在高中数学课堂教学中开展探究性学习的实践与思考.pdf

东北师范大学 硕士学位论文 在高中数学课堂教学中开展探究性学习的实践与思考 姓名 于静洁 申请学位级别 硕士 专业 教育 指导教师 王晓辉 20050501 摘要 目前 全社会都十分关心学生的学习 中小学校正努力减轻学生过重的学习负担 让学生全面发展 建构主义认为 知识产生于主体与客体的作用过程之中 即学生与学习材料的结合 过程中 数学课问题探究式教学就是教师教学过程中有目的 有计划地创设数学问题情 境 充分发挥学生的主体作用 引导学生主动积极地参与数学知识的发现过程 学生在 此过程中 不但获取知识并且发展自己探究性思维 作为一种教学方法 它最本质的特 征是强调探究过程而不是获取现成的知识 学生的主要任务不是简单地接受或记住现成 的知识 而是参与知识的发现过程 提高自主获取知识的能力 教师的主要任务也不是 向学生传授现成的知识 而是为学生发现知识提高能力创造条件和提供帮助 与传统教 学中的启发式教学相比 两者有一致性 但是启发式教学侧重于教师 问题探究式教学 侧重于学生 因此 问题探究式教学是一种以教师为主导 学生为主体的教学方法 本文以现代教育教学理论为基础 力图通过教学实践 研究在高中数学课堂教学中 如何依据探究学习的特点 探讨探究学习的教学方法 培养学生的探究意识 探究能力 和创新精神 在高中数学课堂教学中进行探究学习的对比实验结果表明 学生探究学习 的能力 随实验的深入差异显著 同时探究学习的能力逐渐渗透到其他各科的学习中 不仅提高了数学学习的成绩 而且也促进了其它学科的学习 关键词高中数学 课堂教学 探究能力 创新精神 a b s t r a c t n o w a d a y s t h ew h o l es o c i e t yp a y sm u c hm o l x a t t e n t i o n t os t u d e n t s s t u d i e s p r i m a r ya n d m i d d l es c h o o l sa r et r y i n gh a r dt or e d u c es t u d e n t s o v e d o a di ns t u d i e s a n dt om a k es t u d e n t s f u l l yd e v e l o p c o n s t r u c t i o n i s t s t h i n k k n o w l e d g e c o m e sf r o mt h ei n t e r a c t i o no f s u b j e c t sa n do b i t s i e t h ep r o c e s so fc o m b i n a t i o nb e t w e e ns t u d e n t sa n ds t u d ym a t e r i a l s i nt h em a t h sq u e s t i o n s e x p l o r i n gt e a c h i n g t e a c h e r sc r e a t et h es e t t i n go f t h em a t h s q u e s t i o n s t oe x e r ts t u d e n t s m a i n r o l ea n dc o n d u c ts t u d e n t st op a r t i c i p a t em a t h ss t u d yp o s i t i v e l ya n da c t b c e l y d u r i n gt h e p r o c e s s s t u d e n t sn o to n l yo b t a i n t h ek n o w l e d g eb u ta l s od e v e l o pt h e i re x p l o r i n gt h i n k i n ga s ak i n do ft e a c h i n gm e t h o d i t se s s e n c ei s e m p h a s i z i n gt h ee x p l o r i n gp r o c e s sb u t n o t o b t a i n i n gt h er e a d y m a d ek n o w l e d g e s t u d e n t s m a i nt a s ki st op a r t i c i p a t et h ef i n d i n go ft h e k n o w l e d g e t op r o m o t et h e i ra b i l i t yi na c q u i r i n gk n o w l e d g e t e a c h e r s m a i nt a s ki st oo f f e r t h ec h a n c e sa n dh e l pf o rs t u d e n t st o a c q u i r ek n o w l e d g ea n d t o i m p r o v et h e i ra b i l i t y c o m