析铱因为 责 或 择 为真袁责 且 择 为假袁则必然 责 与 择 中有一真一 假遥 分两种情况院责 为真袁择 为假曰择 为真袁责 为假遥 渊员冤若 责 为真袁则 择 为假遥 责 为真袁方程曾圆垣皂曾垣员越园有两个不等负实根成立袁即 驻越皂圆原源跃园袁 曾员垣曾圆越原皂约园袁解得院皂跃圆 或皂约原圆袁皂跃园遥 综上两式得到院皂跃圆遥 择 为假袁方程源曾圆垣源渊皂原圆冤曾垣员越园 无实根不成立袁即有实数根袁驻越 员远渊皂原圆冤圆原员远逸园袁所以 皂逸猿或皂臆员遥 取交集得到袁皂逸猿曰 渊圆冤若 择 为真袁则 责 为假遥 择为真袁即方程源曾圆垣源渊皂原圆冤曾垣员越园无实根成立袁即 驻越员远渊皂原圆冤圆原 员远约园袁所以 员约皂约猿遥 责 为假袁方程曾圆垣皂曾垣员越园有两个不等负实根不成立袁即淤无实根 或有两个相等实根袁驻越皂圆原源臆园袁或于有两个不等正实根袁驻越皂圆原源跃 园袁曾员垣曾圆越原皂跃园遥 解得袁淤原圆臆皂臆圆 或于皂约原圆袁所以皂臆圆遥 取交集得到院员约皂臆圆曰 综上所述皂逸猿或员约皂臆圆遥 三尧常用逻辑用语要要要量词 对量词的理解袁应重点把握以下几个方面院 第一袁结合具体命题来理解量词的意义袁了解量词在日常生活 和数学中的各种表达形式遥 例如院 渊员冤所有正方形都是矩形曰 渊圆冤每一个有理数都能写成分数的形式曰 渊猿冤有些三角形是直角三角形曰 渊源冤存在一个实数 曾袁使得 曾圆垣曾原员越园遥 以上命题的条件中袁野所有冶尧野每一个冶 等都是在指定范围内袁 表示整体或全部的含义袁这些词是全称量词曰野有些冶尧野存在冶等都 表示个别或一部分的含义袁这些词都是存在量词遥 第二袁通过生活和数学中的丰富实例袁体会野量词冶在数学中和 日常生活的作用遥 例如袁过直线外一点存在唯一的一条直线与该直 6 第一部分 数学学科专业知识 考题再现 第二节 算法初步 算法指的是渊冤遥 a 某一个具体问题的一系列 解决步骤 b 数学问题的解题过程 c 某一类问题的一系列解决 步骤 d 计算机程序 揖答案铱c遥 解析院算法虽然没 有一个明确的意义袁但其特点还 是很鲜明的袁不仅要注意算法的 程序性袁明确性袁有限性特点袁还 应充分理解算法的问题指向性袁 即算法往往指向某一类问题遥 算 法指的是某一类问题的一系列 解决步骤袁故答案为 c遥 线平行袁这就使用了存在量词遥 给定一组正整数喳圆袁愿袁员苑袁员怨札袁存在一个大于 员 的正整数 灶袁使 得这组数中的每一个数都能被 灶 整除遥 在这个命题中袁使用了两个 量词遥 第三袁新课标只要求理解和掌握含有一个量词的命题遥 对于命 题的否定袁只要求对含有一个量词的命题进行否定遥 学生可以通过 一些日常生活中这类命题的否定袁例如野全班同学都会唱这首歌冶 的否定袁来加深对这部分内容的理解遥 不要求理解和掌握含有两个 和两个以上量词的命题遥 一尧基本概念 渊一冤算法的定义 对一类问题的机械的尧统一的求解方法称为算法袁算法是对特 定问题求解步骤的一种描述袁现代意义的野算法冶通常是指可以用 计算机来解决的某一类问题的程序或步骤遥 渊二冤算法的五个特征 员援确定性院算法的每一步必须是确切定义的袁且无二义性袁算法 只有唯一的执行路径袁对于相同的输入只能得出相同的输出遥 圆援有限性院一个算法必须在执行有限次运算后结束袁在所规定 的时间和空间内袁若不能获得正确结果袁其算法也是不能被采用的遥 猿援可行性院算法中的每一个步骤必须能用实现算法的工具要要要 可执行指令精确表达袁并在有限步骤内完成袁否则这种算法也是不 会被采纳的遥 源援有输入院算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值才能 正确执行它的每一步骤遥 缘援有输出院算法一定能得到问题的解袁有一个或多个结果输出袁 达到求解问题的目的袁没有输出结果的算法是没有意义的遥 渊三冤算法的描述 描述算法可以有不同的方式袁常用的有自然语言尧框图尧伪代 码尧程序设计语言等遥 员援自然语言院自然语言就是人们日常使用的语言袁如汉语尧英语 或数学语言等袁使用自然语言描述算法的优点是通俗易懂袁当算法 中的操作步骤都是顺序执行时比较容易理解遥 缺点是如果算法中 7 学科专业知识 窑 小学数学 已知三个不相等的数 葬尧遭尧 