有限元基础教学课件PPT.ppt

1 有限元方法finiteelementmethod 2 2 寻求弹性体在外力作用下 物体的变形 内力分布规律 弹性力学的任务 3 1 梁弯曲问题 2 薄板弯曲问题 0 0固体力学中的控制微分方程 4 3 弹性力学三维问题 5 微分方程的数值解法 有限元方法边界元方法加权残值方法有限差分法无网格法 在微分方程的求解中 除了采用级数和逐步逼近等方法得到解的近似表达式外 通常还有一类近似方法称为数值方法 它可以给出解在一些离散点上的近似值 这类方法通常包括 6 有限差分法思想 有限差分法 fdm 是计算机数值模拟最早采用的方法 至今仍被广泛运用 该方法将求解域划分为差分网格 用有限个网格节点代替连续的求解域 有限差分法以taylor级数展开等方法 把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散 从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组 该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法 数学概念直观 表达简单 是发展较早且比较成熟的数值方法 7 边界元法思想 边界元法 boundaryelementmethod 是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法 通常又称边界积分方程 该方法应用格林函数公式 通过选择适当的权函数把空间求解域上的偏微分方程转换成为其边界上的积分方程 它把求解区中任一点的求解变量与边界条件联系了起来 通过离散化处理 由积分方程导出边界节点上未知值的代数方程 解出边界上的未知值后就可以利用边界积分方程来获得内部任一点的被求函数之值 边界元法优点是 使求解问题的空间维数降低一阶 从而使计算工作量及所需计算机容量大大减小 边界元法推广应用的一个最大限制是 需要已知所求解偏微分方程的格林函数基本解 8 加权残值法思想 加权残值法是一种应用广泛的求解微分方程的方法 其基本思想是先假定一族带有待定参数的定义在全域上的近似函数 该近似解不能精确满足微分方程和边界条件 即存在残差 在加权平均的意义下消除残差 就得到加权残值法的方程 由于试函数定义在全域上 所得方程的系数矩阵一般为满阵 选取不同的权函数 可得到不同的加权参量法 如有某一应用科学问题中的控制微分方程及边界条件分别为 求解这个微分方程 假设待定函数的一个近似解 为试函数 9 加权残值法思想 续 3 将 3 式代入 1 和 2 式之后 一般不会满足 于是分别出现了内部和边界残差 为了消除残差 通常引进内部权函数和边界权函数 将它们分别与和相乘 列出消除内部残值方程式及消除边界方程式分别如下 10 无网格方法思想 无网格方法 mesh lessmethod 是在数值计算中不需要生成网格 而是按照一些任意分布的坐标点构造插值函数离散控制方程 问题域由一系列任意分布的节点来代替 不需要用单元或网格来进行场变量插值 也无须描述节点之间的关系 节点的生成可完全由计算机自动完成 这大大节省了分析人员的时间 也相对较容易在分析过程中对节点进行重新划分 11 有限元法思想 基本思想 把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域 在每一个小区域里 假定结构的位移和应力都是简单的低级多项式函数 小区域内节点位移和应力通过弹性力学理论离散转化为代数方程 然后由计算机求解出来 进而获得整个结构的变形和应力 12 有限元方法 优点 有限元可以运用于任何场问题没有几何形状的限制边界条件和载荷没有限制材料性质并不限于各向同性具有不同行为和不同数学描述的分量可以结合有限元结构和被分析的物体或区域很类似通过网格细分可以容易地改善解的逼近度 13 有限元法的应用领域 机械 航空航天 土木工程 自动化工程结构分析 静 动力分析 线性 非线性分析 热分析 流体力学分析电磁场分析地质力学分析生物医学分析 14 14 一个典型的实例是波音777的研发设计 利用计算机建模和数值仿真模拟代替大量的物理样机试验 每次样机试验大约需花费8亿元 最终一次试飞成功 cae在汽车工业中的应用 使研发设计一种新车型的时间由原来的5 6年减少到1 2年 15 15 a 铲运机举升工况测试 b 铲运机插入工况有限元分析 wjd 1 5型电动铲运机 应用领域 机械工程 16 16 a komatsu液压挖掘机 b 某液压挖掘机动臂有限元分析 液压挖掘机 17 17 驾驶室受侧向力应力云图 接触问题结构件应力云图 18 18 液压管路速度场分布云图 支架自由振动云图 磨片热应力云图 19 应用领域 土木工程 20 连续钢桁梁桥力学分析 2010年 沪汉蓉快速铁路合肥枢纽南环线连续钢桁梁柔性拱桥 114 75 229 5 114 75 m施工过程进行力学分析 桥梁由主桁 拱肋和桥面系组成 采用结构分析软件midas计算 全桥空间模型 21 钢桥最危险工况的有限元分析 组合应力图 mpa 22 拼装最后4个节间钢桁梁 组合应力图 mpa 23 成桥状态 组合应力图 mpa 24 应用领域 航空航天工程 25 应用领域 电子工程 26 应用领域 生物工程 应用领域 毕业设计 28 有限元方法 计算机程序 专业化小程序有trussframeplanestressheattransfer 大型通用商业化程序有ansysadinaabaqusmsc nastranmsc marcsap 29 有限元方法 学习目标 理解有限元方法的基本思想认识不同类型单元的行为和应用范围根据实际问题 