两相流系统的离散玻尔兹曼建模.docx

两相流系统的离散玻尔兹曼建模+许爱国l，2，3，张广财l，3，甘延标4l北京应用物理与计算数学研究所国家级计算物理重点实验室， 北京100088 2北京大学应用物理与技术研究中心和高能量密度物理数值模拟教育部重点实验室，北京1008713、理论物理国家重点实验室(中国科学院理论物理研宄所)，北京1001904一b华航天工业学院，廊坊065000摘要：本文借助离散玻尔兹曼方程构建液气二相流系统的非平衡相变模型。通过该模型， 人们可以同时研究二相流系统的动力学非平衡与相变动理学过程中的热力学非平衡。讨论了 测量系统热力学非平衡程度的方案以及研究结果对宏观流体建模的贡献。关键词：多相流、非平衡相变、可压流体、格子玻尔兹曼、离散玻尔兹曼 1引言非平衡与多相复杂流体系统形式多样，广泛存在于自然界和工程物理等领域。复杂流体 系统的最显著特征之一就是系统中存在大量的界面。大量界面的存在与复杂演化必定伴随着 丰富、复杂的非平衡效应。这类系统的物理建模与算法设计均存在较强的挑战性。传统连续 流体模型建立的基础是观测所用的时间尺度远大于系统热力学弛豫所需的时间尺度，所以可 以成功地描述动力学非平衡过程，而对热力学非平衡关注较少；或者从空间尺度上来说，传 统连续流体模型建立的基础是所关心的特征结构的尺度远大于“微观粒子”之闽的平均间距 (1000倍以上)，所以它描述的主要是大量“微观粒子”的平均效应，而对相对于平均效应的 涨落关注较少。系统的状态是客观的，而“系统处于平衡与非平衡”以及“非平衡程度”的认识 却是依赖于我们观测所用的时间和空间尺度的。在等离子体系统、包含流体不稳定性或非平衡相变等效应的系统中，存在着大量的不同 时间空间尺度的结构和动理学过程。在爆燃与爆轰等系统中，与化学反应相伴随的放热、 压缩甚至冲击等过程的介入使得系统行为的复杂程度进一步剧增。这类系统需要我们从不同 的空间尺度、不同的时间尺度上去理解、分析和综合。随着对系统粗线条、主要特征的逐渐 掌握，随着对冲击、爆轰等复杂物理过程模拟精度要求的提高，系统或材料内的各种微介观 结构与非平衡效应日益引起人们的关注。在最近的二十几年间格子玻尔兹曼(lb，lattice boltzmann)方法及其在不同类型的复 杂流体系统模拟研究方面取得了长足的进展1131。根据离散格式的不同，lb方法可以粗略地分为标准lb方法【l】、有限差分lb方法【4卅、有限体积lb方法【7】和有限元lb方法【89，等等滞l据目的和功能，lb方法可以粗略地划分为偏微分方程解法器和微介观动理学模型。 第一类lb模型最初作为navier-stokes等流体方程的一种全新的渐进式、逼近式数值解法； 目前这种全新的求解思路己经被推广应用于一系列微分方程的求解。第二类lb方法将lb 看作是一种全新的物理建模；它要求lb建模包含所要研究的物理因素，它希望lb微介观 模型具有某些传统连续流体模型所不具有或不方便处理的功能；这些功能以描述或度量热力 学非平衡程度为主【13】。作为偏微分方程解法器的lb模型，其构建规则相对灵活：只要最+本工作受国家自然科学基金(批准号：11202003)、计算物理重点实验基金、爆炸科学与技术国家重点实 验室基金开放基金(批准号：kfjjl4im)和理论物理国家重点实验室(中国科学院理论物理研究所开放课题f编号：y4kfl51cji)资助。 ”许爱国，1970年生，男，研究员。主要研究方向：冲击与爆轰相关的微介观结构与非平衡效应研究。email： 苎!尘g!垃fj匹地：4：鲤122终的数值结果与所求解的方程一致便可。这就意味着，计算过程中的某些处理无需过多地考 虑其物理对应。鉴于目前文献中的lb模型以第一类为主，且占了绝大多数，在本文中，那 些作为复杂系统微介观、粗粒化物理建模出现的lb模型称为离散玻尔兹曼模型(dbm， discrete boltzmann model)f2-3|。离散boltzmann方法(dbmdiscrete bolt,maann method)的最大特点就在于它继承了boltzmann方程描述的跨尺度特性。通过它，人们可以同时研究动力学非平衡和热力学非平衡。