2015年陕西省高考数学一模试卷(理科).doc

2015年陕西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分1设集合a=x|y=lg（32x），集合b=x|y=，则ab=（）ab（，1cd2已知复数z1=2+i，z2=12i，若，则=（）abcidi3若f（x）是定义在r上的函数，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）a必要不充分条件b充要条 c充分不必要条件d既不充分也不必要条件4若过点a（0，1）的直线l与圆x2+（y3）2=4的圆心的距离记为d，则d的取值范围为（）a0，4b0，3c0，2d0，15周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为（）a0.80b0.75c0.60d0.486一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）a3b2cd7如图，给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）ai2021bi2019ci2017di20158已知直线y=x+m是曲线y=x23lnx的一条切线，则m的值为（）a0b2c1d39设x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围为（）a3，3b3，2c2，2d2，310已知直线l：xym=0经过抛物线c：y2=2px（p0）的焦点，l与c交于 a、b两点若|ab|=6，则p的值为（）abc1d211在正四棱柱abcdabcd中，ab=1，aa=2，则 ac与bc所成角的余弦值为（）abcd12已知函数f（x）=x和函数g（x）=sin4x，若f（x）的反函数为h（x），则h（x）与g（x）两图象交点的个数为（）a1b2c3d0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13的展开式中的常数项等于_14已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则=_15双曲线=1的两条渐近线与右准线围成的三角形的面积为_16，f2（x）=sinxsin（+x），若设f（x）=f1（x）f2（x），则f（x）的单调递增区间是_三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知，正项数列an是首项为2的等比数列，且a2+a3=24（1）求an的通项公式（2）设bn=，求数列bn的前n项和tn18如图，ac是圆o的直径，点b在圆o上，bac=30，bmac交ac于点m，ea平面abc，fcea，ac=4，ea=3，fc=1（1）证明：embf；（2）求平面bef与平面abc所成的锐二面角的余弦值19（12分）（2015陕西一模）有一种密码，明文是由三个字母组成，密码是由明文的这是哪个字谜对应的五个数字组成，编码规则如下表，明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同次序排列组成；（如：明文取的是三个字母为afp，则与他对应的五个数字（密码）就为11223）第一排字符abc字符111213第二排字符efg字符212223第三排字符mnp字符123（）假设明文是bgn，求这个明文对应的密码；（）设随机变量表示密码中不同数字的个数，求p（=2）；求的概率分布列和它的数学期望20（12分）（2015张掖二模）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1（ab0）的离心率为，过椭圆右焦点f作两条互相垂直的弦ab与cd当直线ab斜率为0时，|ab|+|cd|=3（）求椭圆的方程；（）求由a，b，c，d四点构成的四边形的面积的取值范围21（12分）（2015陕西一模）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=ax3x（1）求f（x）的单调增区间和最小值；（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）（2015陕西一模）如图，设ab为o的任一条不与直线l垂直的直径，p是o与l的公共点，acl，bdl，垂足分别为c，d，且pc=pd（）求证：l是o的切线；（）若o的半径oa=5，ac=4，求cd的长【选修4-4：坐标系与参数方程】23（2015陕西一模）已知直线l的参数方程是（t是参数），c的极坐标方程为（）求圆心c的直角坐标；（）试判断直线l与c的位置关系【选修4-5：不等式选讲】24（2015陕西一模）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3|（）求不等式f（x）6的解集；（）若关于x的不等式f（x）|a1|的解集非空，求实数a的取值范围2015年陕西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015陕西一模）设集合a=x|y=lg（32x），集合b=x|y=，则ab=（）ab（，1cd考点：交集及其运算菁优网版权所有专题：集合分析：求出a中x的范围确定出a，求出b中x的范围确定出b，找出a与b的交集即可解答：解：由a中y=lg（32x），得到32x0，解得：x，即a=（，），由b中y=，得到1x0，即x1，b=（，1，则ab=（，1故选：b点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）（2015陕西一模）已知复数z1=2+i，z2=12i，若，则=（）abcidi考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答：解：复数z1=2+i，z2=12i，=i，则=i故选：d点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题3（5分）（2015陕西一模）若f（x）是定义在r上的函数，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）a必要不充分条件b充要条件c充分不必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