数学建模实验报告.doc

数学建模实验报告一、实验目的 1、通过具体的题目实例，使学生理解数学建模的基本思想和方法，掌握数学建模分析和解决的基本过程。 2、培养学生主动探索、努力进取的的学风，增强学生的应用意识和创新能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。 二、 实验题目（一）题目一 1、题目：电梯问题 有r个人在一楼进入电梯，楼上有n层。设每个乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，试建立一个概率模型，求直到电梯中的乘客下完时，电梯需停次数的数学期望。 2、问题分析 （1）由于每位乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，且各种可能的情况众多且复杂，难于推导。所以选择采用计算机模拟的方法，求得近似结果。 （2）通过增加试验次数，使近似解越来越接近真实情况。 3、模型建立 建立一个n*r的二维随机矩阵，该矩阵每列元素中只有一个为1，其余都为0，这代表每个乘客在对应的楼层下电梯（因为每个乘客只会在某一层下，故没列只有一个1）。而每行中1的个数代表在该楼层下的乘客的人数。再建立一个有n个元素的一位数组，数组中只有0和1,其中1代表该层有人下，0代表该层没人下。例如：给定n=8;r=6（楼8层，乘了6个人）,则建立的二维随机矩阵及与之相关的应建立的一维数组为：m = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0c = 1 1 0 1 0 1 1 1 4、解决方法（MATLAB程序代码）： n=10;r=10;d=1000;a=0;for l=1:dm=full(sparse(randint(1,r,1,n),1:r,1,n,r);c=zeros(n,1);for i=1:n for j=1:r if m(i,j)=1 c(j)=1; break; end continue; endends=0;for x=1:n if c(x)=1 s=s+1; end continue;enda=a+s;enda/d 5、实验结果 ans = 6.5150 那么，当楼高11层，乘坐10人时，电梯需停次数的数学期望为6.5150。（二）题目二 1、问题：某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.2、问题分析 （1）题目中共有3个约束条件，分别来自原料量、工人数与甲饮料产量的限制。 （2）目标函数是求获利最大时的生产分配，应用MATLAB时要转换成求其相反数最小时的生产分配。 (3) 扩展讨论部分只需将模型中部分参数修改即可。 3、模型建立 （1）设定变量： x(1)表示甲饮料产量，x(2)表示甲饮料产量，z表示总获利。 （2）线性规划模型: z=10*x(1)+9*x(2) 6*x(1)+5*x(2)=60 10*x(1)+20*x(2)=150 x(1)0 templine=templine+1; endendfor i=1:9:26 for j=1:3 temp=linecolor(a(i)+a(i+3)+a(i+6); i=i+1; if temp0 templine=templine+1; end end i=i-3; end for i=1:9 temp=linecolor(a(i)+a(i+9)+a(i+18); if temp0 templine=templine+1; end endfor i=1:26 temp1=linecolor(a(i)+a(i+4)+a(i+8); temp2=linecolor(a(i+2)+a(i+4)+a(i+6); if temp10 templine=templine+1; end if temp20 templine=templine+1; endend for i=1:3:7 temp1=linecolor(a(i)+a(i+10)+a(i+20); temp2=linecolor(a(i+2)+a(i+10)+a(i+18); if temp10 templine=templine+1;end if temp20 templine=templine+1;end end for i=1:3 temp1=linecolor(a(i)+a(i+12)+a(i+24); temp2=linecolor(a(i+6)+a(i+12)+a(i+18); if temp10 templine=templine+1;end if temp20 templine=templine+1;end end temp1=linecolor(a(0)+a(13)+a(26); temp2=linecolor(a(8)+a(13)+a(18); temp3=linecolor(a(2)+a(13)+a(24); temp4=linecolor(a(6)+a(13)+a(20); if temp10 templine=templine+1;end if temp20 templine=templine+1;end if temp30 templine=templine+1;endif temp40 templine=templine+1;end 子函数： function r= linecolor(n)if n=3 | n=0 r=1;else r=0; endreturn; 5、实验结果 sum = 4 insert = 1 2 3 5 8 12 15 18 19 21 22 25 27 即最少单色球线数为4条，其中放黑球单元为：1 2 3 5 8 12 15 18 19 21 22 25 27。