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第三章多指标决策 3 1概述3 2多指标决策基本概念3 3指标的标准化处理3 4无信息的决策原则3 5线性加权和法3 6加权系数的确定方法3 7熵技术 3 1概述 1 单目标 实数大小比较 多目标 多维向量比较2 例 图3 1五个方案的比较 3 1概述 续 从图3 1可知 方案1 2和3可以被方案4和5淘汰 但是 方案4和5无法判断其优劣 此时 决策者有三个选择1 认为方案4和5都是好方案 从中任选一个方案进行实施2 认为方案4和5都是好方案 然后把它们再综合出一个新的好方案进行实施 3 根据某种意义的最优原则 继续从方案4和5中选择一个满意的方案进行实施 用多目指标决策的术语 方案1 2和3称为劣解 方案4和5称为非劣解 又称有效解 决策者最后选择的那个实施方案称为满意解 3 多目指决策基本步骤1 从可行解中淘汰劣解 2 从非劣解集合中选取一个满意解 3 2多指标决策基本概念 一 实例考虑一个购买战斗机问题 现有4种飞机可供选择 决策者根据战斗机的性能和费用 考虑了6项评价指标 如表3 1所示 表3 1购买战斗机问题决策矩阵 显然 这是一个多指标多方案的决策问题 决策者必须根据自己的偏爱 在综合考虑每个方案的各种指标后进行决策 3 2多指标决策基本概念 续 二 多指标决策和多目标规划1 多指标决策 具有多指标多方案的决策问题2 多目标规划 具有多个目标和约束条件的数学规划 3 多目标决策和多目标规划的差别 见表3 2所示 多指标决策其主要特征是具有有限个离散的方案 它在决策论 经济学 统计学 心理学 管理学科中有广泛的应用 3 2多指标决策基本概念 续 三 多指标决策三个构成要素1 有n个评价指标fj 1 j n 2 有m个决策方案Ai 1 i m 3 有一个决策矩阵D xi j m n 1 i m 1 j n 四 解的意义定义1单指标排序下的最大值和最小值 假定多指标都是求max 3 2多指标决策基本概念 续 定义2理想点F 和最优解A 令F f1 f2 fn 称F 为多指标决策的理想点 如果在m个备选方案中 方案A 的n个指标恰好等于fj 则A 就是最优解 定义3优势原则和劣解如果2个备选方案As和At有关系式则称方案As优于At 记为As At 这时方案At就是劣解 可将其淘汰 定义4非劣解对于某一方案Ak 如果不存在其他方案Ai优于它 i 1 2 m i k 则称Ak为非劣解 或称有效解 3 2多指标决策基本概念 续 定义5满意解根据决策者的偏好信息 从非劣解中选择出来最优非劣解 一般来说它总是某种意义下的最优非劣解推论1如果m个方案只有一个非劣解 则其它m 1个方案一定是劣解推论2如果m个方案只有r个非劣解 则其它m r个方案一定是劣解 1 r m 五 非劣解的平均个数表3 3非劣解的平均数N与方案个m和指标数n统计关系表 3 3指标的标准化处理 一 标准化处理方法假定原决策矩阵为D xij m n 经过标准化处理后得到的矩阵为R rij m n1 向量归一化优点 1 0 rij 1 1 i m 1 j n 2 对于每一个指标fj 矩阵R中列向量的模为1 3 3指标的标准化处理 续 2 线性比例变换优点1 0 rij 1 1 i m 1 j n 2 计算方便3 保留了相对排序关系3 极差变换优点1 0 rij 1 1 i m 1 j n 2 对于每一个指标总是有最优值为1和最劣值为0 3 3指标的标准化处理 续 二 模糊指标变量化1 效益指标2 成本指标 图3 2模糊效益指标的量化 图3 3模糊成本指标的量化 3 3指标的标准化处理 续 三 计算实例考虑一个购买战斗机为题 有4种飞机 选择评价指标有6个 如3 1节中表3 1所示 试对这些指标进行标准化处理 表3 1购买战斗机问题决策矩阵 3 3指标的标准化处理 续 1 定性指标量化首先将第5个指标 可靠性 和第6个指标 灵敏度 进行定量化处理 这两个都是效益指标 根据图3 2可知 它们的量化值如表3 4 表3 