p a r e dw i t h t r a d i t i o n a le l i c i t a t i o n t e a c h i n gm e t h o d t h e m a t h s q u e s t i o n se x p l o r i n g t e a c h i n g m e t h o de m p h a s i z e st h es t u d e n t s a 鳓i t yw h i l et r a d 畦o n a ld i c i t a t i o nt e a c h i n g m e t h o de m p h a s i z e st h et e a c h e r s a c t i v i t y t h ee s s a yi sb a s e do nm o d e me d u c a t i o n a lt e a c h i n gt h e o r i e s i ta i m sa ts t u d y i n gt h e e x p l o r i n gt e a c h i n gm e t h o 建t r a i n i n gs t u d e n t s e x p l o r i n gc o n s c i o u s n e s s e x p l o r i n ga b i l i t ya n d c r e a t i v es p i r i ti nm a t h sc l a s st e a c h i n go f s e n i o rh i g hs c h o o lb yt e a c h i n gp r a c t i c e t h e c o m p a r e ds t u d i e s s h o wt h a tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h et w og r o u p so f s t u d e n t su n d e r t h et w od i f f e r e n tt e a c h i n gm e t h o d si sm o r ep r o m i n e n ti nt h ea b i l i t yo fe x p l o r i n gs t u d yw i t h t h ed e v e l o p m e n to f t h ee x p e r i m e n t a n da tt h es a m et i m e t h ea b i i t ya l s oi n f l u e n c e st h es t u d y o f o t h e rs u b j e c t s k e y w o r d s s e n i o rm a t h s c l a s st e a c h i n g e x p l o r i n ga b i l i t y c r e a i i v es p i r i t i v 独创性声明 本人声明所里交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果 据我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意 学位论文作者签名 立叠主查日期 如遗 s 均 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留 使用学位论文的规定 即 东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘 允许论 文被查阅和借阅 本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索 可阻采用影印 缩印或其它复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 学位论文作者签名 通空i 查指导教师签名 日期 垄熊垒 搿日期 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 电话 邮编 引言 新世纪对人的基本素质赋予了新的要求 注入了新的内涵 培养兼备高尚品德与聪 明才干 创新精神与实践能力 具有鲜明个性且善于合作的一代新人 是时代对教育的 要求 是社会对教师的期望 摆在教师面前的任务已不再是简单的教给学生知识 更重 要的是教给学生学习的方法 培养学生终身学习的能力 全面推进素质教育已经成为2 l 世纪我国基础教育改革的发展方向 中共中央国务 院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定 指出 要实施素质教育 就必须改变传 统的学习方法 强调以学生为中心 以探究为主的教学 倡导学生主动参与 探究发现 交流合作的学习方式 要让学生感受 理解知识产生和发展的过程 培养学生的科学精 神和创新能力 同时还注重培养学生处理信息的能力 获取新知识的能力 分析和解决 问题的能力 语言表达能力以及团体协作和社会活动的能力 探究性学习是在二十世纪五十年代美国掀起的 教育现代化运动 中 由美国著名科 学家 