基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法

第5卷第1期2006 年 3 月石家庄铁路职业技术学院学报JOURNAL OF SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGYVOL. 5 No .1Mar.200 6基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法王渝 1）杨建新 2） 王玉彩 1）（石家庄铁路职业技术学院 1） 河北石家庄 050041太原理工大学 2） 山西太原 030024）摘要：由开环对数幅频特性求系统传递函数的问题类型较多，对这类问题的求解方法进行分析、总结，并通过例题加以说明。关键词：传递函数中图分类号：TP311.11环节性质转折频率斜率文章编号：1673-1816(2006)01-0075-05文献标识码 ：A在工程实际中常常要针对给定的控制对象和所要求达到的一定的性能指标，设计和选择控制器的结构与参数来校正系统。当选用频率法来校正系统时经常会遇到一类问题，即由已知的开环对数 幅频特性求系统的传递函数，如不摸清这类问题的规律，就不知道该从何处下手解决，且很容易将 一些环节丢掉，不能完整的求出系统的传递函数。因此提出这类问题的求解方法，以供同行参考。由开环对数幅频特性求系统传递函数的解算方法可以分为以下四个步骤：1由低频段渐近线斜率求出系统含有积分环节的个数具体做法是：先在系统开环对数幅频特性的渐近线上找出第一个转折频率1 ，然后由1 之前 渐近线的斜率求出系统开环传递函数含有的积分环节的个数，即 ： 20V = 第一个转折频率1 之前渐近线的斜率 （V 表示积分环节的个数），求出积分环节的个数后，可将积分环节的传递函数1表示为 G ( s ) s v例 1 第一个转折频率1 = 2 ，1 之前渐近线的斜率为 0 ，所以20V = 0 ， 得V = 0 ，该系统不含有积分环节。例 2第一个转折频率1 = 0.1 ，1 之前渐近线的斜率为40 ， 所以20V = 40 ，得V = 2，该系统含有两个积分环节，积分环节的传递函数为1G ( s ) 。2s收稿日期：2005-12-12作者简介：王渝（1978-），女，蒙族，河南镇平人，本科，助教，研究方向自动化。75因为系统的开环对数幅频特性在第一个转折频率之前渐近线的斜率就是 20V dB/dec ,即由分环节的个数 V 来决定的，因此可以用20V = 第一个转折频率1 之前渐近线的斜率求 V 的值。确定系统所含其它环节的性质找出所有的转折频率1 、2 、3 、，由每个转折频率前后渐近线的斜率确定系统含有环节的性质。通过观察转折频率前后渐近线的斜率是减小了，还是增加了，就可以判断出系统中否含有惯性环节、一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节，之后再写出表示这些环节的传递函。具体的做法见表 1 ，表 1转折频率前后渐近线斜率的变化系统所含环节性质对应环节的时间常数对应环节的传递函数11T G ( s ) 减小 20dB/dec惯性环节s1Ts 1一阶微分环节G ( s ) s 1 增加 20dB/decs11G ( s ) T 减小 40dB/dec振荡环节T 2 s 2 2Ts 1s1二阶微分环节T G ( s ) T 2 s 2 2Ts 1增加 40dB/decs3第一个转折频率1 = 2 ，1 前后渐近线的斜率由20dB/dec变到了40dB/dec ，减小了 20dB/dec ，1所以系统含有一个惯性环节，其时间常数T 0.5 ，s 11该惯性环节的传递函数为G ( s) 。0.5 s 14第一个转折频率1 =第二个转折频率2 =0.521 前后渐近线的斜率由40dB/dec 变到了20dB/dec，增了 20dB/dec ，则系统含有一个一阶微分环节，其时间常数1 2 ，该一阶微分环节传递函数为 G ( s ) 2 s 1 ；2s 1后渐近线的斜率由20dB/dec 变到了40dB/dec ，减小了 20dB/dec，则系统含有一个惯性环节，11 0.5 ，该惯性环节的传递函数为 G ( s) 时间常数T 。s 20.5 s 1第 1 期王渝，等基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法例 5第一个转折频率1 = 0.1 ，1 前后渐近线的斜率由40dB/dec，变到了80dB/dec ，减小了140dB/dec ，则系统含有一个振荡环节，其时间常数T 10 ，s 11该振荡环节的传递函数为 G ( s ) 。100 s 2 20 s 13求开环放大倍数 K 的值在任何系统的开环传递函数中都含有比例环节，其比例系数即为 K ，K 的值可大于、小于或等于 1 ，但 K 的值一定是大于 0 的，因此还要求出 K 的值。求 K 的值有很多方法，每一种方法都有其特有的前提条件，对于不同的情况应该用不同的方法 求 K 的值，现将这些方法总结如下：3.1由 = 1 时的 L（）值求 K ，即 L（）= 20lgK , 此方法还要由第一个转折频率1 的取值再细分为两种：3.1.1当1 1 时, 直接由已知的开环对数幅频特性求 = 1时 L（）的值，然后算出 K 的值。例 6第一个转折频率1 =10 ， 1 ，1由图可知当 = 1 时， L（）= 20 dB ，所以 L（）= 20lgK = 20 ， 得 K = 10 。