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有限元作业专业： 计算数学 班级： 研1102班 姓名： 庞 娜 学号： 1107010047 2012有限元作业（春季）1求泛函的一阶变分.解：对做微小的扰动，记，其中,；实数充分小，以属于的某个邻域。由的定义得令，得 故有一阶变分为：2 设是阶对称正定矩阵，是维列向量，二次泛函（1）直接计算泛函的一阶变分和二阶变分；（2）证明以下问题和等价； 求使求线性方程组的解.解：(1)对做微小的扰动，记，其中,；由二次泛函定义得 .所以有一阶变分为：二阶变分为：.(2)若已知，由二阶变分的形式以及内积显然有，且，故泛函正定，由引理以及条件得一阶变分为零，即可以得到即为. 若已知，由二阶变分以及内积显然有，且，故泛函正定，且，故由引理的是泛函的局部极小值，即为.3设定义在容许函数类上的泛函其中函数充分光滑，及为已知常数。如果且是泛函的极值点，那么应满足什么边值问题？解：对做微小的扰动，记，其中,；由二次泛函定义得因为且是泛函的极值点，故.由变分引理及的任意性得方程以及边界条件，故应满足以下边值问题 4给出两点边值问题其中充分光滑，常数（1） 叙述并证明该边值问题的最小位能原理；（2） 叙述并证明该边值问题的虚功原理.解：设是它的一个解.任取一个函数其中.将乘以方程的两端，然后在上积分得上式应用分部积分以及得也就是说，边值问题的解满足式. 反之，如果有对任何都满足式，那么当时，它必是边值问题的解，事实上，对应用分部积分，可得利用变分法基本引理以及的任意性，可知满足方程.有以下虚功原理：若是边值问题的解，则它必然满足；反之，如果对任何都满足式，那么当时，它必是边值问题的解.为了把边值问题化为变分问题，定义如下泛函容许函数类为那么它应当是以下变分问题的解：，使得 .如果，则这个变分问题的解必定是边值问题的解.下面证明: 边值问题与变分问题在一定条件下是可以相互转化的，从而得知边值问题的解也是变分问题的解.对给以变分，函数变为，则泛函变为,有二次泛函是正定的.事实上，常数，故即至少是半正定的.下面再证明充要条件时， 先证明必要性. 时，必有 在上为常数.为使，必有在端点的邻域上为零，故在上为零.充分性是显然的.当是正定时，一阶变分为零对一阶变分分部积分得等价于以下边值问题所以有以下最小位能原理：若是边值问题的解，则它必满足；反之，如果对任何都满足式，那么当时，它必是边值问题的解.5给出两点边值问题 其中充分光滑，常数.（1） 叙述边值问题的意义广义解、意义广义解的定义；（2） 证明边值问题意义广义解存在而且唯一.解：记，则容许函数类，且记引入双线性泛函 和线性泛函 记 意义的广义解：求，使得 .意义广义解：求，使得 . (2)利用定理证明它的存在唯一性.显然M为空间，首先，有不等式 但中的范数，以及以下定理：定理 （空间的嵌入定理）设是中的有界区域，边界充分光滑.如果整数，那么，当时，几乎处处等于一个在上连续的函数，而且其中常数只于区域有关.当时，成立.故有 即是在上有界的.的对称性是显然的，此外，记应用空间的嵌入定理即在上是有界的.至于它的正定性，需要以下引理.引理 （第一不等式）设是有界区域，则存在常数，使得有故对于上有即是正定的，所以根据定理得该边值问题意义广义解存在而且唯一.6对椭圆型方程的第一边值问题 建立相应的最小位能原理和虚功原理.其中系数充分光滑.解：记，设是它的一个解.任取一个函数其中.将乘以方程的两端，然后在上积分对上式前两项利用公式，由边界条件得代人前一式，得也就是说，边值问题的解满足式. 反之，如果有对任何都满足式，那么当时，它必是边值问题的解，事实上，对应用公式，可得 利用变分法基本引理，可知满足方程，至于边界条件，因是显然满足的.有以下虚功原理：若是边值问题的解，则它必然满足；反之，如果对任何都满足式，那么当时，它必是边值问题的解. 为了把边值问题化为变分问题，定义如下泛函容许函数类为那么它应当是以下变分问题的解：，使得 . 如果，则这个变分问题的解必定是边值问题的解.下面证明: 边值问题与变分问题在一定条件下是可以相互转化的，从而得知边值问题的解也是变分问题的解. 对给以变分，函数变为，为使,则应使在上为零.则泛函变为， 二次泛函是正定的.事实上，故即至少是半正定的.下面再证明充要条件时， 先证明必要性. 时，必有 在上为常数.在上，从而在上为零；充分性是显然的.当是正定时，一阶变分为零对一阶变分应用公式得等价于以下边值问题所以有以下最小位能原理：若是边值问题的解，则它必满足；反之，如果对任何都满足式，那么当时，它必是边值问题的解.7 设轴对称的三维定常温度场满足如下的边值问题： 其中区域函数和f充分光滑.试建立求广义解的变分问题.解：记，设是它的一个解.任取一个函数.将乘以方程的两端，然后在上积分对上式前两项利用公式，得代人前一式，得也就是说，边值问题的解满足式. 反之，如果有对任何都满足式，那么当时，它必是边值问题的解，事实上，对应用公式，可得以下变分问题利用变分法基本引理，可知满足边值问题.由以上变分问题引入以下泛函：记，则容许函数类引入双线性泛函 和线性泛函 意义广义变分问题为：求，使得8.设定义在区域上.给出的二阶广义导数和阶广义导数的定义.解:设，如果存在使得则分别称为关于的二阶广义偏导数，记为设，如果存在，使得则分别称为关于的阶广义导数，记.9.证明是空间.证明：设是中的基本列.即，存在整数，当时，由得 .从而即都是中的基本列。由于的完备性，故存在函数使得当时下面证明为的广义导数，由于在上式中令利用中内积的连续性，得 所以，也就是存在使得故是完备的，即是空间.10.设且则为的广义导数.解：当时，在区间端点邻域内的函数值及各阶导数恒为零，故得上式右端第一项为零，即由题目中第一式知，为的广义导数.11设为的广义导数.如果f 的二阶广义导数存在，则，即广义导数与求导次序无关.解: 当时，在边界附近的函数值及各阶导数恒为零，故得 由于，所以的二阶偏导数和与次序无关，有即得到 ，其中，即得到，即广义导数与求导次序无关.12考虑两点边值问题 （12-1）其中.(1) 用等距结点线性元推导出有限元方程.(2) 仍然用等距结点，但用中心差商代替导数，导出差分方程.(3) 试比较上述有限元方程和差分方程.解：（1）设空间 （12-2）任取，用它乘以方程（12-1）的两边，并在区间上积分： 对左端分部积分， 利用，左端第一项为 ，代入前式得 令， （12-3）得到变分方程: 求，使得 （12-4）下面构造的有限维子空间，使得 子空间的形成按以下步骤进行：1） 对区间进行等距剖分： 其中2） 构造基函数（这里构造简单的山形函数） ， 易知 i），由此可证得是线性无关的。 ii ) 说明假设在处u(x)的值为（已知），则在中的近似解为 (12-5)从而得到近似变分方程：求，使得 , (12-6)将（9-5）代入上式并