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1.3.7 在标准状态下给一气球充氢气。此气球的体积可由外界压强的变化而改变。充气完毕时该气球的体积为，而球皮体积可予忽略。（1）若贮氢的气罐的体积为，罐中氢气压强为1.25Mpa，且气罐与大气处于热平衡，在充气过程中的温度变化可以不计，试问要给上述气球充气需这样的贮气罐多少个？（2）若球皮重量为12.8kg，而某一高处的大气温度仍为，试问气球上升到该高度还能悬挂多重物品而不至坠下。 【分析】（1）按照给气体充气前后所充氢气的物质的量不变这一点列出方程。（2）由于此气球的体积可由外界压强的变化而改变，因而气球上升过程中可以自由膨胀，始终维持气球内外压强相等。它所受到的浮力等于排开同体积空气的质量。列出气球的力平衡方程。 【解】（1）设 储气罐总共需要n个，则根据等温条件下的理想气体定律，可以得到： （2）气体始终维持气球内外压强相等。它受到的浮力等于推开的同体积空气所受到的重力。 其中MmA为空气的摩尔质量，设氢气的质量为mH,则有 设气球的球皮质量为m皮，为不使气球坠下，可挂的重物质量为 1.3.10一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强p的空气。先对管子加热，使它形成从开口端温度1000K均匀变为闭端200K的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为100K，试问管中最后的压强是多大？分析：开始时长管中气体有温度分布，所以它不处于平衡态。但是整体温度降为100K以后,长管中气体处于平衡态了。关键是求出开始时长管中气体的总的分子数，而它是和整体温度降为100K以后的分子数相等的。在计算分子数时要先求出长管中的温度分布，然后利用p=nkT公式。解：因为管子是一端开口的，所以。显然，管子中气体的温度分布应该是（1）由于各处温度不同，因而各处气体分子数密度不同。考虑xx+dx一段气体,它的分子数密度为n(x),设管子的横截面积为S,考虑到p=nkT,则这一小段中的气体分子数为管子中气体总分子数为利用（1）式可得管中气体最后的压强是p1（）,温度是T，.则由上面两式相等,最后可以计算出即：管中气体最后的压强为。 1.6.10 一粒陨石微粒与宇宙飞船相撞，在宇宙飞船上刺出了一个直径为的小孔，若在宇宙飞船内的空气仍维持在一个大气压及室温的条件，试问空气分子漏出的速率是多少？【分析】宇宙飞船内气体分子穿过小孔逸出的分子数就等于该小孔封闭时碰到该小孔上的分子数。由于宇宙空间中的压强非常非常小，所以从宇宙空间穿过小孔进入宇宙飞船的分子数不必考虑。【解】利用单位时间碰到单位面积器壁上的平均气体分子数公式，有当然，也可以用计算，则结果为 2. 5. 1 一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K，压强为的氩气，氩的摩尔质量为0.040 kg。若器壁上有一面积为1.010-3 2的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数的 ？分析： 这是一个泻流问题, 可以应用气体分子碰壁数 来解。应该注意, 容器内的分子数 (或者说容器内的分子数密度) 是随时间而减少的, 所以 是个变量。或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建立微分方程。考虑在 到 时间内, 容器内的分子数由于泻流从 变化为 , 其中 就是在 时间内泻流流出去的分子数, 列出 和 之间的关系, 这就是解本题所需要的微分方程。经过分离变量, 积分, 就可以得到所需要的结果。解： 在 时间内在面积为 的小孔中流出的分子数为 其中 为气体分子数密度。考虑到气体的流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。 现在在上式两边都除以容器体积 , 并且在 0到 之间进行积分 现在要求容器中的原子数最后减少到 1 / e , 即 即：经过100 s容器内原子数减为原来的 。.261 试证若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。