2019高考数学一轮复习精编课件：离散型随机变量的均值与方差.ppt

一 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为 x1p1 x2p2 xipi xnpn 数学期望 平均水平 平均偏离程度 随机变量的均值 方差与样本均值 方差的关系是怎样的 提示 随机变量的均值 方差是一个常数 样本均值 方差是一个随机变量 随观测次数的增加或样本容量的增加 样本均值 方差趋于随机变量的均值与方差 二 两点分布与二项分布的均值 方差1 若X服从两点分布 则E X D X 2 若X B n p 则E X D X 三 均值与方差的性质1 E C C C为常数 2 E aX b 3 D aX b a b为常数 p p 1 p np np 1 p aE X b a2D X 1 随机变量X的分布列如下图 则X的数学期望是 A 2 0B 2 1C 2 2D 随m的变化而变化 解析 由题知 0 2 0 5 m 1 m 0 3 E X 1 0 2 2 0 5 3 0 3 2 1 答案 B 2 已知随机变量的分布列为 答案 A 答案 B 4 某保险公司新开设了一项保险业务 若在一年内事件E发生 该公司要赔偿a元 设一年内事件E发生的概率为p 为使公司收益的期望值等于a的10 公司应要求投保人交的保险金为 元 解析 设要求投保人交x元 公司的收益额 作为随机变量 则P x 1 p P x a p E x 1 p x a p x ap x ap 0 1a x 0 1 p a答案 0 1 p a 5 有10件产品 其中3件是次品 从中任取两件 若X表示取到次品的个数 则E X 等于 考向探寻 1 根据分布列求离散型随机变量的期望与方差2 求二项分布的期望与方差 典例剖析 2012 湖北高考 根据以往的经验 某工程施工期间的降水量X 单位 mm 对工期的影响如下表 历年气象资料表明 该工程施工期间降水量X小于300 700 900的概率分别为0 3 0 7 0 9 求 1 工期延误天数Y的均值与方差 2 在降水量X至少是300的条件下 工期延误不超过6天的概率 1 根据互斥事件求得相应概率 得分布列 利用公式求均值与方差 2 根据条件概率求解 解 1 由已知条件和概率的加法公式有 P X 300 0 3 P 300 X 700 P X 700 P X 300 0 7 0 3 0 4 P 700 X 900 P X 900 P X 700 0 9 0 7 0 2 P X 900 1 P X 900 1 0 9 0 1 所以Y的分布列为 故E Y 0 0 3 2 0 4 6 0 2 10 0 1 3 D Y 0 3 2 0 3 2 3 2 0 4 6 3 2 0 2 10 3 2 0 1 9 8 故工期延误天数Y的均值为3 方差为9 8 求数学期望和方差主要有两类 1 若随机变量服从两点分布 则E X p D X p 1 p 若X B n p 则E X np D X np 1 p 2 若随机变量X是一般的离散型随机变量 则应先求分布列 然后由数学期望和方差的定义计算 1 均值 数学期望 反映的是随机变量取值的平均水平 均值是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均 2 E X 是一个实数 即X作为随机变量是可变的 而E X 是不变的 考向探寻 利用期望与方差解决实际问题 典例剖析 2012 新课标全国高考 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝10元的价格出售 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理 1 若花店一天购进16枝玫瑰花 求当天的利润y 单位 元 关于当天需求量n 单位 枝 n N 的函数解析式 2 花店记录了100天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 若花店一天购进16枝玫瑰花 X表示当天的利润 单位 元 求X的分布列 数学期望及方差 若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花 你认为应购进16枝还是17枝 请说明理由 所以E X 60 0 1 70 0 2 80 0 7 76 D X 60 76 2 0 1 70 76 2 0 2 80 76 2 0 7 44 答案一 花店一天应购进16枝玫瑰花 理由如下 若花店一天购进17枝玫瑰花 Y表示当天的利润 单位 元 那么Y的分布列为 所以E Y 55 0 1 65 0 2 75 0 16 85 0 54 76 4 D Y 55 76 4 2 0 1 65 76 4 2 0 2 75 76 4 2 0 16 85 76 4 2 0 54 112 04 由以上的计算结果可以看出 D X D Y 即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小 另外 虽然E X E Y 但两者相差不大 故花店一天应购进16枚玫瑰花 答案二 花店一天应购进17枝玫瑰花 理由如下 若花店一天购进17枝玫瑰花 Y表示当天的利润 单位 元 那么Y的分布列为 