：利用函数奇函数的定义，结合充分条件和必要条件进行判断即可解答：解：根据奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点对称，若f（0）=0，则f（x）=f（x）不一定成立，所以y=f（x）不一定是奇函数比如f（x）=|x|，若y=f（x）为奇函数，则定义域关于原点对称，f（x）是定义在r上的函数f（0）=0，即“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件，故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用函数奇函数的定义和性质是解决本题的关键4（5分）（2015陕西一模）若过点a（0，1）的直线l与圆x2+（y3）2=4的圆心的距离记为d，则d的取值范围为（）a0，4b0，3c0，2d0，1考点：直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题：直线与圆分析：求出圆的圆心与半径，结合已知条件推出d的范围即可解答：解：圆x2+（y3）2=4的圆心（0，3），半径为2，过点a（0，1）的直线l与圆x2+（y3）2=4的圆心的距离记为d，最小值就是直线经过圆的圆心，最大值就是点与圆心的连线垂直时的距离d的最小值为0，最大值为：=4d0，4故选：a点评：本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力5（5分）（2015陕西一模）周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为（）a0.80b0.75c0.60d0.48考点：相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有专题：概率与统计分析：设事件ai（i=1，2）表示“做对第i道题”，a1，a2相互独立，由已知条件结合相互独立事件的概率乘法公式得p（a1a2）=p（a1）p（a2）=0.8p（a2）=0.6，由此能求出做对第二道题的概率解答：解：设事件ai（i=1，2）表示“做对第i道题”，a1，a2相互独立，由已知得p（a1）=0.8，p（a1a2）=0.6，p（a1a2）=p（a1）p（a2）=0.8p（a2）=0.6，解得p（a2）=0.75故选：b点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用6（5分）（2015陕西一模）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）a3b2cd考点：由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可解答：解：三视图复原的几何体的三棱锥，是长方体的一个角出发的三条棱的顶点的连线组成的三棱锥，三度分别为：2，1，2，三棱锥的体积为：故选：d点评：本题考查三视图求解几何体的体积，注意三视图复原几何体的形状是解题的关键7（5分）（2015陕西一模）如图，给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）ai2021bi2019ci2017di2015考点：程序框图菁优网版权所有专题：图表型；算法和程序框图分析：根据流程图写出每次循环i，s的值，和比较即可确定退出循环的条件，得到答案解答：解：根据流程图，可知第1次循环：i=2，s=；第2次循环：i=4，s=；第3次循环：i=6，s=第1008次循环：i=2016，s=；此时，设置条件退出循环，输出s的值故判断框内可填入i2016对比选项，故选：c点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题8（5分）（2015陕西一模）已知直线y=x+m是曲线y=x23lnx的一条切线，则m的值为（）a0b2c1d3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题：导数的综合应用分析：求出曲线的导数，利用导数为1，求出切点坐标，然后求出m的值解答：解：曲线y=x23lnx（x0）的导数为：y=2x，由题意直线y=x+m是曲线y=x23lnx的一条切线，可知2x=1，所以x=1，所以切点坐标为（1，1），切点在直线上，所以m=1+1=2故选：b点评：本题考查曲线的导数与切线方程的关系，考查计算能力9（5分）（2015陕西一模）设x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围为（）a3，3b3，2c2，2d2，3考点：简单线性规划菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z的几何意义为区域内的点d（2，0）的斜率，由图象知db的斜率最小，da的斜率最大，由，解得，即a（1，2），则da的斜率kda=，由，解得，即b（1，2），则db的斜率kdb=，则2z2，故的取值范围是2，2，故选：c点评：本题主要考查线性规划和直线斜率的基本应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决问题的基本方法10（5分）（2015陕西一模）已知直线l：xym=0经过抛物线c：y2=2px（p0）的焦点，l与c交于 a、b两点若|ab|=6，则p的值为（）abc1d2考点：直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：联立方程组，可得x2（2m+2p）x+m2=0，依题意，0m=0，解得：m=；又|ab|=（x1+）+（x2+）=x1+x2+p=2m+3p=6，从而可得p的值解答：解：由得：x2（2m+2p）x+m2=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=2m+2p；又直线l：xym=0经过抛物线c：y2=2px（p0）的焦点（，0），0m=0，解得：m=又|ab|=（x1+）+（x2+）=x1+x2+p=2m+3p=4p=6，p=故选：b点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查抛物线的定义及其应用，求得m=及|ab|=x1+x2+p=6是关键，属于中档题11（5分）（2015陕西一模）在正四棱柱abcdabcd中，ab=1，aa=2，则 