分析： 在离地高为 的范围内的球壳体积为 （1） 说明：这是因为地球大气标高只有 8 km, 它比地球半径 RE 要小得多, 所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。 当然, 我们也可以如下更清楚地求出：忽略dz 的二次方和三次方项, 同样有 解： 若设在海平面处的气体分子数密度 为n (0) , 在球壳体积dV( z ) 范围内的分子数 令 称为大气标高, 设在海平面处的气体分子数密度为，所有大气的总分子数为，则： （2）现在来估计 的数量级。设地球大气为平均温度 T = 273 K 的等温大气，而且 （3）利用（3）式可以看到,（2）式的方括号中的第二项比第一项小3个数量级, 第三项又比第二项小3个数量级。我们完全可以忽略其中的第二项和第三项。 显然，用近似方法进行计算要简便得多。这时 其中 为大气标高。由此看来，把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。 2.B.4 设想在远离地球的太空中有一宇宙飞船，飞船内有一真空实验舱。内中有一质量为M的试管，它被质量为m的隔板分隔为体积相等的两部分。被隔板封闭的那部分空间中有温度为T，摩尔质量为Mm,物质的量为的单原子理想气体。隔板被放开后，隔板无摩擦的向上移动。在隔板离开试管顶端后气体才开始从试管中逸出。设试管开始运动时试管静止。试求试管的最终速度。设气体、试管、隔板三者之间的热量交换可以忽略，在隔板离开试管前，气体经历的是准静态过程。【分析】由于试管外部为真空，开始时整个系统都是静止的，隔板被放开后气体将膨胀，但整个过程都是绝热的准静态过程，我们可以利用绝热过程方程来解这个问题。在绝热膨胀过程中，气体内能减少，温度降低。但是由于不存在重力，气体不对整个系统以外的部分做功，所减少的内能全部转化为隔板和试管的动能以及气体的整体定向运动动能，由于整个系统的总动量守恒，所以隔板向上运动的动量等于试管以及所装气体的向下运动的动量，这样就可以确定隔板离开试管时试管以及所装气体的向下运动的速度u1，以上称为过程“1”。当隔板离开试管以后（这称为过程“2”）气体将陆续逸出（最终将全部逸出）试管。虽然系统仍然绝热，但是它不是准静态过程，绝热过程方程不能适用。详细分析:(1)在气体还没有逸出试管时，特别是隔板被固定时，由于气体分子的无规则运动，平均来说，分别有一半分子以平均速率撞击隔板和试管底，因而给隔板和试管底分别施以相等的动量。在隔板没有固定时，给以隔板动量使得气体做绝热膨胀；给以试管底的动量使得试管以u1速度向下运动。正如上面分析的，计算u1的关键是整个系统的总动量守恒。（2）当隔板离开试管时，气体已经以速度u1和试管一起向下运动。但是在隔板离开试管以后，气体给以试管底的动量仍然存在，这个动量使得试管向下的运动速度又增加了u2，我们可以在以u1速度向下运动的参考系中来求u2，而在地面参考系中试管的速度应该是u1+u2.【解】（1）过程“1”：正如上面分析的，这是一个准静态绝热过程，设开始时以及隔板即将离开试管时气体的温度和体积分别是（T,V）和（Tf，Vf）则应该有如下关系： 其中国Vf=2V，=5/3(单原子理想气体)，则有 气体内容减少了 隔板、试管和气体的总的定向运动动能为 其中v为隔板离开试管时，隔板向上运动的速度，u1是试管向下运动时的速度。气体内能的减少转变为定向运动动能，所以 另外，根据整个系统的总动量守恒，有 由上述各式可以解得 （2） 过程“2”：隔板离开试管以后，我们把正在向下运动的试管作为参考系。正如上面分析的，平均来说，可以认为有一半的分子向试管底撞击，这些分子的数量为 分子撞击速率应该是平均速率，现在已方均根速率代替它，有 其中m分子为分子的质量，Tf为隔板离开试管以后气体的温度。 一个分子对试管底撞击产生的冲量，一半分子的撞击给以试管底的总冲量为 这个冲量使得试管产生动量的改变，从而得到附加速度 其中M为试管的质量。考虑到，并且利用（1）式，将（7）（8）式代入（9）得 由此得到试管的最终运动速度为： 3.8.2 标准状态下氦气的粘度为，氩气的粘度为，他们的摩尔质量分别为M1和M2.。试问：（1）氦原子和氦原子碰撞的碰撞截面和氩原子与氩原子的碰撞截面之比等于多少？（2）氦的导热系数与氩的导热系数之比等于多少？（3）氦的扩散系数与氩的扩散系数之比等于多少？（4）此时测得氦气的粘度和氩气的粘度。用这些数据近似的估算碰撞截面。