数学高考题中三角函数题型与解题方法的研究.doc

数学高考题中三角函数题型与解题方法的研究 摘 要：三角函数类试题是高三复习中的重要知识点和历年高考中的必考题，本文对三角函数考题特点、考题来源等进行了详细的统计和比对分析，并在对四种典型试题进行了逐一分析。 关键词：三角函数 高考 研究 选择 填空 简答1 考题特点对2007年全国I、II、北京、天津、上海、辽宁、江苏、浙江、福建、湖北、湖南、重庆、江西、安徽、四川、陕西等16套文理科数学试卷的统计和分析表明，三角函数类试题在高考中占有重要的位置。其中，选择题和填空题出现在16套试题中，出现率为100%，解答题出现在14套试题中，出现率为87.5%。在16套的高考题中，三角函数题平均18.9分。选择题、填空题覆盖面广，有三角函数的定义、特殊值、同角三角函数的关系、三角公式和运算，三角函数的图像和性质、三角形面积，正余弦定理等多方面知识。不管是在大题上还是在小题上，各地区都加强了三角函数的考察，所以三角函数试题应该引起我们足够的认识，以期有的放矢，使此类题型的教与学都达到事半功倍的效果。2 三角函数有关定义2.1 三角函数定义一三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。2.2 三角函数的定义二另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。 在这个直角三角形中，y是的对边，x是的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法： 基本函数英文表达式语言描述正弦函数Sinesin =y/r角的对边比斜边余弦函数Cosinecos =x/r角的邻边比斜边 正切函数Tangenttan =y/x角的对边比邻边余切函数Cotangentcot =x/y角的邻边比对边正割函数Secantsec =r/x角的斜边比邻边余割函数Cosecantcsc =r/y角的斜边比对边在初高中教学中，主要研究正弦、余弦、正切三种函数。 注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。 3 三角函数的性质定理3.1 正弦定理 于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有： sinA / a = sinB / b = sinC/c 也可表示为： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ，其中R是三角形的外接圆半径。 它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a 是通过 A, B 和 C 三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中（1）已知两个角和一个边求未知边和角（2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。3.2 余弦定理对于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有：c2=a2+b22abcosC. 也可表示为： cosC=（a2+b2c2）/ 2ab. 这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。 如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。要小心余弦定理的这种歧义情况3.3 正切定理对于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有： (a+b)/(a-b) = tan(A+B)/2/tan(A-B)/23.4 三角函数的公式同角三角函数间的基本关系式：平方关系： sin2cos21 1tan2sec2 1cot2csc2积的关系： sin=tancos cos=cotsin tan=sinsec cot=coscsc sec=tancsc csc=seccot 倒数关系： tan cot1 sin csc1 cos sec1商的关系： sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec两角和与差的三角函数： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)三角和的三角函数：sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan )辅助角公式：Asin+Bcos=(A+B)(1/2)sin(+t)sint=B/(A+B)(1/2)cost=A/(A+B)(1/2) tant=B/AAsin-Bcos=(A+B)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 倍角公式：sin(2)=2sincos=2/(tan+cot)cos(2)=cos()-sin()=2cos()-1=1-2sin()tan(2)=2tan/1-tan()三倍角公式：sin(3)=3sin-4sin()=4sinsin(60+)sin(60-)cos(3)=4cos()-3cos=4coscos(60+)cos(60-) tan(3)=tan a tan(/3+a) tan(/3-a)半角公式：sin(/2)=(1-cos)/2)cos(/2)=(1+cos)/2)tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin降幂公式sin()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 万能公式：sin=2tan(/2)/1+tan(/2)cos=1-tan(/2)/1+tan(/2)tan=2tan(/2)/1-tan(/2) 积化和差公式：sincos=(1/2)sin(+)+sin(-)cossin=(1/2)sin(+)-sin(-)coscos=(1/2)cos(+)+cos(-)sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 推导公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos1-cos2=2sin1+sin=(sin/2+cos/2)4 三角函数在高考题中的应用4.1 三角函数在选择题中的应用4.1.1 （2003上海春，15）把曲线ycosx+2y1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A.（1y）sinx+2y3=0 B.（y1）sinx+2y3=0C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.(y+1)sinx+2y+1=0答案：C解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x）+2（y+1）1=0，即得C选项.4.1.2 （2002全国文5，理4）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x取值范围为（ ）A.（，）（，）B.（，）C.（，）D.（，）（，）答案：C解法一：作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图46可得C答案.图46 图47解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图47）4.2 三角函数在填空题中的应用4.2.1 （1997全国，18）的值为_.答案：2解析：.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.4.2.2 （1994全国，18）已知sincos，（0，），则cot的值是 .答案：解法一：设法求出sin和cos，cot便可求了，为此先求出sincos的值.将已知等式两边平方得12sincos变形得12sincos2，图414即（sincos）2又sincos，（0，）则，如图414所以sincos，于是sin，cos，cot.解法二：将已知等式平方变形得sincos，又（0，），有cos0sin，且cos、sin是二次方程x2x0的两个根，故有cos，sin，得cot.评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活.4.3 三角函数在简答题中的应用4.3.1 （1994全国理，22）已知函数f（x）=tanx，x（0，），若x1、x2（0，），且x1x2，证明f（x1）f（x2）f（）.证明：tanx1tanx2因为x1，x2（0，），x1x2，所以2sin（x1x2）0，cosx1cosx20，且0cos（x1x2）1，从而有0cos（x1x2）cos（x1x2）1cos（x1x2），由此得tanx1tanx2，所以（tanx1tanx2）tan即f（x1）f（x2）f（）.4.3.2 若关于x的方程2cos2(p + x) - sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。解：原方程变形为：2cos2x - sinx + a = 0 即 2 - 2sin2x - sinx + a = 0,- 1sinx1 ,； , a的取值范围是5 考题探源三角函数试题多来源于课本，以历年高考真题和资料中的典型例题为背景，属于低中档题的多，涉及到：三角函数相关公式的应用图像性质问题与三角形相关问题三角函数与向量不等式及导数等的联系问题这四方面的问题是高考试题中