ac与bc所成角的余弦值为（）abcd考点：空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有专题：空间角分析：连结ab，结合几何体的特征，直接求解 ac与bc所成角的余弦值即可解答：解：如图：正四棱柱abcdabcd中，ab=1，aa=2，连结ab，则 ac与bc所成角就是直角三角形abc中的acb， ac与bc所成角的余弦值为：=故选：c点评：本题考查几何体的特征，直线与直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力12（5分）（2015陕西一模）已知函数f（x）=x和函数g（x）=sin4x，若f（x）的反函数为h（x），则h（x）与g（x）两图象交点的个数为（）a1b2c3d0考点：反函数菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：求出函数f（x）的反函数为h（x），然后画图求得h（x）与g（x）两图象交点的个数解答：解：由y=f（x）=x，得x=logy，x，y互换得：y=logx，即h（x）=logx又g（x）=sin4x，如图，由图可知，h（x）与g（x）两图象交点的个数为3故选：c点评：本题考查了反函数，考查了函数零点个数的判断，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）（2015陕西一模）的展开式中的常数项等于160考点：二项式系数的性质菁优网版权所有专题：二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项解答：解：的展开式中的通项公式为tr+1=26r（1）rx3r，令3r=0，求得r=3，故展开式中的常数项等于23=160，故答案为：160点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题14（5分）（2015陕西一模）已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则=考点：平行向量与共线向量菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：由向量是两个不共线的向量，以、为基底，把、用坐标表示，利用共线的定义，求出的值解答：解：向量是两个不共线的向量，不妨以、为基底，则=（2，1），=（1，）；又、共线，2（1）1=0；解得=故答案为：点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应利用平面向量的坐标表示进行解答，是基础题15（5分）（2015陕西一模）双曲线=1的两条渐近线与右准线围成的三角形的面积为考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的渐近线方程和右准线方程，求得交点，再由三角形的面积公式，即可计算得到解答：解：双曲线=1的渐近线方程为y=x，右准线方程为x=即为x=1，解得渐近线与右准线的交点为（1，），（1，），则围成的三角形的面积为故答案为：点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和准线方程的运用，考查运算能力，属于中档题16（5分）（2015陕西一模），f2（x）=sinxsin（+x），若设f（x）=f1（x）f2（x），则f（x）的单调递增区间是k，k+考点：运用诱导公式化简求值；正弦函数的单调性菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：化简函数的解析式为f（x）=cos2x，本题即求函数y=cos2x的减区间令2k2x2k+，kz，求得x的范围，可得函数y=cos2x的减区间解答：解：f（x）=f1（x）f2（x）=sin（+x）cosxsinxsin（+x）=cos2x+sin2x=cos2x，故本题即求函数y=cos2x的减区间令2k2x2k+，kz，求得kxk+，可得函数y=cos2x的减区间为 ，故答案为：点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）（2015陕西一模）已知，正项数列an是首项为2的等比数列，且a2+a3=24（1）求an的通项公式（2）设bn=，求数列bn的前n项和tn考点：数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的性质菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（1）设出等比数列的公比，由已知列式求得公比，代入等比数列的通项公式得答案；（2）把an的通项公式代入bn=，利用错位相减法求得数列bn的前n项和tn解答：解：（1）设等比数列an的公比为q（q0），由a1=2，a2+a3=24，得2（q+q2）=24，解得：q=4（舍）或q=2则；（2）bn=则令则两式作差得：=故点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题18（12分）（2015陕西一模）如图，ac是圆o的直径，点b在圆o上，bac=30，bmac交ac于点m，ea平面abc，fcea，ac=4，ea=3，fc=1（1）证明：embf；（2）求平面bef与平面abc所成的锐二面角的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法菁优网版权所有专题：计算题；证明题分析：（1）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，有线面垂直得到结果（2）做出辅助线，延长ef交ac于g，连bg，过c作chbg，连接fh，做出fhc为平面bef与平面abc所成的二面角的平面角，求出平面角解答：解：（1）证明：ea平面abc，bm平面abc，eabm又bmac，eaac=a，bm平面acfe，而em平面acfe，bmemac是圆o的直径，abc=90又bac=30，ac=4，am=3，cm=1ea平面abc，fcea，fc平面abceam与fcm都是等腰直角三角形ema