建立合适的有限元模型如何应用有限元法解题能够解释并正确评估结果的合理性 30 30 一 位移矢量 取笛卡尔坐标轴 对空间上任一点处的任一方向用矢量表示 其单位方向矢量为 0 1应变分析 31 31 引入算子 为梯度矢 几何线性 在单连通域中 一一对应 多连通域中未必一一对应 几何方程 6个 位移应变之关系 p点处在轴的三个微段的变化 得到变状态的6个分量 二 应变 32 32 取p点处一微平行六面体与xyz平行 决定p点应力状态的6个分量记为 体力 外力 一 平衡方程 由微六面体平衡所致 要求可导 0 2应力分析 33 一个面上应力可分解为一个正应力 二个剪应力分量 物体表面上面力矢 应力与外力在表面上平衡 则 其中矩阵 此表面处外法线方向 二 应力边界条件 34 34 对均质各向同性线弹性体 有广义hooke定律 称为弹性矩阵 物理线性 或 0 3本构方程 应力 应变关系 35 35 物理量 lame常数 g 剪切模量 e 弹性模量 泊松比 或 36 位移型 或 连续性 物理性 应力型 自由边 静力平衡 15个方程求解15个未知量 在和上 解法 1 位移法 2 应力法 3 混合法 0 4弹性力学平衡问题的微分方程提法 37 37 位移表示的应力边界条件 由上解出 显式 式中 物体表面 取未知函数 经代换 弹性力学位移法定解问题 38 38 2 对平面应变问题有 1 对平面应力问题有 应力应变关系 应力应变关系 39 39 一 弹性体的形变势能 弹性 簧 力 方向 0 5弹性力学变分原理 40 40 变形过程是静平衡状态 弹簧从a1运动到a2位置 弹性力做功 弹性 簧 力性质 1弹力做功 仅与弹簧初 末变形量 有关 与路径无关 2可正 可负 3特别时 注 外力做功 41 41 特别 以弹簧的自然位置为零势点 则弹性能 弹簧力做功的负值 因为外力与弹簧力反向 故弹性能相当于外力的功 弹性能 外力做功 2 弹性力场中的势能 弹簧力做功的负值 42 42 例 a为杆截面积 l 杆长 弹性杆在轴向力p作用下 3 弹性杆的形变势能 应变能 43 43 假定 弹性体在受力的过程中始终保持平衡 外力p做功 例 射箭 定义 单位体积中具有的应变能称为 应变 比能 记为 对杆 与路径无关 44 44 弹性体 中任一点 处有微元体b 因此 为一般坐标 的场函数 4 一般三维弹性体 45 45 分别为六个分量 推广之 因为应变能 弹性力的功 与变形路径无关 推广到一般线弹性体 可以假定6个应力分量和六个应变分量都按同样的比例 增加到最后的值 用加载 卸载过程说明与加载次序无关 克拉贝隆原理 故一般弹性体比能为 0 5 8 46 46 所以 2 截面积为a的直杆 拉伸 应变能 弹性体比能 47 47 弹性体的边界 形变势能的增加 外力势能的减少 即外力虚功 拉格朗日位移变分方程 0 5 11 二 位移变分方程 48 48 对 0 5 9 0 5 11 拉格朗日位移变分方程 三 虚功方程 虚功原理 49 49 b 四 最小势能原理 50 50 b 即 最小势能原理 在外力作用下 满足条件的各组位移中 实际存在的一组位移u应使系统总势能取极值 可证这也是极小值 极小势能原理 将和 b 代入上式 51 51 因为d是正定矩阵 所以 又 证 极小值 52 52 当位移u满足连续性方程 几何方程 且满足光滑 则 微分方程 五 极小势能原理 虚功原理 平衡性方程互为等价 53 53 对弹力问题 引理 分部积分 gauss公式 a 54 54 注意 b 逐项分步积分 55 则 c 式为 由 a d a 式左端 可以令 d 故称 为强迫边界条件 为自然边界条件 注意到 b 即是虚功方程 反之亦然 最小势能原理 c 56 56 最小势能原理是平衡性条件用变分式表达的数学形式 为强迫边界条件 为自然边界条件 最小势能原理或虚功原理 应用 弹性力学问题等价于 57 57 上述解为下列方程组的解 应变 应变关系 or 极小势能原理 例 弹性力学平面应力问题 或虚功原理 58 58 有限元法是随计算机兴起的一种数值方法 受杆系结构的矩阵分析方式的启迪 60年代初被移植来解弹性力学的平面问题 从此 在力学界刮起有限元热 用来解所有固体 流体的静 动力学问题 并由计算数字工作者升华成为数值解偏微分方程的主要方法 并推广到其他科学领域 如电磁场 温度场等 已开发许多有限元通用或专用软件 供非力学专业人员使用 0 6有限元法分析过程 59 力学问题 解析法 把连续体看成无数多个微单元体组成 从微元体出发 建立了描述弹性体性质的偏微分方程 解微分方程得解函数 ritz法 把连续体的解函数假设一组含待定常数的已知连续函数 在整个连续体 然后通过变分方程 相当于平衡性弹力方程 得到关于待定常数的一组线性代数方程求解 此为近似解 缺点是待定常数过多时 不易程序化 且试函数难取 实验法 得不到一般性的结论 费钱 方法简便 可验证理论解的可靠性 一 经典的解析法 ritz法 有限元法 60 60 4 有限元法 把连续体分划成有限个单元体对每个单元假定一个包含若干待定系数 一般为函数在单元某些节点上的值 的函数 而在其余单元此函数为零 那么连续体的解函数为每个单元的试函数组成 其待定函数代入到弹性力学的几何 物理方程 平衡 变分 方程得到一组线性代数方程求得 主要优点 数值稳定 易于程序化 灵活 适用于任何形状的连续体 61 61 1 数学家从微分方程出发 将基本解区域分划有限个单元 据微分方程 泛函变分形式 建立单元上节点未知量 待求函数 的代数方程求解 2 力学家根据实际力学问题 将连续体分划有限个单元体 由几何 物理 平衡 变分 方程 多个微分方程 建立节点未知量的代数方程求解 二 有限元求解