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14 1 曲线积分 第14章曲线积分和曲面积分 积分学定积分二重积分三重积分 积分域区间域平面域空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 曲面积分 问题的提出 实例 曲线形构件的质量 匀质之质量 分割 求和 取极限 代替 一 标量函数的曲线积分 对弧长的曲线积分 第一类曲线积分 一 定义 z 被积函数 积分弧段 曲线形构件的质量 注意 4 性质 5 对称性 平面曲线积分对称性同二重积分空间曲线积分对称性同三重积分 例 解 由对称性 知 例 已知椭圆 周长为a 求 提示 原式 利用对称性 分析 二 标量函数曲线积分的计算 o 特殊情形 注 1 曲线方程代入被积函数中2 积分限从小到大 3 曲线l为分段光滑时可利用区域可加性分段计算 例1 解 例3 解 例4 例5计算l x2 y2 2y闭路 2 l x2 y2 2ax第一象限弧与x轴所围闭路 例6 计算其中l为x2 y2 a2直线y x 及x轴在第一象限内所围成的区域边界解 oax 例7 计算 其中l 由对称性可知 为双纽线 解 例 计算曲线积分 其中 为螺旋 的一段弧 解 线 例 计算 其中 为球面 解 化为参数方程 则 三 几何与物理意义 例 设均匀螺旋形弹簧l的方程为 求它的质心 解 设其密度为 常数 机动目录上页下页返回结束 故重心坐标为 例设某种物质分布在 解 其密度 x y y 求它的总质量m 例 l为球面 面的交线 求其形心 在第一卦限与三个坐标 解 如图所示 交线长度为 由对称性 形心坐标为 2 向量值函数的曲线积分 对坐标的曲线积分 第二类的曲线积分 1定义 变力沿曲线l所作的功 常力f沿直线ab所作的功w f ab cos f ab 求和 取极限 分割 1 定义 注 1 若l为空间曲线 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 例曲线lr t t t2 t3 t从0变到1的曲线弧 把 lf1 x y z dx f2 x y z dy f3 x y z dz化为标量函数的曲线积分 5 两类曲线积分关系若曲线l是光滑的 令f x y x2 y2 2x 3 对坐标的曲线积分的计算 定理 特殊情形 注 1 曲线向量函数代入被积函数中 2 积分限从起点 终点 3 曲线l为分段光滑时利用区域可加性计算 例1 解 例2 解 1 例3计算 x2 y2 dxl x2 y2 2y逆时针闭路 正方向 2 l x2 y2 2x第一象限弧与x轴所围顺时针闭路 yy oxox 例5 例6 计算i z y dx x z dy x y dz其中l 解 x cost y sint z 2 cost sint 从z轴正方向向
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