=fmc=45emf=90，即emmf（也可由勾股定理证得）mfbm=m，em平面mbf而bf平面mbf，embf（2）延长ef交ac于g，连bg，过c作chbg，连接fh由（1）知fc平面abc，bg平面abc，fcbg而fcch=c，bg平面fchfh平面fch，fhbg，fhc为平面bef与平面abc所成的二面角的平面角（8分）在rtabc中，bac=30，ac=4，由，得gc=2，又gchgbm，则（12分）fch是等腰直角三角形，fhc=45，平面bef与平面abc所成的锐二面角的余弦值为点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力19（12分）（2015陕西一模）有一种密码，明文是由三个字母组成，密码是由明文的这是哪个字谜对应的五个数字组成，编码规则如下表，明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同次序排列组成；（如：明文取的是三个字母为afp，则与他对应的五个数字（密码）就为11223）第一排字符abc字符111213第二排字符efg字符212223第三排字符mnp字符123（）假设明文是bgn，求这个明文对应的密码；（）设随机变量表示密码中不同数字的个数，求p（=2）；求的概率分布列和它的数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；进行简单的合情推理菁优网版权所有专题：概率与统计分析：（）由明文是bgn，且b对应的数字是12，g对应的数字是23，n对应的数字是2，能求出明文bgn对应的密码（）=2表示密码中只有两个不同的数字，从而只能取表格的第一、二列中的数字作密码，由此能求出p（=2）由已知得的可能取值为2，3，分别求出p（=2），p（=3），由此能求出的分布列和e解答：解：（）明文是bgn，且b对应的数字是12，g对应的数字是23，n对应的数字是2，明文bgn对应的密码是12232（）=2，密码中只有两个不同的数字，注意到密码的第一、二列只有数字1，2，故只能取表格的第一、二列中的数字作密码，p（=2）=由已知得的可能取值为2，3，p（=2）=，p（=3）=1=，的分布列为： 23 pe=点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一20（12分）（2015张掖二模）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1（ab0）的离心率为，过椭圆右焦点f作两条互相垂直的弦ab与cd当直线ab斜率为0时，|ab|+|cd|=3（）求椭圆的方程；（）求由a，b，c，d四点构成的四边形的面积的取值范围考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用椭圆的离心率，以及，|ab|+|cd|=3求出a、b，即可求椭圆的方程；（）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积当两弦斜率均存在且不为0时，设a（x1，y1），b（x2，y2），且设直线ab的方程为y=k（x1），与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出ab，cd即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值解答：解：（）由题意知，则，所以c=1所以椭圆的方程为 （4分）（）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知； （5分）当两弦斜率均存在且不为0时，设a（x1，y1），b（x2，y2），且设直线ab的方程为y=k（x1），则直线cd的方程为将直线ab的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x24k2x+2k22=0，所以 （8分）同理， （9分）所以=，当且仅当k=1时取等号 （11分）综合与可知，（13分）点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的求法以及基本不等式的应用，是综合性比较强的题目21（12分）（2015陕西一模）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=ax3x（1）求f（x）的单调增区间和最小值；（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（1）求导f（x）=1+lnx，令f（x）=1+lnx0解得增区间，再求最小值即可；（2）求导f（x）=1+lnx，g（x）=3ax2，则由函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线知1+lnx=3ax2，xlnx=ax3x；联立求解解答：解：（1）f（x）=1+lnx，令f（x）=1+lnx0解得，x；故f（x）的单调增区间为（，+）；f（x）的单调减区间为（0，）；故f（x）的最小值为f（）=；（2）f（x）=1+lnx，g（x）=3ax2，函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，1+lnx=3ax2，xlnx=ax3x；由得，ax2=+；代入得，xlnx=x（+）x；化简可得，xlnx=；故x=；故3a=0；解得a=点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于中档题请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）（2015陕西一模）如图，设ab为o的任一条不与直线l垂直的直径，p是o与l的公共点，acl，bdl，垂足分别为c，d，且pc=pd（）求证：l是o的切线；（）若o的半径oa=5，ac=4，求cd的长考点：圆的切线的判定定理的证明；与圆有关的比例线段菁优网版权所有专题：选作题；立体几何分析：（）连接op，由ac与bd都与直线l垂直，得到ac与bd平行，由ab与l不相交得到四边形abdc为梯形，又o为ab中点，p为cd中点，所以op为梯形的中位线，根据梯形中位线性质得到op与bd平行，从而得到op与l垂直，而p在圆上，故l为圆的切线；（）过