糟袁试给出寻找这三个数中最大的 一个算法袁画出该算法的流程图遥 揖解析铱流程图为 开始 输入 a袁b袁c a跃b 且 a跃c yn y b跃c n x ax bx c 输出 x 结束 包括判断和转向袁并且操作步骤较多时袁就不那么直观清晰了遥 圆援框图渊流程图冤院渊共有顺序结构尧选择结构尧循环结构三种结 构冤程序框图又称流程图袁是一种用规定的图形尧指向线及文字说 明来准确尧直观地表示算法的图形遥 画程序框图的规则院 渊员冤使用标准的框图符号遥 渊圆冤框图一般按从上到下尧从左到右的方向画遥 渊猿冤除判断框外袁大多数框图符号只有一个进入点和一个退出 点遥 判断框是具有超过一个退出点的唯一符号遥 渊源冤在图形符号内描述的语言要非常简练清楚遥 渊缘冤流程线必须画箭头袁因为它是反映流程的执行的先后次 序的遥 顺序结构院是由若干个依次执行的处理步骤组成的袁这是任何 一个算法结构都离不开的最简单尧最基本的结构遥 其流程图如图 员 所示遥 选择结构院先进行判断袁判断的结果决定后面的步骤袁这样的 结构称为选择结构袁或称为条件分支结构遥 其流程图如图 圆 所示遥 循环结构院循环结构渊重复结构冤是指按照一定条件袁反复执行 某一操作的算法结构遥 在循环结构中袁反复执行的处理步骤称为循 环体遥 需要注意的是袁循环结构中一定包含条件结构遥 其流程图如 图 猿尧图 源 所示遥 a p n y a p n y 图 猿图 4 a b ab p 图 员图 2 ny 图 猿尧图 源 均为循环结构袁只是图 猿 表示直到型循环袁图 源 表示 当型循环遥 当型循环渊宰hile 型冤和直到型渊until 型冤循环的区别 是院当型循环是先判断渊条件冤再执行袁而直到型循环是先执行 考题再现 8 第一部分 数学学科专业知识 用语句描述求使员伊猿伊缘伊苑伊 噎噎伊灶约员 园园园成立的最大正整数 灶 的算法过程遥 揖解析铱灶 员 栽 员 宰hile 栽约员 园园园 灶 灶垣圆 栽 栽伊灶 wend 孕rint 灶原圆 后判断曰当型循环是条件满足时执行有关操作袁直到型循环是 满足了条件就不再执行的有关操作遥 对同一个问题袁既可以用 当型循环来处理袁也可以用直到型循环来处理遥 猿援基本算法语句院在研究算法的时候袁可以采用与程序设计语 言类似的形式袁我们也称之为伪代码遥 它有 缘 种语句院输入语句尧输 出语句尧赋值语句尧条件语句尧循环语句遥 渊员冤赋值语句院在表述一个算法时袁经常要引入变量袁并赋给变 量一个值袁 用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句叫 做赋值语句遥 赋值语句用符号野曾饮赠冶或野曾越赠冶等表示遥 渊圆冤输入语句院用来实现算法的输入信息袁本质是通过计算机 的外设渊如键盘等冤把数据送到计算机内存遥 输入语句用符号野input 葬袁 遭冶等表示遥 渊猿冤输出语句院用来输出算法的结果袁本质是从计算机向外部 输出设备渊如显示器尧打印机尧磁盘等冤输出数据遥 输出语句用符号野孕rint 曾冶等表示遥 渊源冤条件语句院一个选择结构袁执行此算法时袁要根据条件选择流 程线的方向袁我们用条件语句来实现这一过程袁其一般形式是图缘院 图 缘 a bc ny if a then b else c end if 渊缘冤循环语句院一个循环结构袁可以用循环语句来实现遥 当循环次数已定袁可用野云燥则冶语句遥 野云燥则冶语句的形式为院 云燥则 i 枣则燥皂野初值冶贼燥野终值冶泽贼藻责野步长冶噎耘nd for 当循环次数不能确定时袁 可用 野while冶 语句来实现循环遥 野while冶语句的形式为图 远院 a y p n whilep 噎 wend 图 远 考题再现 9 学科专业知识 窑 小学数学 下列算法输出的结果是渊冤遥 s 1 i 1 while s100b i50d i 50 开始 s 0 i 2 n y s s 1 i i i 2 输出 s 结束 苑援已知集合 粤越喳渊曾袁赠冤渣圆曾原赠越园札尧月越喳渊曾袁赠冤渣猿曾垣赠越园札尧悦越喳渊曾袁赠冤渣圆曾原赠越猿札袁求 粤疑月尧粤疑悦尧渊粤疑月冤胰渊月疑悦冤遥 8援设 曾袁赠沂砸袁粤越喳葬渣葬越曾圆原猿曾垣员札袁月越喳遭渣遭越赠圆垣猿赠垣员札袁求集合 粤 