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函数 极限 连续一. 填空题1设 , 则a = _.解. 可得 = , 所以 a = 2.2. =_.解. 所以 0, b 0解. = 4. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 解. , 所以x = 0为第一类间断点.(2) 解. 显然 , 所以x = 1为第一类间断点;, 所以x = 1为第一类间断点.(3) 解. f(+0) =sin1, f(0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点; 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; 不存在, 而 ,所以x = 0为第一类可去间断点; , (k = 1, 2, ) 所以x = 为第二类无穷间断点.5. 设 , 且x = 0 是f(x)的可去间断点. 求a, b.解. x = 0 是f(x)的可去间断点, 要求 存在. 所以 . 所以 0 = = 所以a = 1. = 上式极限存在, 必须 . 6. 设 , b 0, 求a, b的值.解. 上式极限存在, 必须a = (否则极限一定为无穷). 所以 = . 所以 .7. 讨论函数 在x = 0处的连续性.解. 当 时不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当 时, 所以 时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳跃间断点.8. 设f(x)在a, b上连续, 且a x1 x2 xn b, ci (i = 1, 2, 3, , n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个x, 使 .证明: 令M = , m = . 不妨假定 所以 m M所以存在x( a x1 x xn b), 使得 9. 设f(x)在a, b上连续, 且f(a) b, 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: 假设F(x) = f(x)x, 则F(a) = f(a)a 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.10. 设f(x)在0, 1上连续, 且0 f(x) 1, 试证在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: (反证法) 反设 . 所以 恒大于0或恒小于0. 不妨设 . 令 , 则 . 因此 . 于是 , 矛盾. 所以在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.11. 设f(x), g(x)在a, b上连续, 且f(a) g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = g(x).证明: 假设F(x) = f(x)g(x), 则F(a) = f(a)g(a) 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.12. 证明方程x53x2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.证明: 令F(x) = x53x2, 则F(1) =4 0所以 在(1, 2)内至少有一个x, 满足F(x) = 0.13. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且 , 求 及 .解. . 所以 . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以 在x = 0连续. 所以f(0) = 3. 因为 , 所以 , 所以 = 由 , 将f(x)泰勒展开, 得 , 所以 , 于是.(本题为2005年教材中的习题, 2006年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)倒数与微分一. 填空题(理工类)1. , 则 = _.解. , 假设 , 则 , 所以 2. 设 , 则 _.解. , 3. 设函数y = y(x)由方程 确定, 则 _.解. , 所以 4. 已知f(x) =f(x), 且 , 则 _.解. 由f(x) =f(x)得 , 所以 所以 5. 设f(x)可导, 则 _.解. = + = 6. 设 , 则k = _.解. , 所以 所以 7. 已知 , 则 _.解. , 所以 . 令x2 = 2, 所以 8. 设f为可导函数, , 则 _.解. 9. 设y = f(x)由方程 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_.解. 上式二边求导 . 所以切线斜率 . 法线斜率为 , 法线方程为 , 即 x2y + 2 = 0.二. 单项选择题(理工类)1. 