芝加哥大学教授施瓦布 j j s c h w a b 倡导的 从那时起 探究就成了教育改革 家们的一个长盛不衰的口号 已经成为全球化科学教育的重要学习方式 本课题立足于现代教育 借鉴国内外已有的研究成果 在高中数学课堂教学中 对 学生的探究学习进行实验研究 通过研究 探讨培养学生探究学习意识和探究学习能力 的方法与途径 探索高中数学课堂教学中进行探究学习的方法 打破传统的 低效率 注入式的教学模式 最大限度地发挥学生在学习过程中的积极性 主动性与创新性 发 挥教师在教学过程中的指导性 调节性 以实现学生全面发展基础上的创造个性的充分 发展 一 问题的提出 2 0 世纪9 0 年代以来 我国教育界进入了一个非常活跃的时期 新的教育观念不断 被介绍进来 新的教学方法不断在尝试运用 其中 探究性学习就是一个影响广泛的热 门话题 探究性学习改变了传统教学中以知识传授为主的方式 为学生构建开放的学习环 境 有利于他们自主地获取知识 这一学习方式引导学生将学到的知识加以综合应用 逐步养成善于提问的意识 勇于探究的精神 勤于实践的习惯 培养收集有效信息 综 合性解决问题的能力 探究性学习的核心是让学生自主获取知识 2 0 世纪中叶以后 随着科学技术的迅猛发展 人类社会生活发生了深刻变化 信息 化 全球化趋势不可阻挡 导致人类对知识 能力 竞争力等概念产生了新的认识 对 于学校教育来说 重要的不是让学生掌握多少现成的知识 而是要让其学会获得新知识 的方法 提高创造新知的能力 为了适应飞速发展的社会现实 培养一批具有创造意识 和研究能力的人才 在未来国际竞争中占据有利地位 2 0 世纪下半叶以来 世界各国教 育管理部门不约而同地把推动学习方式的转变作为课程改革的主要内容 纷纷倡导 主 题探究 设计学习 综合学习 等活动 这些活动有一个共同的理念 让学生自主 学习多一些 为适应新时代对学习的要求 我国的新一轮课程改革也以极大的热情关注着学生的 学习方式 如何促进学生学习方式的变革成为本次课程改革的重点之一 受传统文化和教育体制等因素的影响 我国教育领域长期以来普遍重视具体知识的 传授 灌输式教学方法影响深远 学生在学习中的主体地位和自主发展空间受到了严重 的挤压 旧的教学模式和旧的学习方式已经严重影响了学生对数学学习的兴趣 远不能 适应未来社会对创新人才的需求 因此 在我国中小学教育中开展探究性学习的需要就 更加迫切 任务也更加艰巨 二 探究性学习及其理论依据 探究性学习的概念界定 1 什么是探究性学习 从广义上理解 探究性学习泛指学生主动探究的学习活动 它是一种学习的理念 策 略 方法 适用于学生对所有学科的学习 2 瓢狭义土壤解 掇究洼学麓是据程教学过程中戳瓣题为载体 截设一嚣类钕薅学磷 究的情境和途径 让学生通过自己收集 分析和处理信息来实际感受和体验知识的产生 蓬程 避慈了解享 会 学会学习 壤养努辑竭越 簿凌闫蘧懿戆力释刽造畿力 从教学角魔看 探究性学习是指学生在教师指导下 以类似科学研究的方式 进行 主动搽究的一种学习方式 探宠性学羽具有开放性 探究性 自主性 创新性和实践性 2 国外搽究性学习的一些探索 1 美国的劳伦簸中学 从1 9 8 5 缮开始一盥为7 圣f 级的学生开设 门 扇主研究 课程 该课程磷求学生在教师的帮助下独立从潦某项课题研究 研究要求学生必须自己 提出运题 确定研究谖蘧 设诗骚究方寨 搜集 整毽 分掇资辩 撰写研突壤告 2 英国从上世纪9 0 年代起就把探究活动看作怒g c s e 课程的有机组成部分 程 1 9 9 6 零矮寿夔 国家数学谍程 荚稳兰与藏尔 审 掇究漏动残梵标准 运用 霹艨 用数学 u s i n ga n da p p n n g m a t h e m a t i c s 中的主要内容 二 蛰法国鹣t i p e 臻湄课稔 通过设立一个主题 蟊 学生鸯主进行活动 探索 教帮 可以撮供咨询 但不过多介入 它强调自主 反省和批判的精神 强调多学科知识的运 用 强调小缀的活动 4 日本农1 9 9 8 年起草的2 1 世纪翘教育内骞应有方针的咨询报镑中 提出在全网 本中小学新设 综合性学习时间 每周2 课时 旨猩通过课题研究培养学生自主发现 逡题 色至学习愚考 垂主进行判叛以及更好缝解决 霉题熬素矮帮戆力 5 研究性学习 1 9 5 9 年9 冀 蠢营绣奁 教弯过程 聿蕤馋中 强调教学孛要谴 k 童垂己去发褒 自己得出答案 学会 如何学习 最差要的毅学方 焱足尽可能引导学生自己去发现的 方法 通过这种方法加强学生豹探究鼹力是教育过程瓣核心 1 9 8 3 年4 月美国高等教肖质量委员会发表的 翻家处在危机之中 的调查报告强 调通道调查研究和问蹶探讨的方式进行学习 方面便学生获褥探究能力 弼 方面 增强学生的掾究疑力 科学糖摊及社会责任感和综合的社会实践能力 3 国内探究性学习的现状 d2 0 毽鳃粥年代寒 探究性学习瓣毽念 被我潮教弯界犊受 裁受到了囊度重键 教育部连续召开会议 推动探究性学习 教育部主持制定的 面向2 l 世纪教育振兴行 动诗翔 和薪颁布貔务学辩的 课程椽准 舔强诱要敬交攀浮方法 夔视搽究性学习 管理部门和理论界的热情 迅速推动了探究性学习的嶷践探索 全国肖许多所学校开展 了探究性学习的实践探索 并陆续总结出一些好的经验和做法 2 据报道数学探究性学习的实施和开展方式目前国内主要有两种形态 一是以探 