与 月 之间的关系遥 9援已知集合 粤越喳曾渣员园垣猿曾原曾圆逸园札袁月越喳曾渣曾圆原圆曾垣圆皂约园札袁若 粤疑月越月袁求实数 皂 的值遥 员0援已知 葬跃员袁设命题 p院葬渊曾原圆冤垣员跃园袁命题 q院渊曾原员冤圆跃葬渊曾原圆冤垣员遥 试寻求使得 p尧q 都是真命题的曾 的集合遥 11 学科专业知识 窑 小学数学 参考答案及解析 员援揖答案铱月遥 圆援揖答案铱阅遥 猿援揖答案铱月遥 源援揖答案铱月遥 缘援揖答案铱c遥 远援揖答案铱b遥 苑援揖解析铱粤疑月 就是 粤 和 月 中两直线的交点袁解二元一次方程得 曾越园袁赠越园袁所以 粤疑月越喳渊曾袁赠冤渣曾越园袁赠越园札曰 粤 和 悦 中两直线平行袁没有交点袁所以 粤疑悦越 曰月 和 悦 中两直线的交点是渊 猿 缘 袁原 怨 缘 冤袁所以 月疑悦越 喳渊曾袁赠冤渣曾越 猿 缘 袁赠越原 怨 缘 札袁粤疑月越喳渊曾袁赠冤渣曾越园袁赠越园札袁所以渊粤疑月冤胰渊月疑悦冤越喳渊曾袁赠冤渣渊园袁园冤袁渊 猿 缘 袁原 怨 缘 冤札遥 8援揖解析铱 由 葬越曾圆原猿曾垣员越渊曾原 猿 圆 冤圆原 缘 源 逸原 缘 源 袁 得 粤越喳葬渣葬逸原 缘 源 札袁遭越赠圆垣猿赠垣员越渊赠垣 猿 圆 冤圆原 缘 源 逸原 缘 源 袁得 月越喳遭渣遭逸原 缘 源 札袁故 粤越月遥 9援揖解析铱不难求出 粤越喳曾渣原圆臆曾臆缘札袁由 粤疑月越月圯月哿粤袁又 曾圆原圆曾垣圆皂约园袁驻越源原愿皂袁 淤若 源原愿皂臆园袁即 皂逸 员 圆 袁则 月越 奂粤曰 于若 源原愿皂跃园袁即 皂约 员 圆 袁月越喳曾渣员原员原圆皂姨约曾约员垣员原圆皂姨札袁故 员原员原圆皂姨逸原圆 员垣员原圆皂姨臆缘 嗓 圯原源臆皂约 员 圆 袁因此 由淤于知院皂 的取值范围是 皂沂咱原源袁垣肄冤遥 员0援揖解析铱设 粤越喳曾渣葬渊曾原圆冤垣员跃园札袁月越喳曾渣渊曾原员冤圆跃葬渊曾原圆冤垣员札袁依题意袁求使得p尧q 都是真命题的 曾 的集合即是 求集合粤疑月袁 因 葬渊曾原圆冤垣员跃园 渊曾原员冤圆跃葬渊曾原圆冤垣员 嗓 圯 曾跃圆原 员 葬 曾圆原渊圆垣葬冤曾垣圆葬跃园 扇 墒 设 设 设 设 缮设 设 设 设 圯 曾跃圆原 员 葬 渊曾原葬冤渊曾原圆冤跃园 扇 墒 设 设 设 设 缮 设 设 设 设 袁以下分情况讨论院 渊1冤当 员约葬约圆 时袁则有 曾跃圆原 员 葬 曾跃圆 或 曾约葬 扇 墒 设 设 设 设 缮设 设 设 设 袁而 葬原渊圆原 员 葬 冤越葬垣 员 葬 原圆跃园袁所以 圆原 员 葬 约x约葬遥 此时使 p尧q 都是真命题的 曾沂喳曾渣曾跃圆 或 圆原 员 葬 约曾约葬札曰 渊2冤当 葬越圆 时袁易得使 p尧q 都是真命题的 曾沂喳曾渣曾跃 猿 圆 且 曾屹圆札曰 渊3冤当 葬跃圆 时袁则有 曾跃圆原 员 葬 袁 曾跃葬或 曾约圆遥 扇 墒 设 设 设 设 缮 设 设 设 设 此时使得 p尧q 都是真命题的 曾沂喳曾渣曾跃葬或 圆原 员 葬 约曾约圆札遥 12 第一部分 数学学科专业知识 第二章 函数 函 数 概 念 一次函数 函数的定义 二次函数 反函数 复合函数 三 角 函 数 奇偶性 单调性 周期性 凸凹性 函数的基本性质 反函数和复合函数 函数 基 本 初 等 函 数 角的概念的推广尧弧度制 任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系 式与诱导公式 正弦函数尧余弦函数尧正切 函数的图象与性质 函数 y asin渊棕x 渍冤的图象 与性质 和尧差尧倍尧半角公式 正弦尧余弦定理 指数函数与对数函数 幂函数 反比例函数 本章内容框架 13 学科专业知识 窑 小学数学 易错提示 知识点常考题型要求掌握程度 函数的定义选择题尧填空题了解 函数的基本性质选择题尧填空题了解 指数函数和对数函数选择题尧填空题尧解答题掌握 幂函数选择题尧填空题尧解答题掌握 角的概念的推广尧弧度制选择题尧填空题尧解答题掌握 任意角的三角函数选择题尧填空题尧解答题掌握 同角三角函数的基本关系式与诱导公式选择题尧填空题尧解答题掌握 正弦函数尧余弦函数尧正切函数的图象与性质选择题尧填空题尧解答题掌握 函数 y asin渊棕x 渍冤的图象与性质选择题尧填空题尧解答题掌握 