（四）题目四 1、问题：在某海域测得一些点（x,y）处的水深z由下表给出，穿的吃水深度为5英尺，在矩形区域(75,200)*（-50,150）里的哪些地方船要避免进入。2、问题分析 分析该区域内各个地方的水深情况，比较各点的水深与船的吃水深度，深度小于或等于船的吃水深度的地方即为船要避免进入的危险区域。 3、模型建立 （1）利用插值法，得到海底各处深度的分布情况，并画出海底地貌图像。 （2）通过与船吃水深度的条件比较，得到危险区域的平面图。 4、解决方法（MATLAB程序）画出此区域海底深度图像：x=129,140,103.5,88,185.5,195,105,157.5,107.5,77,81,162,162,117.5;%x=sort(x);y=7.5,141.5,23,147,22.5,137.5,85.5,-6.5,-81,3,56.5,-66.5,84,-33.5;%y=sort(y);z=-4,-8,-6,-8,-6,-8,-8,-9,-9,-8,-8,-9,-4,-9;X,Y,Z=griddata(x,y,z,linspace(75,200),linspace(-75,150),v4);surf(X,Y,Z)画出深度为5英尺的等深线：contour(X,Y,Z,-5,-5,r.) 5、实验结果 下图中红色等深线内为危险区域。（五）题目五 1、问题：一位四年级大学生正在从若干个招聘单位中挑选合适的工作岗位，他考虑的主要因素包括发展前景、经济收入、单位信誉、地理位置等。试建立模型给他提出决策建议。2、问题分析 （1）这是一个决策问题，是半定性、半定量的。因此，考虑使用层次分析法进行分析解决。 （2）将问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，得出不同方案的权重。 3、模型建立 （1）假设设定： 有3家公司，分别是百度、腾讯与阿里巴巴。选择中考虑的主要因素为：发展前景、经济收入、单位信誉和地理位置。分别用x1、x2、x3、x4代表这四个因素，y代表综合评价参数，w代表权值向量。所以，综合评价方程模型可设为： y = w1x1 + w2x2 + w3x3 + w4x4 （2）主要数据：（将评价转换成百分制分数）公司因素发展前景经济收入单位信誉地理位置百度934000元/月（80）90北京（85）腾讯914400元/月（88）86深圳（88）阿里巴巴943800元/月（76）89杭州（90）3）层次分析图: 4、解决方法 赋值:x1/x2 = 3/4;x1/x3 = 3/2;x1/x4 = 3/2;x2/x3 = 2;x2/x4 = 2;x3/x4 = 1. 则该问题的判断矩阵为: A= 1 , 3/4 , 3/2 , 3/2 4/3 , 1 , 2 , 2 2/3 , 1/2 , 1 , 1 2/3 , 1/2 , 1 , 1 经过一下MATLAB程序可求出各因数在综合评价中的权值：A=1,3/4,3/2,3/2;4/3,1,2,2;2/3,1/2,1,1;2/3,1/2,1,1;n,n=size(A);p=ones(n,100);q=ones(n,100);m=zeros(1,100);m(1)=max(p(:,1);q(:,1)=p(:,1);p(:,2)=A*q(:,1);m(2)=max(p(:,2);q(:,2)=p(:,2)/m(2);l=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1);while kp i=i+1; p(:,i)=A*q(:,i-1); m(i)=max(p(:,i); q(:,i)=p(:,i)/m(i); k=abs(m(i)-m(i-1);enda=sum(q(:,i);w=q(:,i)/a;t=m(i);w 5、实验结果 综合评价的权值向量为： w = 0.2727 0.3636 0.1818 0.1818 所以综合评价方程为： y = 0.2727 x1 + 0.3636 x2 + 0.1818 x3 + 0.1818 x4 . 那么三家公司的综合评价得分为: 百度:y=0.2727 * 93 + 0.3636 * 80 + 0.1818 * 90 + 0.1818 * 85 . = 86.2641 腾讯：y=0.2727 * 91 + 0.3636 * 88 + 0.1818 * 86 + 0.1818 * 88 . = 88.4457 阿里巴巴：y=0.2727 * 94 + 0.3636 * 76 + 0.1818 * 89 + 0.1818 * 90 . = 85.8096 结果显示，腾讯的评价分数最高。所以，建议该生选择腾讯集团作为自己未来的工作单位最佳。三、 实验总结通过本次实验，我对数学建模有了根深的理解，特别是对数学建模的过程和思想有了更清晰的认识。这次实验，提高了我的分析问题及解决问题的能力，以及将所学知识、方法及重要工具灵活运用的实际中的应用能力。实验过程中，根据不同的题目，我应用了多种数学建模的思