设f(x)可导, F(x) = f(x)(1+|sin x|), 则f(0) = 0是F(x)在x = 0处可导的(a) 充分必要条件 (b) 充分但非必要条件 (c) 必要但非充分条件(d) 既非充分又非必要条件解. 必要性:存在, 所以 = , 于是= = = = = = 所以 , 2f(0) = 0, f(0) = 0充分性:已知f(0) = 0, 所以= = = = = = = = 所以 存在. (a)是答案.2. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且 , 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a) (b) (c) (d) 解. , 假设 = , 所以 = , 按数学归纳法 = 对一切正整数成立. (a)是答案.3. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且 b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且 a(c) f(x)在x = 1处可导, 且 b (d) f(x)在x = 1处可导, 且 ab解. 在f(1 + x) = af(x)中代入 = , 所以. (d)是答案注: 因为没有假设 可导, 不能对于 二边求导.4. 设 , 则使 存在的最高阶导数n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. . 所以n = 2, (c)是答案.5. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + Dx时, 记Dy为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于(a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) 解. 由微分定义Dy = dy + o(Dx), 所以 . (b)是答案.6. 设 在x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以 , 所以b = 0. , , 所以 0 = a. (c)是答案.7. 设f(0) = 0, 则f(x)在x = 0处可导的充要条件为(a) h)存在. (b) 存在.(c) h)存在. (d) 存在.解. 由 存在可推出(a)中的极限值为 , (b)中的极限值为 - , (d)中的极限值为 , 而(c)中的极限为: ;反之(a) 及(c)中的极限值存在, 不一定 存在, 举反例如下: y = |x|, 不存在, (a)、(c)二表达式的极限都存在 排除(a)及(c). (d)中的极限存在, 不一定 存在, 举反例如下: , 排除(d). 所以(b)是答案. 由(b)推出 存在证明如下: = = 所以 存在.8. 设函数f(x)在(, +)上可导, 则(a) 当 时, 必有 (b) 当 时, 必有 (c) 当 时, 必有 (d) 当 时, 必有 解. (a)不正确. 反例如下: y = x; (b)不正确. 反例如下: ; (c)不正确. 反例如下: ; (d)是答案. 证明如下: 因为 , 所以对于充分大的x, 单增. 如果 , 则证明结束, 否则 单增有上界, 则 存在(k为有限数). 任取x, 在区间x, x + 1上用拉格朗日定理 (x x 0且 . (d) f(a) 0, , |f(x)| = f(x), 在x = 0可导. 排除(c); (d) 反例: , 取a = 0. 排除(d); 所以(b)是答案. 对于(b)证明如下: 在(b)的条件下证明 不存在. 不妨假设 . . 所以存在d, 当x (ad, a + d)时 . 所以当x a时, f(x) 0. 于是 . 当x a时f(x) 0. 于是 . 所以 不存在.三. 计算题(理工类)1. 解. 2. 已知f(u)可导, 解. = 3. 设y为x的函数是由方程 确定的, 求 .解. , 所以 4. 已知 , 求 .解. , 5. 设 , 求 解. , 6. 设函数f(x)二阶可导, , 且 , 求 , .解. , 所以 =3. 所以 7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组 确定. 求该曲线在t = 1处的曲率.解. . 所以 所以 . 所以 . 在t = 1的曲率为 四. 已知 , 其中g(x)有二阶连续导数, 且g(0) = 1(1) 确定a 的值, 使f(x)在x = 0点连续; (2) 求 .解. (1) f(x)在x = 0点连续, 所以 , 所以 , 所以g(0) = cos 0 = 1(这说明条件g(0) = 1是多余的). 所以 = (2) 方法1: = = = (0 x 0)解. 令 = 5. 解. 令 = = = = 6. 解. 令 = 三. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. 令 , = 四. 求下列不定积分:1. 解. = = 2. 解. 五. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. = 3. 解. 4. 解. 六. 求下列不定积分:1. 解. = = = = = 2. 