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专题二 立方和(差)公式、和(差)的立方公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:(1)平方差公式 ;(2)完全平方公式 。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公式 ;(2)立方差公式 ;(3)三数和平方公式 ;(4)两数和立方公式 ;(5)两数差立方公式 。对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明。反过来,就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例1 计算:(1);(2);(3)。分析:两项式与三项式相乘,先观察其是否满足立方和(差)公式,然后再计算.解:(1)原式=;(2)原式=;(3)原式=。说明:第(1)、(2)两题直接利用公式计算.第(3)题不能直接利用公式计算,只好用多项式乘法法则计算,若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算;若将第二个因式中“”改成“”则利用公式计算;若将第二个因式 中“”改成“”,可先用完全平方公式分解因式,然后再用和的立方公式计算。例2 计算:(1);(2);(3);分析:利用乘法的交换律、积的乘方,找出满足立方和(差)的两个因式,是计算的关键.解:(1)原式;(2)解法一:原式;解法二:原式 ;(3)原式 。 说明:第(2)、(3)题往往先用立方和(差)公式计算简捷.相反,如第(2)题的第二种解法就比较麻烦.例3因式分解:(1);(2);(3)。分析:对照立方和(差)公式,正确找出对应的是解题关键,然后再利用立方公式分解因式。解:(1)原式;(2)原式(3)原式。 说明:我们可尝试一下,第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂,会导致有的同学分解不彻底。例设,试求的值。分析:对于立方和公式,我们不难把它变成:,即,再应用两数和、两数积解题较为方便。解:。说明:立方和(差)与和(差)的立方之间可以相互转化。例5 如果的三边满足,试判断的形状。分析:直接看不出三角形边之间的关系,可把左边的多项式分解因式,变形后再找出三角形三边之间的关系。解:因为,所以,即,所以或, 因此是等腰三角形或直角三角形.说明:此类题型,通常是把等式一边化为零,另一边利用因式分解进行恒等变形.练习1.计算:(1);(2);(3);(4)。2.计算:(1);(2);(3);(4)。3分解因式:(1);(2);(3);(4)。4化简:。5若,求证:。6(1)已知,求的值;(2)已知:,求的值.7已知两个正方体,其棱长之总和为48cm,体积之和为28cm3,求两个正方体的棱长.8. 已知,求的值。 9. 已知,求的值。10.已知实数满足,求的值。 答案:1(1) ;(2);(3);(4)。2(1); (2); (3);(4)。3、(1); (2); (3);(4)。425提示
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