4可靠性和灵敏度指标的量化 3 3指标的标准化处理 续 1 采用向量归一化处理公式 可得 3 3指标的标准化处理 续 2 采用线性比例变换公式 可得 3 3指标的标准化处理 续 2 采用线性比例变换公式 可得 3 4无信息的决策原则 一 最大最小原则 MaxMin 如购买战斗机问题的标准化决策矩阵为按最大最小原则得到所以最优方案A A3 3 4无信息的决策原则 续 二 最大最大原则 MaxMax 如根据购买战斗机问题的标准化决策矩阵可得所以 最优方案A A1或A A2或A A3 3 4无信息的决策原则 续 三 折中系数法如取 0 6 则根据购买战斗机问题的标准化决策矩阵可得所以最优方案A A3 3 5线性加权和法 1 加权公式 线性加权和法是在标准化决策矩阵R rij m n基础上进行的 它先对n个标准化的指标构造如下线性加权和评价函数然后按如下原则选择满意方案A 如在购买战斗机问题中 分别取6个指标的重要性权系数为w1 0 2 w2 0 1 w3 0 1 w4 0 1 w5 0 2 w6 0 3 则 则根据其标准化决策矩阵可得U A1 0 835U A2 0 709U A3 0 852U A4 0 738Max U A1 U A2 U A3 U A4 U A3 0 702所以最优方案A A3 3 6加权系数的确定方法 一 专家法1 分别填表并计算有关参数表3 5指标权系数计算表 3 6加权系数的确定方法 续 2 开会讨论首先让那些有最大偏差的专家发表意见 通过充分讨论以达到对各目标重要性的比较一致的认识 二 二项系数加权法假设已知n个指标重要性的优先序 不失一般性 我们可按对称的方式将给定的优先序重新调整 使得中间位置的指标最重要 同时重要性分别向两边递减 则当n 2k时 排序为而当n 2k 1时排序为令二项展开式的各项系数作为着n个指标的权系数 3 6加权系数的确定方法 续 3 6加权系数的确定方法 续 三 相对比较法如果决策者比较容易确定两两指标之间相对重要性程度 则可采用相对比较法确定各指标的权系数 例如将指标f1和f2进行比较 如果决策认为指标f1的重要性程度是指标f2的四倍 则取w12 0 8 w21 0 2 其余类推 并令wjj 0 j 1 2 n 这样 各指标的权系数可按如下公式确定 3 6加权系数的确定方法 续 例 4种电报设备选择假设某工厂要新投产一电报设备 选定4个评价指标为造价 功耗 速率和可靠性 共制作了4种样机 现要决定其中一种进行批量生产 4种样机的各项指标如表3 7 表3 74种样机的各项指标表 3 6加权系数的确定方法 续 解 1 指标成标准化先利用线性比例变换将上表的各方案指标变换成标准化决策矩阵 如表3 8所示 其中 造价和功耗为成本指标 速率和可靠性为效益指标 表3 84种样机的各项指标的标准化值表 3 6加权系数的确定方法 续 2 确定各指标的权系数假设各指标的两两相对重要性程度如表3 9所示表3 9各指标的两两相对重要性程度表根据表3 9的各指标的两两相对重要性程度 可得w1 0 6 0 7 0 8 6 0 350 w2 0 4 0 6 0 7 6 0 283 w3 0 3 0 4 0 6 6 0 217 w4 0 2 0 3 0 4 6 0 1503 求各方案的综合评价值 利用线性加权和公式 U A1 0 756U A2 0 7332U A3 0 645U A4 0 580Max U A1 U A2 U A3 U A4 Max 0 756 0 7332 0 645 0 580 0 756所以最优方案A A1 3 7熵技术熵技术是确定多指标决策问题中各指标权系数的一种方法 它是利用决策矩阵和各指标的输出熵来确定各指标的权系数 考虑m个方案 n各指标的多指标决策问题的决策矩阵D 则利用熵技术确定各目标的权系数步骤如下 1 由标准化决策矩阵R rij m n求Pij 2 求指标fj输出的熵3 求偏差度dj 1 Ejj 1 2 n4 求各目标的权系数wj 当决策者没有明显偏好时的权系数 5 利用wj求修正权系数 j假设决策者对指标fj已有一