解. = 3. 解. 七. 设 , 求 .解. 考虑连续性, 所以 c =1+ c1, c1 = 1 + c 八. 设 , (a, b为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令 , , 所以 = 九. 设当x 0时, 连续, 求 .解. = = + = +c.十. 设 , 求f(x).解.令 , 所以 所以 十一. 求下列不定积分:1. 解. 令 = 2. 解. 令 = 3. 解. + = = 4. (a 0)解. = = = = = = 十二. 求下列不定积分:1. 解. = 2. 解. = = = 一若f(x)在a，b上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数F(x), 均有 , 则f(x) 0.证明: 假设f(x) 0, a x 0. 因为f(x)在a，b上连续, 所以存在d 0, 使得在xd, x + d上f(x) 0. 令m = . 按以下方法定义a，b上F(x): 在xd, x + d上F(x) = , 其它地方F(x) = 0. 所以 .和 矛盾. 所以f(x) 0.二. 设l为任意实数, 证明: = .证明: 先证: = 令 t = , 所以 = 于是= 所以 = .所以 同理 .三已知f(x)在0，1上连续, 对任意x, y都有|f(x)f(y)| 0, (0 t 0, 证明: 对于满足0 a b 1的任何 a, b, 有 证明: 令 (x a), ., (这是因为t a, x a, 且f(x)单减).所以 , 立即得到 六. 设f(x)在a, b上二阶可导, 且 0, 证明: 证明: x, ta, b, 令 , 所以 二边积分 = .七. 设f(x)在0, 1上连续, 且单调不增, 证明: 任给a (0, 1), 有 证明: 方法一: 令 (或令 ) , 所以F(x)单增; 又因为F(0) = 0, 所以F(1) F(0) = 0. 即 , 即 方法二: 由积分中值定理, 存在x0, a, 使 ;由积分中值定理, 存在ha, 1, 使 因为 .所以 八. 设f(x)在a, b上具有二阶连续导数, 且 , 证明: 在(a, b)内存在一点x, 使 证明: 对于函数 ，用泰勒公式展开： t, x a, b = (1)(1)中令x = a, t = b, 得到 (2)(1)中令x = b, t = a, 得到 (3)(3)(2)得到 于是 = 注: 因为需要证明的等式中包含 , 其中二阶导数相应于(ba)的三次幂, 所以将 泰勒展开; 若导数的阶数和幂指数相同, 一般直接将f(x)泰勒展开.九. 设f连续, 证明: 证明: = 所以 2 即 十. 设f(x)在a, b上连续, 在a, b内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证: , (a x b)证明: , 所以 , 即 ;即 所以 即 , (a x 0因为f(0) = f(1) = 0$x0 (0,1)使 f(x0) = (f(x)所以 （1）在（0，x0）上用拉格朗日定理 在（x0, 1）上用拉格朗日定理 所以（因为 ）所以 由（1）得十二设f(x)在a, b上连续, 且f(x) 0,则 证明: 将lnx在x0用台劳公式展开 （1）令 x = f（t） 代入（1）将上式两边取 ，最后一项为0，得十三. 设f(x)在0, 1上有一阶连续导数, 且f(1)f(0) = 1, 试证: 证明: 十四. 设函数f(x)在0, 2上连续, 且 = 0, = a 0. 证明: $ x 0, 2, 使|f(x)| a.解. 因为f(x)在0, 2上连续, 所以|f(x)|在0, 2上连续, 所以$ x 0, 2, 取x使|f(x)| = max |f(x)| (0 x 2)使|f(x)| |f(x)|. 所以 一. 计算下列广义积分:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解. (1) (2) (3) 因为 , 所以 积分收敛.所以=2 (4) (5) (6) 微分中值定理与泰勒公式一. 设函数f(x)在闭区间0, 1上可微, 对于0, 1上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且 , 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.证明: 由条件知0 f(x) 0, F(1) 0, 所以存在x (0, 1), 使F(x) = 0. 假设存在x1, x2 (0, 1), 不妨假设x2 x1, 满足f(x1) = x1, f(x2) = x2. 于是 x1x2 = f(x1)f(x2) = . (x2 h x1). 所以 , 矛盾.二. 设函数f(x)在0, 1上连续, (0, 1)内可导, 且 . 证明: 在(0, 1)内存在一个x, 使 .证明: , 其中x1满足 .由罗尔定理, 存在x, 满足0 x x1, 且 .三设函数f(x)在1, 2上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个x, 使 .