04第四章--不定积分.doc

第四章 不定积分一、不定积分的概念和性质1原函数：若，则称为的一个原函数2不定积分：若，则3不定积分的基本性质：（1） 或 ；（2） 或 例1 （1）若是的一个原函数，求；（2）若是的一个原函数，求；（3）若是的一个原函数，求；（4）若，求；（5）求；（6）若，求解 （1）因为，所以（2）因为，所以（3）因为，则，所以（4）因为，所以 （5）（6）二、直接积分法例2 计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）；（9）解（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）三、换元积分法1第一换元积分法（凑微分法）设，则（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）； （10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）注 结合导数、微分基本公式理解这些凑微分公式及后面例题中出现的较复杂凑微分公式； 分部积分法中也会用到凑微分公式例3 计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）解（1）（2）（3）（4） 注 注意区分以上积分中的幂指数为奇数或偶数时的解法若将换为，解法相同（5）（6）（7） （8）（9）（10）被积函数的分子、分母同除以，得（11）（12） （13）（14） （15）*例4 计算下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）解 （1）因为，所以（2）因为，所以（3） （4）因为，所以 （5）因为，所以（6）被积函数的分子、分母同除以，得（7）因为，所以 2第二换元积分法设，则含有形如的根式时，作代换；含有形如、（）的根式时，分别作三角代换：，；（2）当被积函数中分母关于的次数比分子关于的次数至少大时，可考虑倒代换：；（3）当被积函数为所构成的代数式时，可考虑指数代换：例5 计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）解 （1）设，则， 由得，所以 由于，所以 由得，所以 例6 计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）解（2）（3） 例7 计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）； （4）解（1）（2）（3）（4） 四、分部积分法设、都是可微函数，且、都有原函数，则，简写为注 （1）应用分部积分公式的关键，是正确选择和一般把六种基本初等函数“反对幂指三常”（口诀）中位置在前的函数作为；例8 计算下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）；（11）； （12）解（1）（2） （3）（4），由得，所以（6） ， 移项、整理得（7）由得，所以法二 （9）（10）法一法二（11） （12） 注 虽然（12）和（9）中两个积分在形式上差异较大，但解法相同五、有理函数和三角函数有理式的积分1有理函数的积分（1）如果真分式的分母有一次因式，则化为部分分式后，单因式对应形如的简单分式；重因式对应形如， ，的简单分式（2）如果真分式的分母有不可分解的二次因式（其中），则化为部分分式后，单因式对应形如的简单分式；重因式对应形如， ，的简单分式例9 计算下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解 （1）设，上式两端同乘以，得令，得；令，得；令，得所以 （2）设，上式两端同乘以，得将上式左端展开，并比较两边的同次幂的系数，得（3）因为，所以（4）因为，所以2三角函数有理式的积分； ； 例10 计算下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4），（1）（2）（3）（4）注 （1）三角函数有理式的积分需要化为有理函数的积分，而有理函数的积分往往比较繁琐，因此这种代换不一定是最简捷的代换如例4，用凑微分法很简便：（1）通过分子、分母同时乘以某个因式，将分母转化为形如或的单项式； ； ；（2）将分母看作一个整体；（3）借助恒等式：例11 计算下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）解 （1）（2）（3）（4）（5）因为，所以， 习 题 四1求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）；（10）；（11）； （12）； （13）； （14）；（15）； （16）； （17）； （18）； （19）； （20）2设，求参 考 答 案1（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15