数学建模小题目及答案.doc

1. 求下列积分的数值解：function y = myfun(x) y = 1./(x.*(x.2 - 3*x + 2 ).(1/3);warning off allQ = quad(myfun,2,100000)Q = quad(myfun,2,10000000)Q = quad(myfun,2,1000000000000000)warning on 当上限为100000,10000000,1000000000时，定积分的值为x=1.4389,1.4396,1.4396。因此，可以将1.4396作为此定积分的值。2. 已知，画出时，的图形。syms t,syms h;f=exp(t+h)*cos(t+h)+(t+h)2*sin(t+h);int(f,t,0,10) ans =1/2*exp(10+h)*cos(10+h)+1/2*exp(10+h)*sin(10+h)-98*cos(10+h)-20*cos(10+h)*h-cos(10+h)*h2+20*sin(10+h)+2*sin(10+h)*h-1/2*exp(h)*cos(h)-1/2*exp(h)*sin(h)+cos(h)*h2-2*cos(h)-2*sin(h)*hezplot(1/2*exp(10+h)*cos(10+h)+1/2*exp(10+h)*sin(10+h)-98*cos(10+h)-20*cos(10+h)*h-cos(10+h)*h2+20*sin(10+h)+2*sin(10+h)*h-1/2*exp(h)*cos(h)-1/2*exp(h)*sin(h)+cos(h)*h2-2*cos(h)-2*sin(h)*h,-10,10)3.画出绕轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。 主程序： y,z=cylinder(1:0.2:9,100);mesh(sqrt(16-(sqrt(y.2+z.2)-5).2),y,z);hold on;mesh(-sqrt(16-(sqrt(y.2+z.2)-5).2),y,z);求体积dv=dydz先计算在第卦限的体积 1y+z9 计算dydz =- clearsyms z m ym=sqrt(16-(y-5)2)*(sqrt(9-y2)-sqrt(1-y2);int(m,1,9)ans = -118/3*i-19*3(1/2)*EllipticK(1/2*2(1/2)-35/3*3(1/2)*EllipticPi(1/3,1/2*2(1/2)+50*3(1/2)*EllipticE(1/2*2(1/2)-58/3*i*3(1/2)*EllipticK(1/2*2(1/2)+35/6*i*3(1/2)*EllipticPi(3/4,1/2*2(1/2)+50*i*3(1/2)*EllipticE(1/2*2(1/2)+75/2*log(5)-75/2*log(-3+4*i) V=8(118/3*i-19*3(1/2)*EllipticK(1/2*2(1/2)-35/3*3(1/2)*EllipticPi(1/3,1/2*2(1/2)+50*3(1/2)*EllipticE(1/2*2(1/2)-58/3*i*3(1/2)*EllipticK(1/2*2(1/2)+35/6*i*3(1/2)*EllipticPi(3/4,1/2*2(1/2)+50*i*3(1/2)*EllipticE(1/2*2(1/2)+75/2*log(5)-75/2*log(-3+4*i)4.画出下列曲面的图形（1）旋转单叶双曲面；x=(s,t)3.*sec(s).*cos(t);y=(s,t)3.*sec(s).*sin(t);z=(s,t)2.*tan(s);ezmesh(x,y,z)或者t=-pi/4:0.1:pi/4;r=0:0.1:2*pi;r,t=meshgrid(r,t);x=3*sec(t).*sin(r);y=3*sec(t).*cos(r);z=2*tan(t);surf(x,y,z)（2）马鞍面；x=-2*pi:0.2:2*pi;x,y=meshgrid(x);z=x.*y;surf(x,y,z);xlabel(x-axis),ylabel(y-axis),zlabel(z-axis);title(surf)；或者x=-2:0.1:2; y=-2:0.1:2; xx,yy=meshgrid(x,y); zz=xx.*yy; surf(xx,yy,zz)或者ezsurf(x,y)x*y)5.画出隐函数的图形。ezplot(cos(y)+sin(x)-1,-2*pi,2*pi,-2*pi,2*pi)6.（1）求函数的三阶导数；clearsyms xdiff(log(x+2)/(1-x),x,3)（2）求向量的一阶向前差分。a=0,0.5,2,4;i=1:3;b=a(i+1)-a(i)7.求解非线性方程组（1）x,y=solve(x2+y-6=0,y2+x-6=0,x,y)（2）x,y=solve(exp(x+sin(y)+cos(y)=10,tan(x)+10*log(y)=5,x,y)8.求函数的极值点，并画出函数的图形。clear;syms xy=x3+6*x2+8*x-1;dy=diff(y)x=solve(dy)x=double(x)作图：fplot(x3+6*x2+8*x-1,-5,1)9.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m和1m的圆钢各一根。已知原料长6.9m，问应如何下料，使用的原材料最省。解：最简单做法是，在每一根原材料上截取2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根组成一套，每根原材料剩下料头0.9m（7.4-2.9-2.1-1.5=0.9)。为了做100套钢架，需用原材料100根，共有90m料头。若改为用套裁，这可以节约原材料。下面有几种套裁方案，都可以考虑采用。见表1-5。结果 方案2.9m2.1m1m余料11110.92104032010.140060.950140.860220.770300.6为了得到100套钢架，需要混合使用各种下料方案。设按1方案下料的原材料根数为x1,2方案为x2，3方案为x3，4方案为x4,5方案为x5，6方案为x6, 7方案为x7。