和尧差尧倍尧半角公式选择题尧填空题尧解答题掌握 正弦尧余弦定理选择题尧填空题尧解答题掌握 反函数和复合函数 一次函数尧二次函数尧反比例函数 选择题尧填空题尧解答题 选择题尧填空题 掌握 掌握 一尧函数的定义 设 a袁b 是非空的数集袁如果按照某种确定的对应关系 f袁使对 于集合 a 中的任意一个数 x袁 在集合 b 中都有唯一确定的数 f渊x冤 和它对应袁 那么就称为 f院a寅b 是从集合 a 到集合 b 的一个函数袁 记作 y f渊x冤袁x沂a遥其中 x 叫做自变量袁x 的取值范围 a 叫做函数的 定义域曰 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值袁 函数值的集合 f渊x冤 x沂a 嗓瑟叫做函数的值域遥 二尧函数的基本性质 渊一冤奇偶性 1 定义 函数 y f渊x冤中袁如果对于函数定义域内的任意一个 x袁有 f渊 x冤 f渊x冤袁则称函数 f渊x冤为奇函数曰若 f渊 x冤 f渊x冤袁则称函数 f渊x冤为偶 函数遥 第一节 函数概念 求解函数值域或单调区间易 忽视定义域优先的原则遥 揖例题铱已知渊x 2冤2 y圆 4 1袁 求 x2 y2的取值范围遥 揖易错点铱此题学生很容易只 是利用消元的思路将问题转化为 关于 x 的函数最值求解袁 但极易 忽略 x尧y 满足渊x 2冤2 y 圆 4 1 这个 条件中的两个变量的约束关系而 造成定义域范围的扩大遥 揖解析铱由渊x 2冤2 y 圆 4 1 得渊x 2冤2 1 y 圆 4 臆1袁亦 3臆x臆 1袁从而 重要考点分布 本章考点梳理 14 第一部分 数学学科专业知识 2 判断方法 渊1冤定义法 淤求出定义域曰 于判断定义域是否关于原点对称曰 盂求 f渊 x冤并比较 f渊 x冤与 f渊x冤或 f渊 x冤与 f渊x冤的关系遥 渊2冤图象法 奇函数图形在其定义域内关于原点对称袁 偶函数图象在其定 义域内关于 y 轴对称遥 渊二冤单调性 1 定义 设 f渊x冤的定义域为 i院如果对于定义域 i 内某个区间 d 上的任 意两个自变量的值 x1袁x2袁当 x1 x2时袁都有 f渊x1冤 f渊x2冤渊f渊x1冤跃f渊x2冤冤袁 那么就说函数 f渊x冤在区间 d 上是增渊减冤函数遥 2 判断方法 渊1冤定义法 淤设 x1袁x2沂i袁且 x10 x 2 屹依2 嗓 即函数的定 义域为渊 1袁0冤胰渊0袁1冤袁定义域 关于原点对称袁在定义域下 f渊x冤 lg渊1 x圆冤 x 易证 f渊 x冤 f渊x冤袁即函 数为奇函数遥 易错提示 15 学科专业知识 窑 小学数学 知识拓展 值是多少钥 若它在区间咱圆袁垣肄冤上递增袁则 葬的取值范围是什么钥 揖答案铱葬越圆曰葬臆圆遥 解析院函数 赠越曾圆原圆葬曾垣员 图象的对称轴为直线 曾越葬袁递增区间为咱葬袁垣肄冤遥 若它的增区间是咱圆袁垣肄冤袁则 葬越圆曰若它在 区间咱圆袁垣肄冤上递增袁则区间咱圆袁垣肄冤是区间为咱葬袁垣肄冤子区间袁从 而 葬 的取值范围是 葬臆圆遥 三尧反函数和复合函数 渊一冤反函数 1 定义 一般地袁设函数 y f渊x冤渊x沂a冤的值域是 c袁根据这个函数中 x袁 y 的关系袁用 y 把 x 表示出袁得到 x f渊y冤遥 若对于 y 在 c 中的任何 一个值袁通过 x f渊y冤袁x 在 a 中都有唯一的值和它对应袁那么袁x f渊y冤就表示 y 是自变量袁x 是自变量 y 的函数袁这样的函数 x f渊y冤 渊y沂c冤叫做函数 y f渊x冤渊x沂a冤的反函数袁记作 x f 1渊y冤遥 反函数 y f 1渊x冤的定义域尧值域分别是函数 y f渊x冤的值域尧定义域遥 2 应用 直接求函数的值域困难时袁 可以通过求其反函数的定义域来 确定原函数的值域袁求反函数的步骤是这样的院 渊1冤先求出原函数的值域袁因为原函数的值域就是反函数的定 义域遥 渊函数的三要素是定义域袁值域袁对应法则袁所以先求反函数 的定义域是求反函数的第一步冤 渊2冤反解 x袁也就是用 y 来表示 x遥 渊3冤改写袁交换位置袁也就是把 x 改成 y袁把 y 改成 x遥 渊4冤写出反函数及其定义域遥 渊二冤复合函数 1 定义 设 y f渊u冤袁u g渊x冤袁当 x 在 u g渊x冤的定义域 