它不介入分子运动细节，但又与分子动力学描述类似，可以 直接从微介观角度考虑动力学和热力学过程的耦合，是用来研究这些微介观结构和非平衡效 应的有效工具之一。作为复杂系统微介观粗粒化物理模型的lb方法即dbm在近年来取得了快速的进展。 通过dbm同时研究流体系统的宏观动力学行为和热力学非平衡行为的思想最初出现在综述 文章121 r9，进而在随后的几个模型中得到了具体化和实际应用【1014】。单松弛因子dbm的 例子可参见【1113】，多松弛因子的dbm参见1141。在文献110，13lqb，实现了爆燃和爆轰问 题的dbm建模与模拟，在von neumatm峰附近获得了一些传统连续流体模型所忽视的热力 学非平衡行为。2液气二相流系统的d阴建模在一个没有化学反应的系统中，存在两种非平衡：动力学非平衡和热力学非平衡。动力 学非平衡产生加速度，破坏系统稳态，引起系统的进一步演化。基于连续介质假设的传统流 体力学描述的主要是动力学非平衡。热力学非平衡的描述一般需要借助玻尔兹曼方程：_0西f+v。瓦0f+毒=一妙广)， -， 其中，r为描述系统趋于热力学平衡快慢的松弛因子，口。为加速度或作用在单位质量流体 上的外力，口=x，y，z。分布函数f的前三个低阶矩分别对应密度p、动量pu和能量 e=fm22+opt2，其中u和t是局域流速和温度，d为空间维数。具体对应如下：触=旷dr-,o,(o。2)lv勰=iy严dv=pu，(o3)f争2触=f争2广协=e(o4)我们使用m。(厂)表示分布函数，的矩，下标表示该矩是一个由m阶缩并到n阶的张量。显 然 ，m。(f=增f争 ，mi,1(厂)=mu(，町)=,oil ，m，(厂)=m，(厂w)=e。除了这三个低阶矩之外的高阶矩不具有守恒性质。a，。=m。卜m。旷描述的是系统偏离热力学平衡所引起的宏观效应，它含有流 速的信息。若用m。(，)表示中心矩，则。=m=|，。()一m-。(厂町)描述的纯粹是分子 相对于平均流动的无规则热涨落导致的效应。在理想气体情形，aa=0， 尸“=pt。如果不考虑边界效应，则宏观量的梯度(例如vp、vu、vt或vp)是系统偏离热力学平 衡的驱动力。在液气系统中，分子间相互作用的存在使得情形略加复杂。玻尔兹曼方程中的 “力项”也是系统偏离热力学平衡的驱动力。这两种驱动力的叠加决定着系统的演化方向。在 系统达到力学平衡时，这两种力相互平衡。于是，在稳态界面上，系统的分布函数恢复为maxwell分布。在系统达到稳态之前，a和a：，。可以作为系统偏离热力学平衡的量度。液气系统的玻尔兹曼方程可表示为：篆城差=一(一广删)c嘶，其中刮，脚=厂 觋毒(06)可以看做是被外力移动之后的新平衡态分布函数。我们定义ac。=mw(f)-m鸺。(胂)，a嚣=m。(厂)一m。(尸脚)(o7)在稳态时，姣c。鹄(觋静，a：鸲(r磋)(o8)可见，在稳态时，a：；：。或嚣，近似描述分子问相互作用导致的热力学非平衡效应。在流 体模拟中，经常使用热传导的傅里叶定律(g=胛?)和牛顿模型(o=猡u)，其中a和，为热传导系数和黏性系数。为了避开分布函数对离散速度的求导计算，含外力项离散玻尔 兹曼模型构建的关键技术之一为：在引入离散速度空间之前在外力项中使用近似：f=，。 这样，液气两相系统的离散玻尔兹曼模型可表示为：笪ot+筹+争(训肛一妒僻(09)是对玻尔兹曼方程在速度空间的特殊离散化，其ee-v标j为离散速度的序号。如果实际液气系统的状态方程为p“=户捌(p,t)，例如vall der waals状态方程：p删=翌一旦p2p删：竺一兰p2(o3一d则2万1碌0 7，real一，一ideal jx(。11)这时，。=m。卜等c飞)叫，a纛=m纛吖争(妒)(o在离散玻尔兹曼模型中，矩关系的计算使用求和，而不再使用积分。通过离散玻尔兹曼模拟， 可以检测复杂流体宏观方程中傅里叶热传导定律和牛顿黏性模型的适用性，并可进一步提供 可能的改进方案。方程(0。9)中空间导数与时间导数的计算方法可参见文献【15】。3结论液气相分离过程是一个典型的非平衡相变过程。本文首先概述离散玻尔兹曼 模型的研究进展，进而给出液气二相流系统的非平衡相变模型。