究性课程的开发和实施为主导的研究性学习 二是以数学建模为主题的探究性学习 以探究性课程的开发和实施为主导的探究性学习主张探究性学习应以一门独立的 课程开展 如上海的七宝中学 江苏的太仓中学 深圳的华侨中学等学校的探究性学习 都是以研究性课程的开发和实旅为中心开展的 随着研究性学习的深入开展 人们开始关注如何在学科教学中开展探究性学习 在 探究性学习的探索中 人们不约而同地选择了数学建模 如北大附中 北京十五中 成 都树德中学等 数学建模可以让学生了解数学和其它学科以及日常生活的相互联系 了 解数学应用的广泛性 培养应用意识 2 南京师范大学吴也显教授的 从维持性学习向 创新性学习发展 一文指出 学法指导就是引导学生为面向未来而学 在学习上强调学 生的参与性 选择性 创造性 探究性 自我调控性 3 靳玉乐主编的 探究教学论 更是对探究学习进行了深入的研究 不但从理论 上对探究学习进行了深入研究 提出了理论框架 更对探究学习的模式进行了探讨 探究性学习的理论依据 1 建构主义学习理论 建构主义认为 数学学习并非是一个被动接受的过程 而是一个主动建构的过程 在这个过程中 学生是认识的主体 要充分发挥学生的主观能动性和创造性 引导学生 积极探索 主动发现 达到对所学知识的有意义的建构 2 人本主义学习理论 以罗杰斯为代表的人本主义学习理论认为 人天生就有寻求真理 探索奥秘和创造 的欲望以及自我主动学习的潜能 学习过程就是这种潜能自主发挥的过程 因此 高中 数学探究学习的教学设计应真正从学生的实际出发 给学生以更多的自由 促使学生真正 参与探究活动 3 布鲁纳的认知结构学习理论 美国当代认知派心理学家布鲁纳是发现学习的首倡者 他认为 学习不是被动形成 刺激与反应的联结 而是主动地形成认知结构的过程 布鲁纳强调 知识的学习就是在 学生的头脑中形成一定的知识结构 布鲁纳的发现学习法中 1 强调学习过程 布鲁纳认为学习的主要目的是要学生参与建立该学科的知识体 系的过程 学生是主动积极的探究者 4 2 强调直觉思维 布鲁纳认为在发现学习的过程中 提出假设的阶段 主要依赖 于直觉思维的作用 3 强调内部动机 认为最好的动机莫过于学生对所学材料具有一种内在兴趣 具 有发现的兴奋感和发现的自信感 4 施瓦布的探究教学思想 美国著名科学家 芝加哥大学教授施缸布首次提出 探究式学习 的方法 他认为 探究学习是这样一个过程 学生在对客观事物进行探究的的过程中 通过自身积极主动 的思维活动 发展他们的探究意识和探究能力 从而形成一定的科学概念 这是他们进 一步发展的前提 施瓦布的教学理念强调 知识的获得固然重要 但掌握知识的过程和 方法更为重要 5 萨奇曼的探究教学理论 美国学者萨奇曼认为 儿童生来具有一种好奇的倾向和强烈的探索精神 他们会想 方设法弄清楚这些新奇事物的背后究竟发生 r 什么 这就是一种进行科学探究盼可贵动 力 教师可以充分利用这个机会指导他们如何提问 教给他们对事物进行探究的方法以 及善于随时发现新问题的思维习惯 三 探究性学习在高中数学课堂教学中的实施 普通高中数学课程标准 中指出 探究性课题学习是数学学习的一种新的尝试 其主要目的在于培养学生在数学上的创新精神 敢于质疑 提问 反思 推广 初步经 历数学发现 数学探究 数学创造的过程 从而亲身体验数学探究的激情与愉悦 创 新意识和实践能力的培养 不仅体现在探究性课题的学习中 还应体现在数学教材和数 学教学的全过程中 经过一年多的课题实践研究 本人对中学数学教学中开展探究性学习有了更加深刻 的认识 探究性学习不仅体现在研究性课题的学习中 还应体现在数学课堂教学的仝过 程巾 应重视立足课堂开展探究性学习 探究性学习的课堂教学有两个最显著的特征 一是教学内容的问题化 即以问题为中心组织教学内容 二是教学过程的探索化 即教 师为学生创设问题情境 提供解决问题的依据材料 由学生独立地探究发现知识和解决 问题 j 在新授课教学中 从知识发生的过程设计问题 开展探究性学习 数学概念 定义 定理 性质 公式 法则 是解决数学问题的起点 从知识发生 的过程设计问题 突出概念的形成过程和来龙去脉 是课堂教学开展探究性学习的广阔 领域 学生获得概念的过程 是一个抽象概括的过程 对抽象数学概念的教学 就要关 注概念的实际背景与形成过程 让学生体验一些熟知的实例 克服机械记忆概念的学习 方式 经历知识的形成过程 例1 在学习了二倍角公式后 可设计如下问题 问题1 由二倍角公式 你能把兰的正弦 余弦 正切用q 的三角函数表示吗 从 而引导学生自主推导公式 咖罢 j 翌 c o s 罢 孚 t a n 詈过藤 墨 l 十c o s 口 1 c o s a s i l l 口 问题2 公式 根号前的符号有什么确定 问题3 上述各公式成立的条件是什么 注 这样的设问 思维指向清晰 有明确的教学目的 即让学生自主推导公式 了 解公式间的相互关系 注意公式成立的条件和符号如何选取等问题 这也是三角公式学 习的基本方法 以此加深对知识的理解和感悟 例2 在 两角和与差的余弦 一节的教学中 中构造图形的背景不理解 我设计了如下问题 学生常常对两角和余弦公式推导过程 问题1 一个角q 的终边与单位圆交点p 的坐标如何用 三角函数表示 问题2 再给定一个角b 在单位圆中如何构造出 b 问题3 在右图中 峨弓l 陋只i 成立吗 由此等式你能推出什么结果 jl j 啪穴恭 角 弋裂巧 注 