dg中变化时袁u g渊x冤的值在 y f渊u冤的定义域 df内变化袁因此变量 x 与 y 之间通过 变量 u 形成一种函数关系袁记为院y f渊u冤 f g渊x冤 称为复合函数袁其 中 x 称为自变量袁u 为中间变量袁y 为因变量渊即函数冤遥 2 定义域 若函数 y f渊u冤的定义域是 b袁u g渊x冤的定义域是 a袁则复合函 数 y f渊g渊x冤冤的定义域是 d x x沂a 且 g渊x冤沂b 袁即综合考虑各部 分的 x 的取值范围袁取他们的交集遥 若函数 y f渊kx b冤存在反函 数袁则其反函数为 y 1 k f 1渊x冤 b 袁并不是 y f 1渊kx b冤袁而函数 y f 1渊kx b冤是 y 1 k f渊x冤 b 的反 函数遥 求反函数或反函数值时错位遥 揖例题铱已知函数 f渊x冤 1 2x 1 x 袁 函数 y g渊x冤的图象与 y f 1渊x 1冤 的图象关于直线 y x 对称袁则 y g渊x冤的解析式为渊冤遥 a g渊x冤 3 2x x b g渊x冤 2 x 1 x c g渊x冤 1 x 2 x d g渊x冤 3 2 x 揖易错点铱解答本题时易由 y g渊x冤与 y f 1渊x 1冤互为反函 数袁而认为 y f 1渊x 1冤的反函数 是 y f渊x 1冤袁则 y g渊x冤 f渊x 1冤 1 2渊x 1冤 1 渊x 1冤 3 2x x 而错选 a遥 揖解析铱由f渊x冤 1 2x 1 x 得f 1渊x冤 1 x 2 x 袁从而y f 1渊x 1冤 1 渊x 1冤 2 渊x 1冤 2 x 1 x 袁再求 y f 1渊x 1冤的反函数 得 g渊x冤 2 x 1 x 遥 故正确答案为 b遥 易错提示 16 第一部分 数学学科专业知识 第二节 基本初等函数 一尧一次函数 y kx b渊k屹0袁k尧b 均为常数冤袁叫做 y 是 x 的一次函数袁其图象 是一条直线袁与 x 轴尧y 轴的两交点为渊 b k 袁0冤和渊0袁b冤遥 当 k跃0 时袁y 的变化值随 x 的变化值增大而增大袁 随 x 的变化 值减小而减小曰当 k约0 时袁y 的变化值随 x 的变化值增大而减小袁随 x 的变化值减小而增大遥 当 b 0 时袁y kx渊k屹0冤称为正比例函数袁常数 k 称为比例系数袁 其图象过坐标原点遥 二尧二次函数 1 二次函数的解析式的一般形式是 赠越葬曾圆垣遭曾垣糟渊葬屹园冤袁其图象 的形状是抛物线遥 该抛物线有一条对称轴 曾越原 遭 圆葬 遥 当 葬跃园 时袁抛物 线的开口向上袁函数有最小值 赠越 源葬糟原遭圆 源葬 袁取得最值对应的 曾越原 遭 圆葬 曰 当 葬约园 时袁抛物线的开口向下袁函数有最大值 赠越 源葬糟原遭圆 源葬 袁取得最值 对应的 曾越原 遭 圆葬 袁所以渊原 遭 圆葬 袁 源葬糟原遭圆 源葬 冤为抛物线的顶点坐标遥 二次 函数的平移要先配方了再移动袁平移遵从野左加右减尧上加下减冶遥 2 几种特殊的二次函数的图象特征如下院 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 y ax2 当 a跃0 时开口向上 当 a约0 时开口向下 x 0渊y 轴冤渊0袁0冤 y ax2 kx 0渊y 轴冤渊0袁k冤 y a渊x h冤2x h渊h袁0冤 y a渊x h冤2 kx h渊h袁k冤 y ax2 bx c x b 2a 渊 b 2a 袁 4ac b2 4a 冤 3 抛物线 y ax2 bx c渊a屹0冤中 a袁b袁c 的作用 淤a决定开口方向及开口大小袁这与 y ax2中的 a 完全一样曰 于b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置遥 由于抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x 遭 圆葬 袁故院 当 b 0 时袁对称轴为 y 轴曰 当 遭 葬 0渊即 a尧b 同号冤时袁对称轴在 y 轴左侧曰 一次函数 y x 2 的图象不经 过渊冤遥 粤援第一象限月援第二象限 悦援第三象限阅援第四象限 揖答案铱阅遥 解析院由函数图象 知 y x 2 经过一尧二尧三象限遥 考题再现 17 学科专业知识 窑 小学数学 知识拓展 