数列常考题型的解题技巧.doc

等差数列 1等差数列的定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示2等差数列的判定方法:定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列3等差数列的通项公式:如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数4等差数列的前n项和: 对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数5等差中项:如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项5等差数列的性质:等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有 对于等差数列，若，则也就是：若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列如下图所示：6奇数项和与偶数项和的关系：设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：前n项的和当n为偶数时，其中d为公差；当n为奇数时，则，（其中是等差数列的中间一项）7前n项和与通项的关系：若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则等比数列：1等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）2等比中项：如果在与之间插入一个数，使，成等比数列，那么叫做与的等比中项也就是，如果是的等比中项，那么，即3等比数列的判定方法：定义法：对于数列，若，则数列是等比数列 等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列4等比数列的通项公式：如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为或着5等比数列的前n项和： 当时，当时，前n项和必须具备形式6等比数列的性质：等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有 对于等比数列，若，则也就是：如图所示：若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列如下图所示：具体应用：知识点归纳 1一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数3等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a10），Sn=na1是关于n的正比例式4等差数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=5等差中项公式：A= （有唯一的值）6等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)7等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q1时，Sn= Sn=8等比中项公式：G= （ab0，有两个值）9等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列10等差数列an中，若m+n=p+q，则11等比数列an中，若m+n=p+q，则12等比数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列（当m为偶数且公比为-1的情况除外）13两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列14两个等比数列an与bn的积、商、倒数的数列anbn、仍为等比数列15等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列16等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列17三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d18三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (因为其公比为0,对于公比为负的情况不能包括)19an为等差数列，则 (c0)是等比数列20bn（bn0）是等比数列，则logcbn (c0且c1) 是等差数列数列求和：1等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a10），Sn=na1是关于n的正比例式2等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q1时，Sn= Sn=3拆项法求数列的和，如an=2n+3n 4错位相减法求和，如an=(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）5分裂项法求和，如an=1/n(n+1) （分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）7求数列an的最大、最小项的方法：an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=1（2008北京文）已知等差数列an中，a2=6,a5=15.若bn=a2n,则数列bn的前5项和等于（C ） (A)30（B）45 (C)90 (D)1862（2008北京理）已知数列对任意的满足，且，那么等于（C ） ABCD3(2008福建文)设是等差数列，若，则数列前8项和为（C） 1288064565(2008广东文)记等差数列的前n项和为，若，则该数列的公差d=（ ） A7 B. 6 C. 3 D. 26(2008广东理)记等差数列的前n项和为，若，则( ) A16 B. 24 C. 36 D. 487、(2008海南、宁夏文、理)设等比数列的公比， 前n项和为，则（ C ）A. 2B. 4C. D. 8(2008江西文、理)在数列中，则（ A ）A B C D9(2008全国卷文)已知等比数列满足，则（ A ）A64B81C128D24310(2008全国卷理)已知等差数列满足，则它的前10项的和（ C ） A138B135C95D2311.(2008陕西文、理)已知是等差数列，则该数列前10项和等于（B）A64B100C110D12012(2008上海文理)若数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为a，则的值是（B）1 2 13(2008四川理)已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( D )（）（）（） （）14(2008天津文) 若等差数列的前5项和，且，则（ B ）A12B13C14D1515（2008浙江文）已知an是等比数列，an=2,a3=,则公比q=（ D ）(A) (B)-2(C)2(D)16（2008浙江理）已知是等比数列，则= （ C ）（A）16（） （B）16（） （C）（） （D）（）17 (2008重庆文)已知an为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（ C ）(A)4 (B)5(C)6(D)7二、填空题：1（2008安徽文）在数列在中，,其中为常数，则 1 2（2008安徽理）在数列在中，,其中为常数，则的值是 1 3(2008海南、宁夏文)已知an为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = _15_4 (2008湖北理)已知函数f(x)=2x,等差数列ax的公差为2.若f(a2+a4+ab+a2+a1)=4,则Log2f(a1)f(a2)f(a)f(a10)= -6 .5(2008四川文) 设数列