所以E Y 55 0 1 65 0 2 75 0 16 85 0 54 76 4由以上的计算结果可以看出 E X E Y 即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润 故花店一天应购进17枝玫瑰花 1 D X 表示随机变量X对E X 的平均偏离程度 D X 越大表明平均偏离程度越大 说明X的取值越分散 反之 D X 越小 X的取值越集中在E X 附近 2 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了随机变量稳定于均值的程度 它们从整体上刻画了随机变量 是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据 解题时一般先比较均值 若均值相同 再用方差来决定 解 1 若按 项目一 投资 设获利为 1万元 则 1的分布列为 考向探寻 期望与方差与其他数学知识综合的问题 典例剖析 1 2013 湛江模拟 已知离散型随机变量X的分布如下表 若E X 0 D X 1 则a b 2 随机抽取某厂的某种产品200件 经质检 其中有一等品126件 二等品50件 三等品20件 次品4件 已知生产1件一 二 三等品获得的利润分别为6万元 2万元 1万元 而1件次品亏损2万元 设1件产品的利润 单位 万元 为X 求X的分布列 求1件产品的平均利润 即X的数学期望 经技术革新后 仍有四个等级的产品 但次品率降为1 一等品率提高为70 如果此时要求1件产品的平均利润不小于4 73万元 则三等品率最多是多少 1 根据分布列的性质 E X D X 列出关于a b c的方程组求解 2 确定X的取值 求概率 得分布列 根据 求期望即可 根据条件求出革新后X的分布列 求其期望 然后列不等式求解 解决期望与方差与其他数学问题的综合性问题的关键仍为期望与方差的求法 然后转化为函数 不等式等问题即可 1 如果把10万元投资甲项目 用X表示投资收益 收益 回收资金 投资资金 求X的概率分布及E X 2 若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益 求 的取值范围 解 1 依题意X的所有可能取值为1 0 1 故X的分布列为 12分 2012 陕西高考 某银行柜台设有一个服务窗口 假设顾客办理业务所需的时间互相独立 且都是整数分钟 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下 从第一个顾客开始办理业务时计时 1 估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率 2 X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数 求X的分布列及数学期望 1 由条件得顾客所等时间的分布列 根据互斥事件 独立事件求概率 2 确定X的所有可能取值 求其概率 列表得分布列 然后求期望 设Y表示顾客办理业务所需的时间 用频率估计概率 得Y的分布列如下 2分 1 A表示事件 第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务 则事件A对应三种情形 第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟 第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟 第一个 第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟 所以P A P Y 1 P Y 3 P Y 3 P Y 1 P Y 2 P Y 2 0 1 0 3 0 3 0 1 0 4 0 4 0 22 5分 2 方法一 X的所有可能取值为0 1 2 6分X 0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟 所以P X 0 P Y 2 0 5 X 1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟 或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟 所以P X 1 P Y 1 P Y 1 P Y 2 0 1 0 9 0 4 0 49 X 2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟 所以P X 2 P Y 1 P Y 1 0 1 0 1 0 01 9分所以X的分布列为 10分 E X 0 0 5 1 0 49 2 0 01 0 51 12分方法二 X的所有可能取值为0 1 2 6分X 0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟 所以P X 0 P Y 2 0 5 X 2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟 所以P X 2 P Y 1 P Y 1 0 1 0 1 0 01 P X 1 1 P X 0 P