求抛物线的顶点尧对称轴的 方法院 淤公式法院y越ax2 bx c a渊x b 2a 冤2 4ac b2 4a 袁顶点是渊 b 2a 袁 4ac b2 4a 冤袁对称轴是直线x b 2a 遥 于配方法院运用配方的方法袁 将抛物线的解析式化为y a渊x h冤2 k 的形式袁得到顶点为渊h袁k冤袁对 称轴是直线 x h遥 盂运用抛物线的对称性院由 于抛物线是以对称轴为轴的轴 对称图形袁对称轴与抛物线的交 点是顶点遥 若已知抛物线上两点 渊x1袁y冤尧渊x2袁y冤袁 则对称轴方程可 以表示为院x x1 x2 2 遥 当 遭 葬 0渊即 a尧b 异号冤时袁对称轴在 y 轴右侧遥 盂c 的大小决定抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴交点的位置遥 当 x 0 时袁y c袁亦 抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点 渊0袁c冤院 当 c 0袁抛物线经过原点曰 当 c跃0袁与 y 轴交于正半轴曰 当 c约0袁与 y 轴交于负半轴遥 以上三点中袁当结论和条件互换时袁仍成立遥 如抛物线的对称 轴在 y轴右侧袁则 遭 葬 0冤圳抛物线与 x 轴相交曰 于有一个交点渊顶点在 x 轴上冤圳渊驻 0冤圳抛物线与 x 轴相切曰 盂没有交点圳渊驻10 a10 a0 时袁y 随 x 的增大而增 大袁则 k 的取值范围是渊冤遥 a k3d k逸3 揖答案铱a遥 解析院当 x 0 时袁y 随 x 的增大而增大袁则反比例系 数应小于 0袁则 k 3 0袁所以 k0 或 a臆原8b a 0 c 0约a约 8 31 d 8 31 臆a臆 72 23 揖答案铱d遥 解析院方程 2a 窑 怨泽蚤灶曾垣源葬 窑 猿泽蚤灶曾垣葬原愿越园 有解袁等价于求 葬越 愿 圆 窑 怨泽蚤灶曾垣源 窑 猿泽蚤灶曾垣员 的值域遥 疫猿泽蚤灶曾沂咱 员 猿 袁猿暂袁亦圆 窑 怨泽蚤灶曾垣源 窑 猿泽蚤灶曾垣员沂咱 圆猿 怨 袁 猿员暂袁则 葬 的取值范围为 8 31 臆a臆 72 23 遥 揖例题 4铱若定义在渊原1袁0冤内的函数 f渊x冤 log2a渊x 1冤跃0袁则 a 的 取值范围是渊冤遥 a 渊0袁 1 2 冤b 0袁 1 2 蓸蓡 c 渊 1 2 袁 肄冤d 渊0袁 肄冤 揖答案铱a遥 解析院当 x沂渊原1袁0冤时袁x 1沂渊0袁1冤袁而函数 f渊x冤 log2a渊x 1冤跃0袁故 0约2a约1 即 0约a约 1 2 遥 揖例题 5铱是否存在实数 a 使函数 f渊x冤 loga渊ax2 x 冤在 2袁4 上 是增函数钥 若存在求出 a 的值袁若不存在袁说明理由遥 揖分析铱本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性 判断方法袁 在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制 条件而导致 a的范围扩大遥 揖解析铱函数 f渊x冤是由 渍渊x冤 ax2 x 和 y loga渍渊x冤复合而成的袁 根据复合函数的单调性的判断方法袁渊1冤当 a跃1 时袁若使 f渊x冤 loga渊ax2 x冤在 2袁4 上是增函数袁则 渍渊x冤 ax2 x 在 2袁4 上是增函数 且大于零遥 故有 1 2a 燮2 渍渊2冤 4a 2 0 扇 墒 设 设 设 设 缮设 设 设 设 解得 a跃1遥 渊2冤当 a0 扇 墒 设 设 设 设 缮设 设 设 设 不等式组无解遥 综上所述袁存在实数 a跃 1 使得函数 f渊x冤 loga渊ax2 x冤在 2袁4 上是增函数遥 在涉及指对型函数的单调 性有关问题时袁没有根据性质进 行分类讨论的意识和易忽略对 数函数的真数的限制条件遥 知识拓展 20 第一部分 数学学科专业知识 五尧幂函数 幂函数 y越x琢渊琢沂r袁琢屹1冤 琢 p q 琢约00约琢约1琢跃1 p 为奇数 q 为奇数 奇函数 p 为奇数 q 为偶数 p 为偶数 q 为奇数 偶函数 第一象 限性质 减函数增函数增函数 过定点 渊1袁1冤 渊1袁1冤 渊 1袁 1冤 y x 渊1袁1冤 渊 1袁 1冤 y x 渊1袁1冤 