一类几何不等式的一个结果

一类几何不等式的一个结果第33卷第5期1.33No.5唐山师范学院JournalofTangshanTeachersCollege2011年9月Sep.2011一类几何不等式的一个结果刘健(华东交通大学初等数学研究所,江西南昌330013)摘要:建立了三角形内部任一点到三边距离的一个不等式,提出并应用计算机验证了两个未解决的猜想.关键词:三角形;内部点;锐角;不等式中图分类号:O.178文献标识码:A文章编号:1009-9115(2011)05-0017-03AResultofaKindofGeometricInequalityLIUJian(InstituteofPrimaryMathematics,EastChinaJiaotongUniversity,Nanchang330013,China)Abstract:Inthispaper,weestablelishanewinequalitiesinvolvingthedistancesfromanarbitraryinteriorpointtothethreesidesofatriangle.Finally,twounsolvedconjecturescheckedbythecomputerareputforward.KeyWords:triangle;interiorpoint;acute-angle;inequalityl主要结果设P为&4BC内部任意一点,P到边BC,CA,AB的距离分别为rl,r2,r3.xAABC的三边BC,C,AB的长分别为口,b,C.1971年,Ju.I.Gerasimov首先发现了不等式【1】.堕+盟+监bccaab4等号当且仅当P为C的外心时成立.1975年,L.Carlitz与M.S.Klam_kin又提出了类似的不等式【】:,丽r2r3+r3rl+rA一6)<4(2)(一6Xc)(c一口)(一口X一6)其中口+b+c2等号当且仅当P为C的内心时成立.不等式(1),(2)的证明都不困难,是有关,r2,的两个基本不等式.本文作者对这两个不等式曾作过研究,在文献【3】中给出了不等式Gerasimov(1)的一个加强,在文献4】中作者应用Carlitz-Klamkin不等式(2)与其它结果导出了一个有许多应用的三元二次型几何不等式.本文建立一个新的类似于(1),(2)两式的不等式:定理设AABC三边BC,CA,AB上的旁切圆半径分别为,rc,则对内部任一点P有+(3)(r6+),占(+)(ra+r6)3等号当且仅当AABC为正三角形且P为其中心时成立.2足理的证明引理l设正数,P2,P3与实数gl,满足4p2P3>,4P3P>,4pP2>及+qlq2q4(4)则对任意实数,Y,z有+z>qlyz+q2zx+qxy(5)引理2设三边BC,CA,AB上的三条高线分别为吃,外接圆与内切圆半径分别为尺,.,则<塑(6)吃3证明由恒等式:堕:6cRabe,.4(saXs-b)(sc)可知不等式(6)等价于b2c>3(6+cXs一口)(bXsc)(7)令收稿日期:2010.12.22作者简介:刘健(1963.),男,江西兴国人,华东交通大学助理研究员,研究方向为几何不等式.17.第33卷第5期唐山师范学院2011年9月a=x,Y=b,z=C则知上式等价于(z+)(+)一3xyz(2x+y+z)>0展开整理即+2(+z)+(-z)x2一yzt.v+z)+y2z>0(8)注意到,Z均大于零,可见当yz+z)x时,上式显然成立.当yz<(y十z)x时,要证(8)式只要证:X4+2yzx+(Yz)一yz(y+z)x+y2z2>0等价于.x4+12z2+1(y2X2+圭+Z)X-】>0上式显然成立.综上,不等式(8)对任意正数x,y,z成立,从而不等式(7)与不等式(6)获证.引理3以表示循环和,其余符号同上,则在AABC中有(c+日)+6)6c=一(4Rr一3r+(32R+8Rr+3r.),.