通过这些问题引导 使学生学习的知识和所需的思维过程相吻合 学生在思维 过程中 经历 怎样想 和 为什么想 的情境 形成问题的解决方法 例3 在诱导公式 一节的教学过程中 可设计下列问题 问题l 用三角函数定义求s i n 2 4 0 s i n 6 0 强调在同一坐标系中求 为证明作 6 铺垫 问题2 由学生谈感想并猜想 多数学生得两种想法 s i n 2 4 0 s i n 6 0 s i n 1 8 0 6 0 s i n 6 0 为锐角 再经过思考 有学生进一步猜想s i n 1 8 0 一s i n r 问题3 引导学生验证 可提示 如何在同一坐标系中求s i nq s i n 1 8 0 q 学生都在n 终边上任取一点p x y 设o p r 并顺利找到1 8 0 的终边即n 终边的 反向延长线 接着 有的在1 8 0 终边上任取一点p 并使o p r 利用对称性证得 注 若对教材中的公式 定理进行别证别解 选择适合学生的内容引导其再创造 则既可让学生活用数学知识与方法 又能改变学生盲从教师 教材 迷信权威的心理而 获得思想上的解放 例4 在高中 数学 第一册 下 的 5 6 平面向量的数量积及运算律一节中 学 习了向量数量积的五个性质 三个运算律及例2 之后 由于这些性质 运算律及例题结 论与实数运算是相同的 可引导学生探究 实数有哪些运算律 实数运算的规则可否用 于向量数量积的运算 例5 高中 数学 第一册 下 5 7 平面向量的数量积的坐标表示一节的教学中 可设计如下的开放性问题 让学生自己通过类比 归纳 猜想探求公式 对于两个向量占 m x y 同学们已经知道占 j 而一 x 2 y y 那么 1 对于两个单位向量f 1 o 岁 o 1 则r f 歹 歹 y 歹 2 已知两个非零向量占 t m 占 x 2 y 2 请同学们猜想占 占的坐标表达式 并证明你的结论 课堂上给学生足够的空间 让学生讨论 探究 学生通过类比 由特殊到一般 归 纳猜想得出的公式有 占 占 一x 儿y 昂 占j x i x 2 m y 占 f x 1 x 2 一y l y 学生的猜想有些是正确的 有些是错误的 对他们的猜想先不做评判 让他们自己 说说理由 在证明过程中 去伪存真 得到正确公式 注 在上述过程中 不是将公式简单地告诉学生 而是通过设计开放性问题 让学 生自己通过类比 归纳 猜想得出结论 再对所得结论进行证明 学生己具备一定的观 察能力和抽象概括能力 完全有条件发现正确的结果 7 铡6 在 馥线与方程 黪教学中 对于 夔线豹方程 帮 方程鹣基线 穰念瓣零 入 可利用函数图象设计如下问题序列 问题1 f 列各图中哪然能作为函数图象 无解析式 y 2 一xx 2 y 2 1 问题2 如何修改可作为函数图象 闯题3 疆添上图下的辩孛斤式 并阕 图与式襁一致吗 请教图形 或改关系式 靛两者穗吻合 问题4 既然图象与解析式存在着这种对应关系 怎样反映这种茨系呢 评注 学擞对 蛆线 与 方程 的必系已有了一魑初步的认识 在此基鹚上指导 攀生阅读课本 学生就麓够理解了骨么怒 曲线静方獠 和 方髹的鞠线 例7 在 圆的一般方程 一节的教学中 可进行如下探究活动 1 提出闻题 将豳的标准方程震开翳褥到一般方獠 x 2 y 2 d x 点y f 0 臻么反遘来 澎螽 戆方稷裘示豹莛线楚不是嚣 2 实验 猜想 引导学生对方程 的系数d e f 取特殊值进彳予安验 经过实验得出猜想方程 淡示戆噩l l 线是毅或蠡 氇霹裁不表示锤秘圈形 3 证明 有了猜想的结论 猜想的正确性的诚明也就成了学生自发的需鬻 于是学生对方程 迸勰方 姗矧和 争2 十争2 半 当d 2 村一4 f 眩 方程 表示以 詈 一尹e 爆b 以堡竿丝为半径 的圆 当d e 一4 f on i 方程 表示一个点 一譬 一习e 今 当d 2 e 2 4 f o 所以有e 这正是椭圆的第二定义 注 现实世界中 大量的问题在解决过程中第一方案常不尽人意 但它却是引发人 们再发现的源泉 数学问题的处理方案也不例外 在解决问题的反思中设计探究 这样 9 臀 的设计不仅能有效地培养学生的思维能力激发学生的探究意识 而且可以使数学课上得 生动流畅 表现出它应有的魅力 使学生得到美的享受 例9 在 抛物线及其标准方程 一节的教学中 引出抛物线定义 平面上与一个定 点f 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 之后 设置这样的问题情境 初中已学过的一元二次函数的图象就是抛物线 而今定义的抛物线与初中已学的抛 物线从字面上看不一致 它们之间一定有某种内在联系 你能找出这种内在的联系吗 问题的结论是肯定的 而课本中又无解释 这自然会引起学生探索其中奥秘的欲望 可考虑由y x 2 入手 探究如下 x 2 y j x 2 j 2 y y 2j x 2 j 2 一寺y y 2 寺y j x 2 c y 一三 2 三 2 x 2 y 一 2 p 丢l 它表示平面上动点p 0 y 到定点f o 百1 的距离恰好等于它到直线y 一百1 的距 离 完全符合现在的定义 注 这个教学环节的设计能够很好地训练学生的自主探究能力 例1 0 在 二面角 的概念教学中 可引导学生用类比的方法进行探究 拿一根铁丝作为直线 在上取一点 将直线分成两部分 每一部分都叫射线 将其 中一条绕点旋转就成了一个角 