渊 1袁 1冤 y x 渊1袁1冤 y x 渊1袁1冤 y x 渊1袁1冤 y x 渊 1袁1冤渊1袁1冤 x y 渊 1袁1冤渊1袁1冤 y x 渊 1袁1冤渊1袁1冤 y x o o o o o o o o o 一尧角的概念的推广尧弧度制 员援任意角院角是由射线绕端点旋转而成的袁它有正角尧负角与特 殊的零角遥 圆援终边相同的角院角 琢 始边为 x 轴的正半轴袁所有与角 琢 终边 相同的角袁连同角 琢 在内袁称为终边相同的角袁记为 s越喳茁渣茁越琢垣k窑 猿远园毅袁k沂在札遥 猿援象限角院把角置于直角坐标系中袁使角的顶点与坐标原点重 合袁角的始边与轴的正半轴重合袁那么角的终边落在第几象限袁就 说这个角是第几象限角遥 例如院第二象限角的集合院s越喳琢渣k 窑 猿远园毅垣怨园毅约琢约k 窑 猿远园毅垣员愿园毅袁k沂在札遥 源援坐标轴上的角 终边在 x 轴上的角的集合院s越喳琢渣琢越k 窑 员愿园毅袁k沂在札曰 终边在 y 轴上的角的集合院s越喳琢渣琢越k 窑 员愿园毅垣怨园毅袁k沂在札曰 2010毅角所在的象限是渊冤遥 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 揖答案铱c遥 解析院疫2010毅 210毅 5伊360毅袁亦 与 2010毅角终边 相同的角是 210毅角袁它是第三象 限角遥 故选 c遥 第三节 三角函数 考题再现 21 学科专业知识 窑 小学数学 终边在坐标轴上的角的集合院s越喳琢渣琢越k窑 怨园毅袁k沂在札遥 缘援角的度量院弧度制尧角度制 员则葬凿 角院 弧长与圆半径长相等的弧所对的圆心角的大小称为 员则葬凿 角遥 弧度和角度的换算院员愿园毅越仔渊则葬凿冤 员毅越 仔 180 则葬凿抑园援园员苑源缘 则葬凿 员渊则葬凿冤越渊 180 仔 冤毅抑缘苑援猿园毅抑缘苑毅员愿忆 远援弧长和扇形面积公式 l越渣琢渣 窑 rs越 1 2 l 窑 r越 1 2 渣琢渣 窑 r2 二尧任意角的三角函数 员援任意角的三角函数的定义院设点 孕渊曾袁赠冤是角 琢 终边上一点袁 点 韵 是坐标原点袁则越渣韵孕渣越曾圆垣赠圆姨袁那么角 琢 的正弦尧余弦尧正切分 别是 泽蚤灶琢越 赠 则 袁糟燥泽琢越 曾 则 袁贼葬灶琢越 赠 曾 渊曾屹园冤遥 圆援三角函数值的符号院正弦尧余弦尧正切函数值在各象限的 符号遥 y x o sin琢 y x o cos琢 y x o tan琢 猿援三角函数线院在单位圆已o 内正弦线 酝孕越泽蚤灶琢袁余弦线 韵酝越 糟燥泽琢袁正切线 粤栽越贼葬灶琢遥 y y x x t p t p m m a aoo 琢 琢 正弦尧余弦的诱导公式院 sin渊 n仔 2 a冤 渊 1冤 n 2 sina袁渊n 为偶数冤 渊 1冤 n 1 2 cosa袁渊n 为奇数冤 扇 墒 设 设 设 设 设 缮设 设 设 设 设 cos渊 n仔 2 a冤 渊 1冤 n 2 cosa袁渊n 为偶数冤 渊 1冤 n 1 2 sina袁渊n 为奇数冤 扇 墒 设 设 设 设 设 缮设 设 设 设 设 知识拓展 22 第一部分 数学学科专业知识 y y x x t ppt mm aao o 琢 琢 三尧同角三角函数的基本关系式与诱导公式 员援同角三角函数的基本关系式 渊员冤sin2琢 cos2琢 1 渊圆冤tan琢 sin琢 cos琢 圆援诱导公式院与角野圆k仔垣琢袁原琢袁仔依琢袁仔 2 依琢袁 3仔 2 依琢冶有关的诱导 公式的记忆口诀是野奇变偶不变袁符号看象限冶遥 应用诱导公式袁重点 是野函数名称冶与野正负号冶的判断遥求任意角的三角函数值的问题袁都 可以通过诱导公式化归为锐角三角函数的求值问题袁 具体步骤为 野负角化正角冶寅野正角化锐角冶寅求值遥 四尧正弦函数尧余弦函数尧正切函数的图象与性质 函数名y sinxy cosxy tanx 图象 定义域rr喳曾渣曾屹噪仔垣仔 圆 札 值域咱原员袁员暂咱原员袁员暂r 奇偶性奇函数偶函数奇函数 周期性t越2仔t越2仔t越仔 对称轴x k仔 仔 2 x k仔不存在 最大值不存在 最小值不存在 单 调 性 咱圆噪仔原仔 圆 袁圆噪仔垣仔 圆 暂 咱圆噪仔垣仔 圆 袁圆噪仔垣猿仔 圆 暂 咱圆噪仔原仔袁圆噪仔暂 