通过该模型，人 们可以同时研究二相流系统的动力学非平衡与热力学非平衡。模拟结果可以用于 检测复杂流体宏观方程中傅里叶热传导定律和牛顿黏性模型的适用性，并可进一 步提供可能的宏观流体建模改进方案。参考文献1】ssucci，the lattice boltzmann equation for fluid dynamigs and beyond，oxford university press，new 124york,(2001)【2】axu,gzlumg，y gan,f chaland xyu,frontphys7(5)，552(2012)【3】许爱国、张广财、李英骏、李华，非平衡与多相复杂系统模拟研究：latticeboltzmann动理学理论与应用，物理学进展，第34卷第3期，2014年。【4】xyheandl s luo，playsrev e 55(6)：r6333，1997【515 ncao，schen，sjin，mad dmartinez,playsreve 55,t121(1997)【6】v sofonca,rf sekerka,jcomputphys184，422(2003)【71 f nannelll ssucci，jstatphys68，401(1992)【8】yli，ejleboeuf,and e kbasu，phys reve 69，065701皿)(2004)【9】y li，ej leboeui，mad p=kbasu，physreve 72，04671 l(2005)【10】byan,a xu,gzhang，y yillg，andhel,frontphys8，94(2013)【11】ygan,a xu，gzhang，andyyang，epll03，24003(2013)【121clin，axu，gzhang，yliandssucci，physrev e 89，013307(2014)【13】clin,axu，g zhang，y li,e-print arxiv：1308065314j fchcn,axu,g zhany=wang，front phy&9,246(2014l【15】ygan,axu，gzb越g，yli，and hli，ehysreve鲥，046715(2011)discrete boltzmann modeling of twophase systemsaiguo xul，2，3，guangcai zhangl，3，yanbiao gan4 1nationalkeylaboratoryofcomputationalphysits,instituteofappfiedphysicsandcomputational mathematics，beijing 1000882center for applied physics and tactmology and moe key calter for high energy density physics simulations,college ofengmeenng，peking university,bdjijlg 100871 3statekeylaboratoryoftheoreticalphysics,instituteoftheoreticmphysics,chineseacademyof sciences,beijing 1001904 north china institute ofacxospace engineeringlangfang 065000abstract：based on the discrete boltzmann(db)equation，a nonequilibrium phasp transitionmodel for the two-phase system is proposedvia this model，one can study both the hydrodynamic nonequilibrium and the thermodynamic nonequilibrium in the ph批transition kinetic