根据表1-11的方案，可列出以下数学模型：LINGO程序如下：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;x1+x2+2*x3=100;x1+x5+2*x6+3*x7=100;x1+4*x2+x3+6*x4+4*x5+2*x6=100;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);gin(x7);Feasible solution found: Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value MINZ 27.90000 X1 8.000000 X2 46.00000 X3 31.00000 X4 1.000000 X5 5.000000 Row Slack or Surplus 1 0.000000 2 0.000000 3 0.000000 4 0.000000 N=91根10. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：项目，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115；项目，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125，但规定最大投资额不超过4万元；项目，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140，但规定最大投资额不超过3万元；项目，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6。该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大？第j年项目12345AX1AX2AX3AX4ABX3BCX2CDX1DX2DX3DX4DX5D解：分析：第一年有10万元资金，；第二年投资，；第三年投资：；第四年投资：；第五年投资：其中，,由于“连续投资问题”要求第五年末部门所拥有的资金的本利总额最大，故目标函数为：建立“连续投资问题”的线性规划模型： 用Lingo求解：max=1.15*X4A+1.25*X3B+1.4*X2C+1.06*X5D;X1A+X1D=100000;X2A+X2C+X2D-1.06*X1D=0;X3A+X3B+X3D-1.15*X1A-1.06*X2D=0;X4A+X4D-1.15*X2A-1.06*X3D=0;X5D-1.15*X3A-1.06*X4D=0;X3B=40000;X2C=30000;Z=143750元。第一年：X1A=71698.11元 X1D=28301.89元第二年：X2A=0 X2C=30000元 X2D=0第三年：X3A=0 X3B=40000元 X3D=42452.83元第四年：X4A=45000元 X4D=0第五年：X5D=011.已知某工厂计划生产，三种产品，各种产品需要在A，B，C三种设备上加工生产，具体相关数据如表1。试研究下列问题。（1）如何充分发挥已有设备的能力，使生产盈利最大？（2）如果为了增加产量，可租用其他厂家设备B，每月可租用60台时，租金为1.8万元，试问租用设备B是否合算？（3）如果该工厂拟增加生产两种新产品和，其中产品需用A设备12台时，B设备5台时，C设备10台时，单位产品盈利21000元；产品需用A设备4台时，B设备4台时，C设备12台时，单位产品盈利1870元。假如A，B，C三种设备台时不增加，试分别考虑这两种新产品的投产在经济上是否合算？表1 生产计划的相关数据设备有效台时/每月A8210300B1058400C21310420单位产品利润/元300020002900解：（1）设使用A为x1台时，B使用x2台时，C是使用x3台时：程序max=3000*x1+2000*x2+2900*x3;8*x1+2*x2+10*x3=300;10*x1+5*+5*x2+8*x3=400;2*x1+13*x2+10*x3=420;Global optimal solution found. Objective value: 134500.0 Extended solver steps: 6 Total solver iterations: 29 Variable Value Reduced Cost X1 24.00000 -3000.000 X2 24.00000 -2000.000 X3 5.000000 -2900.000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 134500.0 1.000000 2 10.00000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 10.00000 0.000000（2）max=3000*x1+2000*x2+2900*x3;8*x1+2*x2+10*x3=300;10*x1+5*x2+8*x3=460;2*x1+13*x2+10*x3=420;gin(x1);gin(x2);gin(x3);综Global optimal solution found. Objective value: 145000.0 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X1 31.00000 -3000.000 X2 26.00000 -2000.000 X3 0.000000 -2900.000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 145000.0 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 20.00000 0.000000 4 20.00000 0.000000合考虑方案（1）和方案（2），方案（2）经济效益为145000不合理.（3）目标函数：maxz=3000*x1+2000*x2+2900*x3+21000*x4+1870*x5;8*x1+2*x2+10*x3+12*x4+4*x5=300;10*x1+5*x2+8*x3+5*x4+4*x5=400;2*x1+13*x2+10*x3+10*x4+12*x5 syms x;g=sqrt(100-(x+2.5)2);int(g,x,0,7.5)ans =25*pi-25/8*15(1/2)-50*asin(1/4)double(ans)ans = 53.8027 s=4*double(ans)s = 215.210915. 已知平面区域，的高程数据见表3（单位：m）。 