咱圆噪仔袁圆噪仔垣仔暂 增区间渊k仔 仔 2 袁k仔 仔 2 冤 不存在 增 减 x 2k仔 仔 2 ymax 1x 2k仔ymax 1 x 2k仔 仔 2 ymin 1x 2k仔 仔ymin 1 仔 o x y 仔o 仔仔 y x 仔 2 o 仔 2 x y 注院上表中 k沂z遥 23 学科专业知识 窑 小学数学 函数 y cos渊棕x 渍冤袁x沂r渊a袁 棕袁渍 为常数袁 且 a屹0袁棕跃0冤的 周期 t 2仔 棕 曰函数 y tan渊棕x 渍冤袁 x屹k仔 仔 2 袁k沂z 渊a袁棕袁渍 为常 数袁且 a屹0袁棕跃0冤的周期 t 仔 棕 遥 知识拓展 五尧函数 赠越粤泽蚤灶渊棕曾垣渍冤的图象与性质 员援图象的作法 方法一院野五点法冶 先找出确定图象形状起关键作用的五个点渊强调院这五个点应 该是使函数取得极大值尧极小值和曲线与 x 轴相交的点冤袁找出它 们的方法是作变量代换院设 载越棕曾垣渍袁由 载 取 园袁仔 圆 袁仔袁 猿仔 圆 袁圆仔 来 求出对应的值袁再用光滑曲线将它们连接起来遥 方法二院图象的初等变换 振幅变换院函数 y越sinx 纵坐标伸长渊a跃0冤 或缩短渊0约a约1冤到原来的 a 倍 函数 y asinx 周期变换院函数 y越asinx 横坐标伸长渊0约棕约1冤 或缩短渊棕跃1冤到原来的 1 棕 倍 函数 y asin棕x 向右渊渍 棕 约0冤或向左渊渍 棕 跃0冤 平移变换院函数 y越asin棕x 平移渣渍 棕 渣个单位 函数 y asin渊棕x 渍冤 一般地袁 由 赠越泽蚤灶曾 的图象通过变换得到函数 赠越粤泽蚤灶 渊棕曾垣渍冤 渊棕跃园袁粤跃园冤图象的两种常见方法袁其步骤如下院 横坐标伸长渊0约棕约1冤或 缩短渊棕跃1冤到原来的 1 棕 倍 渊员冤y越sinxy sin棕x 向左渊渍 棕 跃0冤或向右渊渍 棕 约0冤 平移渣渍 棕 渣个单位 y sin渊棕x 渍冤 纵坐标伸长渊a跃1冤 或缩短渊0约a约1冤到原来的 a 倍 y asin渊棕x 渍冤 向左渊渍跃0冤或向右渊渍约0冤 平移渣渍渣个单位 渊2冤y越sinxy sin渊x 渍冤 横坐标伸长渊0约棕约1冤 或缩短渊棕跃1冤到原来的 1 棕 倍 y sin渊棕x 渍冤 纵坐标伸长渊a跃1冤 或缩短渊0约a约1冤到原来的 a 倍 y asin渊棕x 渍冤 24 第一部分 数学学科专业知识 圆援性质院周期为 栽越 圆仔 渣棕渣 遥 揖例题铱下列四个函数中袁以 仔 为最小正周期袁且在区间渊仔 圆 袁 仔冤上为减函数的是渊冤遥 粤援赠越糟燥泽圆曾月援赠越圆渣泽蚤灶曾渣 悦援赠越渊 员 猿 冤糟燥泽曾阅援赠越原糟燥贼曾 揖答案铱b遥 解析院悦 选项周期为 圆仔袁不符合袁其他选项周期均为 仔袁图象如下院 y 渣sinx渣 y cotx y cos2x y x o 渊竖线处为仔 2 冤观察图象可得院只有 赠越圆渣泽蚤灶曾渣在指定区间上是 减函数遥 六尧和尧差尧倍尧半角公式 员援两角和与差的三角函数公式 悦渊琢依茁冤院糟燥泽渊琢依茁冤越糟燥泽琢糟燥泽茁芎泽蚤灶琢泽蚤灶茁 杂渊琢依茁冤院泽蚤灶渊琢依茁冤越泽蚤灶琢糟燥泽茁依糟燥泽琢泽蚤灶茁 栽渊琢依茁冤院tan渊琢依茁冤越 贼葬灶琢依贼葬灶茁 员芎贼葬灶琢贼葬灶茁 圆援二倍角公式 杂圆琢院泽蚤灶圆琢越圆泽蚤灶琢糟燥泽琢 悦圆琢院糟燥泽圆琢越糟燥泽圆琢原泽蚤灶圆琢越圆糟燥泽圆琢原员越员原圆泽蚤灶圆琢 栽圆琢院贼葬灶圆琢越 圆贼葬灶琢 员原贼葬灶圆琢 猿援降幂公式 泽蚤灶圆琢越 员原糟燥泽圆琢 圆 袁糟燥泽圆琢越 员垣糟燥泽圆琢 圆 源援半角公式 泽蚤灶琢 圆 越依 员原糟燥泽琢 圆姨 袁糟燥泽琢 圆 越依 员垣糟燥泽琢 圆姨 若 园约琢约 仔 圆 袁原 仔 圆 约茁约园袁糟燥泽 渊 仔 源 垣琢冤越 员 猿 袁糟燥泽 渊 仔 源 原 茁 圆 冤 越 猿姨 猿 袁则 糟燥泽渊琢垣 茁 圆 冤越渊冤遥 粤援 猿姨 猿 月援原 猿姨 猿 悦援 缘猿姨 怨 阅援原 远姨 怨 揖答案铱悦遥 解析院应用和角公 式院悦琢 依茁院糟燥泽 渊琢依茁冤越糟燥泽琢糟燥泽茁芎 泽蚤灶琢泽蚤灶茁袁 原式可以化简为 糟燥泽 渊 仔 源 垣琢冤窑 糟燥泽渊 仔 源 原 茁 圆 冤垣泽蚤灶渊 仔 源 琢冤泽蚤灶渊仔 源 原 茁 圆