一元三次方程求解史话 肖云霞.doc

一元三次方程求解史话数科院 08（1）肖云霞 06080124一、 引言 庞加莱（法国）曾经说：“如果我们希望预知数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。”了解历史才能更好的研究和促进数学学科的发展。通过对一元三次方程求解的公式的历史追溯，了解其曲折的发展过程，进一步洞悉一元三次方程的求解公式及其在求四次方程中的巧妙应用。二、 方程的历史2.1方程的起源中国古代(8)方程:线性方程组解法和正负术.是具有世界先驱意义的首创.是世界古代著名数学著作之一.十六世纪,随著各种数学符号的相继出现,特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后,含有未知数的等式 这一专门概念出现了,当时拉丁语称它为aequatio,英文为equation。 十七世纪前后,欧洲代数首次传进中国,当时译equation为相等式. 由于那时我国古代文化的势力还较强,西方近代科学文化未能及时，在我国广泛传播和产生较少的影响,因此代数学连同相等式等这些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究. 十九世纪中叶,近代西方数学再次传入我国.1859年,李善兰和英国传教士伟烈亚力,将英国数学家德.摩尔根的译出. 李.伟 两人很注重数学名词的正确翻译,他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词,许多至今一直沿用.其中,equation的译名就是借用了我国古代的方程一词.这样,方程一词首次意为含有未知数的等式. 1873年,我国近代早期的又一个西方科学的传播者华蘅芳,与英国传教士兰雅合译英国渥里斯的,他们则把equation译为方程式,他们的意思是,方程与方程式应该区别开来,方程仍指中的意思,而方程式是指今有未知数的等式.华.傅的主张在很长时间里被广泛采纳。 2.1.1方程的定义直到1934年,中国数学学会对名词进行一审查,确定方程与方程式两者意义相通.方程（英文：equation）是指含有未知数的等式,使等式成立的未知数的值是方程的解,如一元一次方程、二元一次方程等。，广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。数值函数即方程是在变量数学时期发展起来的，是从常量到变量的飞跃。是数学发展中的一次历史性的跨越。2.2一元三次方程求解的历史2.2.1一元三次方程求解的重要历史人物人类很早就解决了一元一次方程与一元二次方程的求解问题（在初一和初二就会学习到有关内容），就是利用韦达定理求解一元二次方程，使其求解有固定的公式解决。但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。于是对一元三次方程的求解使众多的数学家们陷入了困境，许多人的努力都以失败而告终。 帕西奥利1494年，意大利数学家帕西奥利对一元三次方程进行过艰辛的探索，然后作出极其悲观的结论，他认为在当时的数学中，求解一元三次方程，犹如化圆为方的问题一样，是根本不可能解决的，这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数学家迎接挑战的号角。在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔达诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔达诺。那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样。 以此为序曲引出了我们要讲述的关于一元三次方程求解的历史。费罗(Scipione del Ferro, 1465-1526)费罗(Scipione del Ferro, 1465-1526)是一位大学教授，他在帕西奥利作出悲观结论不久，大约在1500年左右，得到了x+mx=n这样一类缺项一元三次方程的求解公式.在求解一元三次方程的道路上，这是一个不小的成功。但出乎我们意料的是，他并没有马上发表自己的成果，与广为传播自己的成功相反，他对自己的解法绝对保密！在当时有其原因，那时一个人若想要保住自己的大学职位，必须在与他人的学术论争中不落败因此，一个重要的新发现就成了一件论争中处于不败之地的有力武器最后直到其临终前，大约1510年左右，他才将自己的这一杀手锏传给他的一个学生。这样他的学生菲奥尔以这一杀手锏的唯一传人在我们的历史中作为第二个人物露面了，菲奥尔本人的数学才能并不突出，但他却因独得费罗秘技而以之炫耀于世，只不过他没能炫耀太久，一个厉害的挑战者塔塔利亚(Niccolo Tartaglia of Brescia, 1499-1557) 出现在他的面前。塔塔利亚(Niccolo Tartaglia of Brescia, 1499-1557)塔塔利亚这是我们历史中出场的第三个人物，其原名丰塔纳。由于口吃的后遗症得了塔塔利亚的绰号，意大利语就是口吃者的意思。那时他还只有13岁，这位有才能的顽强的少年主要通过自学的方式，在数学上达到极高的成就。1534年他宣称自己已得到了形如x+mx=n这类没有一次项的三次方程的解的方法。不久，菲奥尔就听到了这个消息， 二人相约在米兰进行公开比赛，双方各出三十个三次方程的问题，约定谁解出的题目多就获胜塔塔利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕，经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法。