表3480044004000360032002800240020001600120080040001350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 1501370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 2101380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 3501420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 5001430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 1550950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 1200910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 1100880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 936 950830 980 1180 1320 1450 1420 400 1300 700 900 850 810 380 780 750740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 350510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 2500 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600试用二维插值求方向间隔都为10的高程，画出该区域的等高线和三维视图，并求该区域的表面积。建一个moutain.m文件x=0:400:5600;y=0:400;4800;z=1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 1501370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 2101380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 3501420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 5001430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 1550950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 1200910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 1100880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 936 950830 980 1180 1320 1450 1420 400 1300 700 900 850 810 380 780 750740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 350510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250figure(1);meshz(x,y,z)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)xi=0:10:5600;yi=0:10:4800; figure(2)z1i=interp2(x,y,z,xi,yi,nearest);surfc(xi,yi,z1i)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z) figure(3)z2i=interp2(x,y,z,xi,yi);surfc(xi,yi,z2i)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z) figure(4)z3i=interp2(x,y,z,xi,yi,cubic);surfc(xi,yi,z3i)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z) figure(5)subplot(1,3,1),contour(xi,yi,z1i,10,r);subplot(1,3,2),contour(xi,yi,z2i,10,r);subplot(1,3,3),contour(xi,yi,z3i,10,r); 16. 已知矩阵，求二次型在单位球面上的最小值。MATLAB程序： syms x1 x2 x3; A=1,4,5;4,2,6;5,6,3; x=x1;x2;x3; t=x1,x2,x3;f=t*A*x f = (x1+4*x2+5*x3)*x1+(4*x1+2*x2+6*x3)*x2+(5*x1+6*x2+3*x3)*x3LINGO程序：min=(x1+4*x2+5*x3)*x1+(4*x1+2*x2+6*x3)*x2+(5*x1+6*x2+3*x3)*x3;x12+x22+x32=1;过MATLAB计算得出f= (x1+4*x2+5*x3)*x1+(4*x1+2*x2+6*x3)*x2+(5*x1+6*x2+3*x3)*x3代入LINGO的出X1=x2=0 x3=1f=3；17. 求解线性规划问题： 程序：max=20*x1+90*x2+80*x3+70*x4+30*x1; s.t. x1+x2+x5=30; x3+x4=30; 3*x1+2*x3=120; 3*x2+2*x4+x5=48;18.18.求解数学规划问题s.t.其中，这里是服从均值为5，标准差为2的正态分布的随机数；表示500个元素全部为1的列向量。：标注c为表示1000个元素全部为1的行向量；A为服从均值为5，标准差为2的正态分布的随机数组成的矩阵；D为表示500个元素全部为1的列向量。主程序：经计算得出max=0.2022f=-1*1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;R=random(Normal,5,2,500,1000);A=R;b=1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1