数学论文绝对值函数复习与解题策略初探.doc

注：本文已在中学数学教学参考2010年第六期上发表。绝对值函数复习与解题策略初探纵观这几年的高考试卷，有关绝对值函数的试题由于呈现出综合性强、立意与角度新、难度大等特点，已成为高考命题的热点。因此，在高三复习中，突出整合，“以一驭万”，对绝对值函数的性质进行疏理和小结，引导学生对典型例题进行探究与解题思想归类，对开拓学生思维，培养学生思维品质和创新能力有着重要的启迪和促进作用。本文首先对绝对值函数的图象和性质进行归纳小结，然后对典型例题归类分析，供参考。1绝对值函数的常见类型及其图象基本绝对值函数主要包括和两种类型，由于自变量的取值被分成若干不同的区间，因此，绝对值函数在不同的区间有不同的表达式： ，。其图象作法也应依不同区间分别来作：的图象可以看作的图象在轴上方不变，轴下方沿轴向上翻折后所得；的图象可以看作的图象在轴右方不变，并将轴右方的图象沿轴向左翻折后所得。而一般绝对值函数可由以上两种基本绝对值函数组合或变换得到。2绝对值函数的考点归类分析熟练掌握绝对值函数的图象和性质，灵活、快捷的解决问题绝对值函数的图象和性质是研究绝对值函数问题的基础。由于形数兼备，所以教师在复习时要精选试题，帮助引导学生夯实“双基”，提高思维的灵活性和敏捷性。（1）例1 （2009年扬州市高三调研卷）已知函数在上单调递增，则 。（填写“”，“=”，“”之一）分析 由题意知，函数的图象如图（1），当时，函数为增函数，故底数，即。再由为偶函数，有，（2）可知：应填“”。例2 （2008年。宁夏、海南卷）已知函数。（1）作出函数的图象；（2）解不等式。分析 （1）由可知图象如图（2）。（2）由（1）得得。由函数的图象可得不等式的解集为。（3）例3 （2009年泰州市高三调研卷）定义：区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为 。分析 作出的图象如图（3），解方程得或，观察图（3）可知区间的长度的最大值为。综评：以上三题虽然难度不大，但都突出运用“以形助数”，数形结合的思想方法。有些同学在解这类问题时，常因为对一些基本函数的图象和性质掌握不全面，造成解题时的疏漏，或用错函数的解析式和性质，或将函数图象画偏画错。因此，复习时夯实“双基”，培养强烈的数形结合意识尤为重要。运用函数、方程及不等式的思想，借助三者之间的依赖关系，灵活转化，解决运动和变化中出现的问题 以绝对值函数为载体，注重数学思想方法灵活运用的试题能给学生提供思考的空间，使他们的聪明才智在解题中得到充分的展示，体现了高考数学考素质，考能力的要求。因此，在复习时，教师要强调“形”与“数”的灵活转化，帮助学生迅速找到解题的突破口。（4）例4 （2009年扬州市高三调研卷） 设，若，且，则的取值范围为 。分析 函数的图象如图（4），由，且并结合图象可得：，故由有，即因此，故（5），。点评：本题关键是由条件和图象确定和的取值范围，去掉绝对值符号得到与的关系式，再消元转化为复合函数求值域。例5（2009年扬大附中高三调研卷） 若函数图象上存在点，对任意都不在轴上方，则的最小值为 。分析 由已知，对任意，存在有，即。可令：，函数与的图象如图（5），当或时，有。比较函数与的图象位置可以发现，当抛物线与射线相切时，有最小值。故由，消去有，由解得。故的最小值为。点评：本题须将已知条件转化为，有进而转化为，通过比较与的图象的位置找到解题途径。对于创造性试题，要运用分类讨论等数学思想，将问题条理化、系统化、清晰化，进而由易到难，分层解决问题 创造性试题，以考查思维能力为核心，强调探究性、综合性、应用性和创新意识。因此，教师要创新情境，引导学生在陌生情境中自我探索，独立地思考分析问题，揭示其中的联系和奥秘，在问题变化不定时，会应用分类讨论等数学思想将数学对象分为不同种类，然后对划分的每一类分别进行研究或求解，从而达到“化难为易，化整为零，各个击破”的目的。例6（2009年江苏卷）设为实数，函数。（1）若，求的取值范围；（2）求的最小值；（3）设函数，直接写出（不需给出演算步骤）不等式的解集。解析 （1）（6）（2） 当时，函数的图象如图（6），由（1）（2）知：，此时。当时，函数的图象如图（7），若，则由（1）知若则由（2）知，此时。（7）综上所述：。（3）分析：当时，观察图（6）可以看出：时，而当时，是增函数，且。故只需按或讨论即可。当时，观察图（7）可以看出，时，此时，时，是减函数，时，是增函数，且。故需按或或三种情况分类讨论。解：观察图（6）可以发现：当，即时，不等式的解集为；观察图（7）可以发现：当，即时，的解集为。故时，的解集为。观察图（6）可以发现：当即时，由有；观察图（7）可以发现：当，即时，也有。故当时，的解集为。观察图（7）可以发现：时，当，即时，由可解得或。故当时，的解集为。答略。点评：本题（1）（2）（3）小题难度按三级坡度设计，由易到难体现了较好的区分度，其中第（2）小题分