例 7第一个转折频率1 = 1 ，图上已经标出当 = 1 时， L（）= 10 dB ， 所以 L（）= 20lgK = 10 ，得 K = 3.16 。第一个转折频率1 = 2 ，1 1 ， 但图中未标出 = 1 时 L（）的值，所以要先经过计算例 8得出 = 1 时 L（）的值，计算方法如下：L ( 2 ) 0= 40 ， 得 L(2)= 45.89 dB ,lg 2 lg 28L (1) 45.89= 20 ， 得 L(1)= 51.89 dB ， 而 L(1)的值即为= 1 时 L（）的值，lg 1 lg 2所以 L（1）= 20lgK= 51.89 ， 得 K = 393 。3.1.2当1 1 时, 先将第一个转折频率之前低频段的渐近线延长，与过横轴=1 处的垂线相交，求出交点处的纵坐标，然后由“交点的纵坐标 = 20lgK”算出 K 的值。例 9第一个转折频率1 =0.5 ，11 ，将1 之前低频段的渐近线延长，并从横轴=1 处做垂L (0.5 ) 0=，与刚才做的延长线相交与 A 点，如图所示，下面先求 A 点的纵坐标，20 ， 得lg 0.5 lg 1.5)= 6 dB ,6 L A (s )= 40 ， 得 L （）= 6 dB , 所以 L （）= 20lgK = 6 ，得 K = 0.5 。AAlg 0.5 lg 12若已知截止频率c ，由 A(c)= 1 求 K 的值。10由图可知截止频率c = 28 ，第一个转折频率1 = 2 ，1 之前渐近线的斜率为20 ，所以 20V = 20 ，得 V = 1 ，该系统含有一个积分环节， 其1递函数为 G ( s) ；s1由例 3 可知该系统还含有一个惯性环节，其传递函数为 G ( s) ，0.5 s 1K由此可写出系统传递函数的表达式为 G ( s ) ，其中 K 的值未知，待求，下面求 K：s ( 0.5s 1)KK统的频率特性为 G ( js ) ， 幅频特性为 A(s ) ，js ( j 0.5s 1)s 1 ( 0.5s ) 2KL(c)= 0 ，即 L(c)= 20lgA(c)= 0 , 故 A(c)= 1 ， A(s c ) = 1，) 2s1 ( 0.5sccK入c = 28 ，得 A(s c ) = 1 ，28 1 ( 0.5 28) 2是得 K = 393 ，此结果与例 8 所求 K 值一样。由低频段渐近线的延长线与横轴交点处的频率值0 求 K ,s vK =（V 表示积分环节的个数）。011第一个转折频率1 = 2 ，1 之前渐近线的斜率为20 ，以 20V = 20 ， 得 V = 1 ；由图可知1 之前低频段渐近线的延长线与横轴v 1点处的频率0 = 10 ， 所以 K = s 0 = 10 = 10 。确定系统开环传递函数具体做法：将已确定的典型环节的传递函数乘，得出系统的开环传递函数 G(s)。例 12综示例：已知某最小相位系统的开环对数幅频特图所示，试写出系统的开环传递函数。第 1 期王渝，等基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法（1）第一个转折频率1 =第二个转折频率2 = 第三个转折频率3 = 第四个转折频率4 =0.010.1820，1 之前渐近线的斜率为40，所以20V = 40 ， 得 V = 2 ，1该系统含有两个积分环节，其传递函数为G ( s) ；（2）系统所含其它环节的性质分析见表2 ，s 2表 2转折频率转折频率前后渐近线斜率的变化系统所含环节性质对应环节的时间常数对应环节的传递函数1G ( s ) 10 4 s 2 200 s 1T 1001增加 40dB/dec二阶微分环节s 1 1 1T 102减小 20dB/dec惯性环节G ( s ) s 210 s 1 1 1T 0.125s3减小 20dB/dec惯性环节G (s ) 0. 125 s 13 1 1T 0.054减小 20dB/dec惯性环节G ( s ) s 40 .05 s 1（3）由图可知1 之前低频段渐近线的延长线与过横轴=1 处的垂线相交，交点处的纵坐标L（）= -40 dB ,所以 L（）= 20lgK = -40 ， 得 K = 0.01 ；（4）将系统包含的所有典型环节的传递函数相乘，得出系统的开环传递函数为0.01 (10 4 s 2 200 s 1)G ( s ) s 2 ( 10 s 1)( 0.125 s 1)( 0.05 s 1)（责任编辑张宇平）参考文献：1刘祖润.自动控制原理M.北京:机械工业出版社,2000,6 2史忠科,卢京潮.自动控制原理常见题型解析及模拟题M.西安:西北工业大学出版社,1998,9 3谢克明,刘文定.自动控制原理M.北京:兵器工业出版社,1998,9Method for Obtaining System Transfer Function Based onOpen Loop Logarithm Amplitude Frequency CharacteristicWang Yu1)Yang Jianxin2)Wang Yucai1)1)(Shijiazhuang Institute of Railway TechnologyShijiazhuangHebei0500412)TaiYuan University of TechnologyTaiyuan Shanxi 030024 China)Abstract: There are many types of problems on