+(4R+r),证明易知有恒等式:(c+口)(口+6)6c=3(abc)bb2c2将已知恒等式:abc=4Rrsbc=s2+4Rr+,2bc=-(SRr一2r+(4+,.)r代X(1O)式中,化简后就得(9)式.证明首先证明三兀二次型不等式:(口+yb+zc)._>6ryz(/g+ho)+zx(ho+%)+(吃+)】上式即a2x+b2y+C2Z_>2yz3r(hb+hc)-bc+2zx3r(h,+吃)一凹】+2xy3r(h+hb)-ab】为证上式,根据引理l先来证:4(bc)>6r(hb+h)-2bc即12r(/+hc)2bc-3r(hb+)】>0于是只要证2bc>3r(hb+吃)注意到等式bc=2耽.18.(9)(1O)(11)(12)(13)(14)(15)(16)此司知这个不等式等价于引理2的不等式(6),所以不等式(16)得证.其次,根据引理1与不等式(16)及与它相应成立的另两式可知,要证(15)式只需证:4口【3,(+)-bc+q-I【3,.(%+)一6c】4(幻c)(17)由于有恒等式:口3r(hb+)一6c】=9r口(%+吃)-6rabc.,a(hb+)+3(abc)(18)兀【3,.(嚏+)一6=27rn(+)+36c口(+)-9r6c(+h.Xho+)一(abc)(19)上式中兀表示表示循环和(下同此).以这两式代入(17)式中,约简知(17)式的证明可化为口(+魄)+6ryI(hb+)26+)(吃+hD(2o)记AABC面积为,则知上式即4A.a2(b+c)2+48rAII(b+c)8A:两边乘以(口6c)/(4A),又知上式等价于口(6+c)+12rAI-(6+c)-<2Z(c+口)(口+6)6c即4(c+aXa+b)bc-12srYI(b+c)_(6+c)口o(21)上式两边除以4,以引理3的恒等式(9)及已知的恒等式:YI(b+c)=2s(s+2+,)(22)(6+c)口=2s(s-2Rr+r)(23)代入(21)式,简化后知其等价于4r-ss+(28R一4,)+,(4+,)0所以只要证:一5+(28R一4,)+r(4R+,)0(24)等价变形为5(4R+4Rr+3r一s2)+8(JR一2rXR+r)s+,(4R+,.)【(4+,.)一3s】0根据Gerretsen不等式614+4Rr+3r与Euler不等式2,.以及已知不等式刘健:一类几何不等式的一个结果(4R+r)3s可知上式成立,从而(17),(14)两式得证.最后,在不等式(14)中令,Yr2,zr3然后利用显然的恒等式:+=2与A=,rS=r6得!垒2+垒!刍2+r3(r,+r02(27),mbrb,3.另外,亦存在一个类似于不等式(3)的下述猜想:猜想2对AABC内部任一点P有r,(r2+r3)+垒!2+f2<一(28)(25)(+)(+)2(rd+rD12r2(+)+(忽+吃)+,ir2(吃+)2rjbr(26)亦即一,r,Cr,+)+r2(+,;)+(+r2).rd两边除以2rorbr,再利用吃(+)=2rbr等,即可得定理的不等式(3),且易知等号成立条如定理所述.3两个猜想AABC的三条中线%,%,则在非钝角AABC中成立半对称的线性不等式【】r6+2,在这个不等式与定理的不等式(3)的启发下,经计算机验证,可有下述猜想:猜想1对锐角C内部任一点P有【参考文献】【l】GERASIMOVJUI.Pmblern8480.MatVskole,1971,(4):86.【2】CARLITZL,KLAMKINMS.Problem910J.Math.Mag.,1975:242-243.【3】刘健.一类几何不等式的两个定理及其应用【J】_华东交通大学,1998,15(3):75-79.41刘健.一个三元二次型几何不等式的应用与推广【A】.不等式研究.拉萨:西藏人民出版社,2000.【5】刘健.一类几何不等式的两个结果与若干猜想【J】.华东交通大学,2002,19(3):89-94.【5】5O.Bottema,等.单土尊,译.几何不等式【Ml,北京:北