再将直线换成平面 平面内任意一条直线将平面分成两 个部分 每个部分都叫半平面 将其中一个平面沿直线折起 这样的图形就是二面角 然后由学生自己仿照平面角的定义给二面角下定义 注 从旧知识的复习逐渐迁移到对新问题的解决 这体现了类比的数学思想的渗透 同时利用化归的思想将空间问题转化为平面问题 o 在例题 习题课的教学中 开展探究性学习 课本例 习题的结论 反应相关的数学理论本质属性 蕴涵着丰富的数学思维方法 和思想精髓 是学生创新思维的生长点 1 教学中通过对课本例 习题的结论进行引申 推广 拓展 是课堂教学开展探 究性学习的重要手段 例1 1 高一数学新教材第一章 含绝对值的不等式 中基本型不等式 a a 0 的解集是 x k 口 或x 卅 h o 的解集是 叫一a x 0 的条件换成口 r 上谶 结论是否仍然或立 缝谂是鸯定兹 攘导蘩 f 哭绥攘导叠 0 及口 当a 0 时 h 0 x r f l x 0 而按上谳结论得到x o 或z o 或x o 纠 0 解集为蕾 两按上嚣结论得羁翻o x o 零 当矗 髫 芏 r 按上结论硎x 4 或x 川 哦 h 口 解集为m 按上面结论得酬一口 x 口 在口 癌 x 口戴 a 刊 a 铮一口 z 口 注 利用这个推广的结论解某些含绝对值的不等式 去掉绝对值的过程很简单 觅 须采震递豢载分类讨论方法 例1 2 已知臼 b 脚 r 且口 a 扫 饼b 商中 第二册 上 6 3 节例2 撵究 教楗运用了比较法 这是谖明不等式的一弛最基本 最重要的方法 要求学 生务必掌握 另外 观察式子的结构特点 可引导学嫩探究如下解法 1 蔽缓法 证明 筹 百a b b m 小等 1 一字 詈6 掰扫 柳毋 珊o毋 2 构造法 联惩羁善二竺呈蠛篷线戆斜率公式鼋 丝二丛瓣终鞫特征 予是爵考瘩椽造壹线黪 口十掰h 一五 斜率公装来 蒌 诚明 0 a b 即 a m 一a 3 增量法 b a 故可设b a t 伊o 旦旦 a t m l l 鱼 型 1 三 显然 上 一t b m 兰 6 mb 注 对教材的典型例题 习题除了引导学生分析其思维过程外 还应适当引导学生 探索一些新的解法 从隐秘的数学关系中找到问题的本质 探求各种知识的相互联系 探讨多种方法解决问题 因而能发挥例题的教学作用 训练学生求异思维 促使知识之 间的联系 渗透和迁移 例1 3 已知抛物线y x 2 4 x 7 1 求抛物线顶点坐标 2 求将这条抛物线平移到 顶点与坐标原点重合时函数解析式 高中 第一册 下 58 节例3 教材通过抛物线顶点的平移确定平移向量 利用平移公式得出平移后的函数解析 式 y x 2 a 例题引申 引申一抛物线f y x 2 4 x 7 经过怎样的平移可得抛物线f y x 解法一 顶点平移法 抛物线f y x 2 4 x 7 2 2 3 的顶点为m 一2 3 抛物线f 一2 的顶点为m o o 所求的平移向量为肋m 0 一 2 0 3 2 一3 解法二 平移公式法 设平移向量岸 矗 i 抛物线f 上任意一点p r y 按占平移后对应f 上一点 尸p y 由平移公式得 代入y x 得 y 后 j 2 式与f y x 2 4 工 比较得 碧二 平移向量岸 2 一3 解法三 优化公式法 由y x 2 4 x 7 得y x 2 2 3 y s z 2 为 比较得 二 由平移公式 平移向量日 2 3 引申二抛物线f 按岸 2 3 平移后得抛物线f x 求f 的函数解析式 解法一 平移公式法 在f 上任取一点p 魄d 按占平移后对应f 7 上 点p c t y 由平移公式 i 二 代x y x 得y 一3 x 2 2 即y x 2 4 x 7 为所求 解法二 顶点平移法 设抛物线f 的顶点为m i l k 又f 的顶点为m o o 平移向量昂 面矛 2 一3 0 h 0 k i 2 设f 的解析式为y 口o 2 2 3 又平移前后抛物线开口方向相同 开口程度不变 故a l y 2 2 3 x 2 4 x 7 为所求 解法三 平移相对性 由抛物线f 按占 2 一3 平移后得到f 知 f 按一占 2 3 平移后得到f 以下方 法同课本例题 b 例题推广 引申结论曲线f y x 按向量占 q 七 平移后得到曲线 则f 的函数解析 式为j f x h k 证明 在f 上任取一点p 伍y 按向量茸平移后在f 上对应一点p x y 由平移 公式髓 x 一一h b 一 代x y f x 得y k f x 一h 即y f 一 后 f 的函数解析式为y f x 一加 j 理解 曲线f y x 按向量岸 j 平移 即 当h o 或h o 或k o 时 向上 或向下 平移h 个单位 得y 一 i 的图象 c 推广应用 1 曲线f 按向量昂 2 一1 平移后得到抛物线f y x 2 求f 的解析式 解 依题意 抛物线f 按占 占 2 1 平移后得曲线f 由定理知 曲线f 的解 析式为y x 2 2 1 即y x 2 4 x 5 2 函数y s i n x 一三 2 的图象经过怎样的平移可以得到y s i n x 的图象 解 设j s i n x 的图象按占j 平移后得y s i n x 一 2 图象 由定理知 占 詈 2 所求的平移向量占 一占 一三 2 注 综上所知 课本例题蕴含着丰富的数学思想方法 能很好地锻炼学生的思维 故在学习中 应重视对课本例题的研究 例1 4 己知圆的方程是x 