证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在x1, 1 x1 2, 满足 . 所以 .所以存在x, 满足1 x 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个x, 使 .证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在0, x上使用柯西定理 , x (0, x)所以 , 即 五. 设f(x)在a, b上可导, 且ab 0, 试证: 存在一个x (a, b), 使 证明: 不妨假设a 0, b 0. 令 . 在a, b上使用拉格朗日定理 六. 设函数f(x), g(x), h(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个x (a, b), 使 证明: 令 , 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个x (a, b), 使 七. 设函数f(x)在0, 1上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个x (0, 1), 使 证明: ( , 二边积分可得 , 所以 )令 . 由f(0) = f(1) = 0知存在h (0, 1), . 所以F(h) = F(1) = 0, 所以存在 x (h, 1), . 立即可得 八. 设f(x)在x1, x2上二阶可导, 且0 x1 0, 证明: 存在一个x (x1, x2)或(x2, x1), 使 证明: 不妨假设0 x1 0, y 0)所围成之区域.证明: 令u = xy, y = vx. 即 , . . 所以 七. 求证: 证明: 令 , . . 所以 = 八. 设f(t)是半径为t的圆周长, 试证: 证明: 左 = =右九. 设p(x)是a, b上的非负连续函数, f(x), g(x)在a, b上连续且单调递增, 证明: 证明: 令 F(0) = 0, 且 + = 上面不等式成立是由于p(x)是a, b上的非负连续函数, f(x), g(x)在a, b上连续且单调递增. 所以F(x)单减. 于是 十. 设m, n均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明: 证明: 区域 D既对x轴对称, 又对y轴对称.当m为奇数时 为对于x的奇函数, 所以二重积分为0;当n为奇数时 为对于y的奇函数, 所以二重积分为0.向量填空题1. 设 , 则k = _时, a1, a2, a3, a4线性相关.解. 考察行列式 = 13k +5 = 0. 2. 设 , 则t = _时, a1, a2, a3, a4线性相关.解. 考察行列式 . 所以对任何t, a1, a2, a3, a4线性相关. 3. 当k = _时, 向量b = (1, k, 5)能由向量 线性表示.解. 考察行列式 得k =8. 当k =8时, 三个向量的行列式为0, 于是 线性相关. 显然 线性无关, 所以 可用 线性表示.4. 已知 , 则秩(a1, a2, a3, a4) = _.解. 将a1, a2, a3, a4表示成矩阵 . 所以 r (a1, a2, a3, a4) = 35. 设 , 则秩(A) = _.解. 所以 r (A) = 3.6. 已知 矩阵A = ab, 则秩(A) = _.解. A = ab = 所以 r (A) = 1. 7. 已知向量 , 且秩(a1, a2, a3, a4) = 2, 则t = _.解. A = (a1, a2, a3, a4) 所以当t = 7时, r (A) = 2.向量单项选择题1. 设向量组a1, a2, a3线性无关, 则下列向量组线性相关的是(A) a1 + a2, a2 + a3, a3 + a1 (B) a1, a1 + a2, a1+ a2 + a3(C) a1a2, a2a3, a3a1 (D) a1 + a2, 2a2 + a3, 3a3 + a1解. 由 得 因为向量组a1, a2, a3线性无关, 所以得关于 的方程组 的系数行列式为 . 所以 有非零解, 所以a1a2, a2a3, a3a1线性相关. (C)是答案.2. 设矩阵Amn的秩为R(A) = m n, Em为m阶单位矩阵, 下列结论正确的是(A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 若矩阵B满足BA = 0, 则B = 0 (D) A通过行初等变换, 必可以化为(Em, 0)的形式解. (A), (B)都错在“任意”; (D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A变成(Em, 0)的形式; (C)是正确答案. 理由如下:因为 BA = 0, 所以 0 . 所以 = 0. 于是B = 0.3. 设向量组 (I): ;设向量组 (II): , 则(A) (I)相关(II)相关 (B) (I)无关(II)无关(C) (II)无关(I)无关 (B) (I)无关 (II)无关解. 由定理: 若原向量组线性无关, 则由原向量组加长后的向量组也线性无关. 所以(B)是答案.4. 