二次函数—动点产生的线段最值问题典型例题.doc

中考压轴题精选典型例题讲解二次函数动点产生的线段最值问题【例1】如图，在直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点E是抛物线的对称轴上的一个动点，求当AE+CE最小时点E的坐标；（3）点P是x轴上的一个动点，求当PD+PC最小时点P的坐标；（4）点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值FE解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，抛物线经过A、B、C三点，解得：，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3y=-x2+2x+3= ，该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为（1，4）（2）点A关于抛物线的对称轴的对称点为B，则AE=BE，要使AE+CE最小，即BE+CE最小,则B、E、C三点共线如图，连接BC交抛物线的对称轴于点E，解法一：设直线BC的解析式为y=kx+n，则,解得当x=1时，点E的坐标为（1，2）解法二：设抛物线的对称轴交x轴于点FEFy轴，BEF=BCO，BFE=BOCBFEBOC ，, 点E的坐标为（1，2）（3）作出点C关于x轴的对称点为C，则C（0，-3），OC=3，如图，连接CD交x轴于点P，点C关于x轴的对称点为C，则PC=P C，-CP要使PD+PC最小，即PD+P C最小,则D、P 、C三点共线设直线CD的解析式为y=kx+n，则,解得当y=0时，点P的坐标为（，0）（4）点A关于抛物线的对称轴的对称点为B，则QB=QA，要使最大，即最大,则A、C 、Q三点共线如图，连接AC交抛物线的对称轴于点Q，QF解法一：设直线AC的解析式为y=kx+n，则,解得当x=1时，点Q的坐标为（1，6）解法二：设抛物线的对称轴交x轴于点FQFy轴，ACO=AQF，AOC =AFQAOCAFQ，, 点Q的坐标为（1，6）即当点Q的坐标为（1，6）时，有最大值，最大值为【作业1】（2011菏泽）如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值解：（1）点A（1，0）在抛物线y=x2+bx2上，（1 ）2+b（1）2=0，解得b=-抛物线的解析式为y=x2x2y=x2x2=（ x23x4 ）=（x）2，E顶点D的坐标为 （，）（2）当x=0时y=2，C（0，2），OC=2当y=0时，x2x2=0，x1=1，x2=4，B （4，0）OA=1，OB=4，AB=5AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，AC2+BC2=AB2ABC是直角三角形（3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC=2，连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点EEDy轴，OCM=EDM，COM=DEMCOMDEM ，, m=解法二：设直线CD的解析式为y=kx+n，则,解得n=2，当y=0时，-【作业2】2011四川广安）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD 90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（1，0），B( 1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线yax2bxc经过点D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P使得PAPC若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由（3）设抛物线与x轴的另个交点为E点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值解：（1）由题意可得M（0，2），N（3，2）， 解得：（2）PAPC， P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过（1，2）、（1，0），其所在的直线为yx1根据题意可列方程组解得：P1（）、P2（）（3）如图所示，延长DC交抛物线的对称轴于点Q，根据题意可知此时点Q满足条件由题意可知C（1，2），D（3，0），可求得C