2 j 2 2 求经过圆上一点m y o 的圆的切线方程 高 中 第二册 上 7 7 节例2 本题求解方法很多 结果为x o x y o y 2 下面从三个方面进行引申和探究a 引申一若圆的方程是o 一口 2 y 一6 2 r 2 那么经过圆上一点m y 的切线方 程还是x o x y o y 2 吗 下面探求过圆上一点m y o 的切线方程 方法一用例2 的方法 利用点斜式方程求解 可求得过点m y o 的圆的切线方 程为 x o a x y o b y o x o 毋 0 2 1 4 显然不是x o x y o y 2 方法二嗣鹰平面离薰求解 设p 伍y 为切线上的任意一点 如f 图 贝h 有 c m 一以 一b m p x 一 a y o 一罅 弘一 y 一 0 i 一8 苫一 0 一6 芦一y o o 展开整理褥 一 x c y n b y a x o 显然不是x o x y r 2 l y 聱 式m森 7 j b y o c m 上m p得 弓 审二若点材 x o 不在o o x 2 芦2 2 上 两雀o o 外 直线l x o x y o y 2 还是过艏 y o 魏g o 戆切线嗡 若不是 它与g o 的位置关系如何 它是 条怎样的直线 搽究 1 m 在西乡卜 l o m r r ix 0 2 y 0 2 r 2 竣强心翻纛线l 静距离为d 聚蠢 d q 蠕 蛾 l 不是遮掰 b 甄 静0 0 豹韬线 l 与0 0 褪交 2 过m 作0 0 的两条切线m p l m p 2 p l p 2 为切点 如圈 下面探求过点p t p 2 的赢线a 的方程 幂 用例2 的结论 p 1 在薮上 经过p l 戆0 0 臻线方程楚五羔 冀罗 2 m x o y o 在此切线上 x l x o 凡蜘 2 同理有x 2 x o y 2 y o 2 誊线a 上n 点a 耽的璧标 瀵足壹线方程x o x y o y r 2 盥线口的方程为x o x y o y 2 jf m 诵 一一 入一 a 注 教材中的例题 题中概念少 难度不大 但往往蕴涵着丰富的 每容 从变化条 婷豹煮发出发逑舒超关联想 铁多方嚣勰决遍题 不但艇全嚣掌疆基破皴识秘蘩本技戆 而且能培养研究能力 提高分析问题 解决问题及灵活应用数学知识的能力 铡1 5 歪碉鼹癌线瓣焦点到它的澎 i 藿绫熬瓣离等予虚半辘长 高中 第二册 上 习题8 4 第6 题 搽究 诧黼题看骰篱单 稳它是疆莛l l 线猿裔静性痰 是圈睬无穷静河题 闯题的解决 设双曲线方程为兰 一善 1 一条渐近线方程为船一缈 o 口 b 一个焦点为f c 0 由点到直线的距离公式得 汀 丛 堡 厶 4 6 2 口2 c 闻题的翎新 蓑将焦蒯枣蔫矮瓢蛹 葵孽褥蠢 辩 丝c 詈 逡题熬秀翅囊 菪将焦点弓 申为准线与实轴的交点好 o 则褥 d 2 逶遗一蘧多解避行搽究 一题多解娥从不i 司角度 不问侧面切入 采用多种方法解题 既需灵活地邋用基础 知识 基本技熊 基本思想和方法 又要熟悉解题的邋性通法 筛选合理 简洁的解越 思路 因为数学本身是纵横联系的 因褥解题方法是多晕中多样的 关键是不要停留在多 种方法的简单罗列上 要沟通各种方法的联系 要探求较优解法 不仅要有爨的追求 更要套矮熬要求 透过 题多瓣 提毫学生分掇运题 解决翊髓静戆力 诖思维兹广瓣 性和恩维的深刻性 灵活性等同时发展 铡1 6 求s i n 2 l o s i n l 0 c o s 4 0 十c o s 2 4 0 的值 探究一 从基本等式入手 利用葶 角的三角展开式 通过恒 等变形求解 熬法一 综合法 1 6 崩 j c s 4 c o s 3 l 笪2 c o s l c o s 4 0 l s i n l o 拿c o s l o 22 一 式平方褥 c o s 2 4 0 三s i n2 1 0 十s i n l o c o s 4 0 三c o s 2 l o 4 4 p c 0 9 2 4 0 十l s i 建2 1 0 s i n l 0 8 s 4 0 三 三蠡t 1 2 1 0 444 s i n2 1 0 0 s i n l o o c o s 4 0 0 c o s 24 0 0 三 4 注 这种方法运算擅小 便于理解 具有 般性 探突二 扶乘渡公式 三傣旁公式茨变形遴矮出发表解 解法二 添分母凑式法 s i n3 口 3s i n 口一4 s i n3 ai 公式c o s 3 9 篇4 e o s 3 寤 3 s 群 j s i f l3 口 壶 3 s i n a s i n 3 口 e s g 三 3 e s 聪 c o s 3 搿 原式 s i n 1 0 c o s 4 0 s i n 2 1 j 0 s i n l o c o s 4 0 c o s 一2 4 0 s i nl o 一c o s 4 0 s i n3 1 0 0 c o s 34 0 0 s i n1 0 一c o s 4 0 三 3 s i n l 0 s i i l3 0 0 卜 3 c s 4 0 0 c o s l 2 0 0 s i n l o o c o s 4 0 0 3 s i n l o o c o s 4 0 0 3 4 s i n l 0 一c o s 4 0 4 波 这种代数恒等变形与三囊恒等燮形相结合 不但起到了降幂化麓的佟熙 同时 体现了数学解题美 