【解】（1）因为则有 在温度相同情况下，原子和氦原子碰撞的碰撞截面和氩原子与氩原子的碰撞截面之比为 （2） 因为 所以 则有 （3） 应为所以 而所以（4） 由（1）可以得到 3.9.2 在热水瓶里灌进质量为m=1.00 kg的水，热水瓶胆的内表面S=700 cm2,瓶胆内外容器的间隙d=5.00 mm,间隙内气体压强p=1.00 Pa,假设热水瓶内的热量只是通过间隙内的气体的热传导而散失。试确定需要多少时间容器内的水温从90降为80，取环境温度为20。【解】可以假定热水瓶胆夹层内气体充满及其稀薄的气体热传导条件，单位时间内在单位面积上传递的热量为 （1）其中，根式内的T为降温过程中夹层内气体的平均温度 （2）而且有 （3）由于在dt时间内漏出的热量是由水的温度降低dT所释放的热量提供的，故 （4）其中为水的比热容，将（1）（2）（3）代入（4）后积分有 3.B.4 1000的加热室中蒸发的铍（相对原子质量为9）原子束的简单示意图。加热室A中蒸发出来的铍原子经小孔逸出，再经狭缝准直器B而形成原子束，最后进入另一真空室D中，（1）原子束将与真空室背景分子进行碰撞，若进行1m后其原子束强度（单位时间内通过的原子数）减少为1/e。真空室温度为300K，试问真空室压强多少？设铍原子与真空中分子的碰撞截面为，忽略铍原子间的碰撞。（2）铍原子束的平均速率是多少？（3）铍原子进行1m所需平均时间是多少？（4）估计铍原子束撞击容器壁所产生的压强（设铍原子束穿出狭缝时粒子数密度为），因真空室室温较低，所有撞击在容器壁上的铍原子均沉积在器壁上），将这一压强与真空室中气体压强进行比较。 【分析】这是泄流问题（它和气体分子碰壁数属于同一类问题），也是一个和分子束分布、自由程、气体压强等基本概念有关的综合性问题。 【解】（1）按照自由程分布，自由程分布在的概率为 （1）由题中可知原子束的自由程出现在间的概率为1/e,即 （2）由（1）（2）可以求出铍原子束与真空室空气碰撞的平均自由程为为了求出真空室压强，利用平均自由程公式 （3）由此得到 （2）铍原子束的平均速率可以由分子束的平均速率公式求得 （3） 铍原子进行1m所需平均时间 （4）铍原子束刚进入真空容器时，单位时间内透过单位截面积的平均分子数为，其中n0为该截面处铍原子束的粒子数密度，则碰到单位面积器壁上的铍原子数为 ，因为从1000 高温容器中出来的铍原子束是与300K真空容器壁相碰撞，两者温度相差非常大，可假设原子束与器壁完全非弹性碰撞，撞击粒子全部粘附在器壁上，每个分子产生的动量改变，所有这些分子撞击容器壁所产生的 压强为 4. B.1 声波可在气体管中形成驻波。现用1000Hz的声波在碘蒸气管中做实验，在温度为400K时，测得管内形成的驻波的相邻波节间距为6.77cm。试问：（1）声波的波速是多少？（2）管内碘蒸气分子是单原子分子还是双原子分子？为什么？已知碘的相对原子质量为127，声波在气体中的传播速度满足关系，其中为气体密度，为气体的绝热压缩系数 下标“s”表示绝热过程。 【分析】虽然本题没有指出碘蒸气是什么气体，但是可以假定它是理想气体，否则无法解题。这是一个有关绝热过程、能量均分定理波动中的驻波的复合题。应该明确，声波在气体中的传播是满足绝热条件的，所以要利用绝热压缩系数来着手解题。 【解】绝热过程方程为 两边微分得到 两边同时除以，并且考虑到这是一个绝热过程，一下彪“s”表示 由本题对绝热压缩系数的定义知 （1） 由理想气体物态方程以及对密度的定义知道 （2） 代入声速公式得到 （3） 所以 （4） 我们知道驻波两相邻波节之间的距离为 ，所以声波的波长为 （5） 现在声波的频率为，则声速为 （6） 先假定碘蒸气为单原子分子气体，即 ，又有T=400K，将（6）一起代入（4）得 这和单原子分子的相差较大。 再假定碘蒸气为双原子分子气体，得 它和能量均分定理得到的结果符合得很好。说明碘蒸气是双原子分子气体。 5.3.7 绝热壁包围的汽缸被以绝热活塞分割成A、B两室。活塞在汽缸内可无摩擦的自由滑动。A,B内各有1mol的双原子理想气体。初始时气体处于平衡态，它们的压强、体积、温度分别为p0,V0,T0.A室中有一电加热器使之徐徐加热，知道A室中压强变为2p0,试问：（1）最后A,B两室内气体温度分别为多少？（2）在加热过程中，A室气体对B室做了多少功？（3） 加热器传给A室气体多少热量？（4）A,B两室的总熵变是多少？【分析】这是热力学第一定律和热力学第二定律相结合的题目，在通常的热力学第一定律习题中在附加求熵变，注意汽缸和活塞都是绝热的。A对B的影响是通过活塞的做功来实现的，而A,B的压强始终相等。A,B的