设b, a1, a2线性相关, b, a2, a3线性无关, 则(A) a1, a2, a3线性相关 (B) a1, a2, a3线性无关(C) a1可用b, a2, a3线性表示 (D) b可用a1, a2 线性表示解. 因为b, a1, a2线性相关, 所以b, a1, a2, a3线性相关. 又因为b, a2, a3线性无关, 所以a1可用b, a2, a3线性表示. (C)是答案. 5. 设A, B是n阶方阵, 且秩(A) = 秩(B), 则(A) 秩(AB) = 0 (B) 秩(A + B) = 2秩(A) (C) 秩(AB) = 2秩(A) (D) 秩(A + B) 秩(A) + 秩(B)解. (A) 取 且|A| 0, |B| 0则AB 0, 则r(AB) 0. 排除(A);(B) 取A =B 0, 则秩(A + B) 2秩(A); (C) 取A = B 0, 则秩(AB) 2秩(A). 有如下定理: 秩(A + B) 秩(A) + 秩(B). 所以(D)是答案.向量证明计算题1. 设有三维向量 , , , 问k取何值时i. b可由a1, a2, a3线性表示, 且表达式唯一; ii. b可由a1, a2, a3线性表示, 但表达式不唯一;iii. b不能由a1, a2, a3线性表示.解. i. 时, a1, a2, a3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以b可由a1, a2, a3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一;ii. 当k = 1 时. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所以b可由a1, a2, a3线性表示, 但表示不惟一;iii. 当 时 .系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以b不能由a1, a2, a3线性表示.2. 设向量组a1, a2, a3线性相关, 向量组a2, a3, a4线性无关, 问i. a1能否由a2, a3线性表出? 证明你的结论;ii. a4能否由a1, a2, a3线性表出? 证明你的结论解. i. a1不一定能由a2, a3线性表出. 反例: , , . 向量组a1, a2, a3线性相关, 但a1不能由a2, a3线性表出;ii. a4不一定能由a1, a2, a3线性表出. 反例: , , , . a1, a2, a3线性相关, a2, a3, a4线性无关, a4不能由a1, a2, a3线性表出.3. 已知m个向量a1, a2, am线性相关, 但其中任意m1个都线性无关, 证明:i. 如果存在等式 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0则这些系数k1, k2, km或者全为零, 或者全不为零;ii. 如果存在两个等式 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0 l1a1 + l2a2 + + lmam = 0其中l1 0, 则 .解. i. 假设k1a1 + k2a2 + + kmam = 0, 如果某个ki = 0. 则 k1a1 + ki1ai1 + ki+1ai+1 + kmam = 0因为任意m1个都线性无关, 所以k1, k2, ki1, ki+1, , km都等于0, 即这些系数k1, k2, km或者全为零, 或者全不为零;ii. 因为l1 0, 所以l1, l2, lm全不为零. 所以 .代入第一式得: 即 所以 , , 即 4. 设向量组a1, a2, a3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件aa1a2, ba2a3, ca3a1线性相关.解. 假设 得 因为 a1, a2, a3线性无关, 得方程组 当行列式 时, 有非零解. 所以 时, aa1a2, ba2a3, ca3a1线性相关.5. 设A是n阶矩阵, 若存在正整数k, 使线性方程组Akx = 0有解向量a, 且Ak1a 0, 证明: 向量组a, Aa, , Ak1a是线性无关的.解. 假设 . 二边乘以 得 , 由 . 二边乘以 得 , 最后可得 , 所以向量组a, Aa, , Ak1a是线性无关.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. .ii. 解. 解. i. 所以 是极大线性无关组. 由 得方程组 解得 , 所以 ii. 所以 是极大线性无关组. 由 得方程组解得 , , 所以 由 得方程组 解得 , , 所以 7. 已知三阶矩阵 , 讨论秩(A)的情形.解. i. , ii. , iii. , iv. , iv. 所以, 当 时, ; 当 时, 8. 设三阶矩阵A满足A2 = E(E为单位矩阵), 但A E, 试证明: (秩(AE)1)(秩(A + E)1) = 0解. 由第十一题知 又因为 A E, 所以 , 所以 , 中有一个为1所以 (秩(AE)1)(秩(A + E)1) = 09. 设A为n阶方阵, 且A2 = A, 证明: 若A的秩为r, 则AE的秩为nr, 其中E是n阶单位矩阵.解. 因为 A2 = A, 所以 所以 所以 又因为 所以 . 所以