有利于提离学生冤活运用公式的解题能力 攘究三 注意到爨式驰终梅特点 霹考惑潮建垂 余弦翡学方关系隶簿 角翠法三 整体配偶法 设n s i n 2 1 0 s i n l o c o s 4 0 c o s 2 4 0 嚣 c o s 2 1 0 一c o s l o s i n 4 0 s 遮 驰 1 7 则臣2 冀3 0 0 三一 孙 三一三 l m 一片 o 善d 鞠斑2 l o s i n l 0 c o s 4 0 0 e o s 2 4 0 0 三 4 注 这种将三角求值转化为方程求解的方法 迅速 简撼 自然 探究四 考虑到c o s 4 0 s i n5 0 0 又l o o 十5 0 0 1 2 0 0 1 8 0 0 以1 0 0 5 0 1 2 0 0 为内 角褪造兰囊形 盎正 余弦定瑷霹戳求解 解法四 设1 0 0 5 0 0 1 2 0 角的对边分别为麒 b 口 外接圃半径为r 由难弦定理 有 a 一2 r s i n l 妒 b 2 r s m 5 0 0 c 2 r s i n l 2 0 0 3 霞 由余弦定理得 3 月 2 4 r 2 s i n2 1 0 4 r 2s i n 25 0 0 2 2 r 2 s i n l 0 s i n5 0 c o s l 2 0 3 尝4 s i n 21 0 4 c o s 24 0 十4 s i n l 0 c o s 4 0 s i n 2 l o o s i n l 0 c o s 4 0 0 c o s 2 4 0 0 三 4 注 此种方法数形结合 思路别开生面 1 7 己知羹l l 妒 c s 伊 嚣 虽 妒 第一麓 下 复习参考题四第1 9 题 解法一 构造二元一次方程组 撼尹 c o 咿嚣 褥融2 p 2 s i 渺c o 渺c o s 2 9 考 即 s i n 妒 c o s 班等 三 妒 詈 如妒十c o s 妒 罟 n t n n 得s i n 妒一c s 妒 西7 s i n 百1 2 c s 妒一言 解法二 构造二元二次方程缢 f 6 0 檄据遂意可鞋构造下蠢方程组 辍n 尹 c 0 8 鲈2 两 s i n2 妒 c o s 2 妒 1 y 带2o e o s 伊 o 二 鳞 述方程组撂 s m 尹 罟 c o s 妒 言 1 8 解法三 构造一元二次方程 鸯澄翘条佟荔褥鲢藏妒 e o s 妒 百11 因琵豳郎c o s 伊可敬麓 馋方程x 2 1 1 3 7 x 嚣 舱嚣根 解方程z 2 罾x 6 0 6 得一 罢 t 言 又 互4 c o s 矿 1 25 一辍n 尹2 西 c 8 妒 西 空 上述三种解法体现了方程的思想在三角中的度用 解法四 弦化切 鑫已知条传可褥j 霉翌羔2 1 旦 一 坚篓 旦 s i n 妒 c o s 2 妒 1 6 9 1 t a n 1 6 9 酗6 0 t a n 2 f a 1 6 9 t a n l p 6 0 0 锄镪 孚姗经 西5 又 詈 鲈 l t a n 识 了1 2 龇魏 西5 会去 由t a n 妒 堡5 和兰4 妒 三 易得s i n 妒 罟 c o s 妒 言 解法五 利用反三角 由漱妒 s 妒 丽6 0 褥融2 妒 j 1 6 2 9 q 又 互 舻 互 要 2 o 硝 2 q z t a s i i l 堡 4 22 1 6 9 s i n 9 s i n 手一 咖罢 圭 妇爿1 2 0 一v i 学1 1 三9 西1 2 又 三 妒 争 c o s 妒 1 2 言 注 解法四 五灵活运用了三角知识解决三角问题 体现了 总维静炭活性 解法六 利用等比数列 由已知咖妒 c s 妒 2 4 i 5 2 可联想到c s 伽兰芈 s m 妒成簿比数列 设公比为q 1 jl j i l l c o s 伊 2 啪4 菇 劬簪 1 9 盯的 c o 蜘乩 j 尊2 净 2 t 解得n 2 半 s i n 妒 罟 c s 妒 去 解法七 葶l j 用等麓数剜 由予詈 妒 三 s 融2p 矽 1 2 圭 可联想到c o s 2 姊i 1 血2 妒成等蓑数列 设公差为d o d 专 灿n 2 妒 三m c o s 2 妒 三一d 即如妒 1 a c o s q 三一d 贮咖删 嚣 挣儿嚣棚d 蒜 s i n 口 担 坠 里 秽 怛一 生 三 8 1 n 驴 三 i i 嚣石2 西 c 0 8 鲈 i i i 瑟 西 注 解法六 七注意了知识的迁移 灵活运用了数列知识解决三角问题 例1 8 在椭圆苦 丽y 2 l 上求一点 使它与两焦点的连线互相垂寓 高中 数学 第二册 上 置 第十题 撵突 这楚一遂魄较青探磁俊篷戆送 逶 避对其嬲法懿搽突 可潋总结氆一类嚣熬 求解规律和思想方法 增强学生举一威兰的能力 解法一 斜率法 设糖圆的友 右两焦点为只 e 所求点为p t 咒 以下相同 p 在椭圆上 t 丢 苦 l 又 墨卜5 o 五 5 固 煦弘上赐 警2 q i 解方程组 生 2 l 1 4 5 2 0w 得p 点坐标为 3 4 一3 4 丑 一1 一2 5 解法二 交轨法 j 竭土绣 点p 在戳敝五l 菇直径豹强上 e 5 o 互 5 o 故p 在圆苫2 y 2 2 5 上 又 p 在椭圆 4 5 y z 2 1 上 瓣方程缀 丢 嚣 l 爵 霉尹点坐标为 4 一3 蟑 b 2 y 2 2 5 瓣法三 磁雳焦拳经公式 设p 为