于是在比赛中，他只用了两个小时的时间就轻而易举地解出了对方的所有题目，而对方对他的题目却一题都做不出来这样他以30:0的战绩大获全胜。这次胜利为塔塔利亚带来了轰动一时的荣誉。塔塔利亚为胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解法。到1541年，终于完全解决了三次方程的求解问题或许是出于与费罗同样的考虑，或许是想在进一步酝酿后写一本关于三次方程解法的书的缘故，塔塔利亚没有将自己的成果很快发表。卡尔达诺(Girolamo Cardano, 1501 -1576)卡尔达诺(Girolamo Cardano, 1501 -1576)，一位或许是数学史中最奇特的人物他的本行是医生，并且是一个颇受欢迎的医生，但其才能并没有局限于此，他在各种知识领域里显示出自己的天赋，除了是一个极好的医生外，他还是哲学家和数学家，同时是一个占星术家，并在这些知识领域里都获得了重要成果他行为有些怪异，性好赌博，人品看来也不太佳在他去世后一百年，莱布尼兹概括了他的一生：卡尔达诺是一个有许多缺点的伟人，没有这些缺点，他将举世无双。在我们历史中，卡尔达诺正是一个将才能与不佳的人品集于一身的人 。在塔塔利亚与菲尔奥的竞赛后不久，在此之前卡尔达诺对三次方程求解问题已进行过长时间的研究，却没有得到结果。于是可以想象得到他很想知道塔塔利亚的解三次方程的奇妙技巧。为此他多次向塔塔利亚求教一元三次方程的解法，开始都被塔塔利亚拒绝了，但最终在卡尔达诺立下永不泄密的誓言后，他于1539年3月25日向卡尔达诺公开了自己的求解方法。 然而卡尔达诺并没有遵守自己的诺言，1545年他出版大术一书，将三次方程解法公诸于众，从而使自己在数学界名声鹊起当然，其实卡尔达诺的大术一书并非完全抄袭之作，其中也包含着他自己独特的创造。然而，这种失信激怒了塔塔利亚，1546年他在各式各样的问题与发明一书中严斥卡尔达诺的失信行为，于是一场争吵无可避免地发生了一时间，充满火药味的信件在双方之间飞来飞去。费拉里(Ludovico Ferrari, 1522-1565)1548年8月10日在米兰的公开辩论，使这场冲突达到白热化。卡尔达诺在这场公开辩论中自己避不出席而是派遣了一位学生出马这个学生的名字叫费拉里(Ludovico Ferrari, 1522-1565)，费拉里15岁时充当卡尔达诺的家仆，主人发现了他的出众才能，接受他为学生和助手。18岁时接替卡尔达诺在米兰讲学。其最大的贡献是发现四次方程的一般解法。现在这位以脾气暴躁著称且又忠诚的学生要报答老师的知育之恩了。在这场公开的辩论中，塔塔利亚先以三次方程的迅速解答取得优势，而费拉里则指则对方不能解四次方程。最后以塔塔利亚的失败而告终。后者宣称了自己胜利是由于卡尔达诺最早发表了求解三次方程的方法，因而数学上三次方程的解法至今仍被称为卡尔达诺公式，塔塔利亚之名反而湮没无闻了。 2.2.2一元三次方程求解的具体方法首先介绍一元二次方程的求根公式, 从这个韦达定理中, 人们受到启发,对一元三次方程及一元四次方程进行求根公式的探索和发现。一元二次方程的解对于一元二次方程的一般形式：ax+ bx+ c= 0 ( a0)化成平方形式变形得，即，上式整理得到故有，这个就是对于一元二次方程的公式解，即只要知道a,b,c的值，就得到一元二次方程的解。一元三次方程的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x+px+q=0(缺二次项)的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。我归纳出来的形如x+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为型，即为两个数开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出u、v，也就是用p和q表示u和v。方法如下： （1）将两边同时立方可以得到 （2）（3）由于,所以（2）可化为 ,移项可得 （4）,和一元三次方程和特殊型作比较，可知 (5)，变化形式得 （6），（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为和可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ax+ bx+ c= 0 ( a0)的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）, (9)对比（6）和（8），可令，(10)由于形如ax+ bx+ c= 0 ( a0)的一元二次方程的求根公式为 将(9)中的，构造成一元二次方程 代入（10）可得 (11)由根与系数的关系知： ，(12)由（11）可得u,v的三个解，即u,uw,或v,vw,将u,v代入得 (13),只是一元三次方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。塔塔利亚发现的特殊一元三次方程的解法 设一元三次方程的特殊形式是x+px+q=0（缺一次项）,那又该如何求解呢？这种方程更接近于一般方程的求解。塔塔利亚将这种方程通过变量平移的形式，转化成缺二次项的形式，具体操作如下：如果作一个横坐标平移,那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如x+px+q=0(缺二次项)的一元三次方程（上面已经解决）。假设对于一般方程ax+bx+cx+d=0的解x可以写成的形式，这里t是待定的参数。代入方程，我们就有 整理得到即由一元三次方程根的求解公式可知，,转化成的形式，由（11）中的公式一定可以解出t，进而得到x,再由求出一般的一元三次方程的根。即缺一次项的一元三次方程（c=0）均可转化为缺二次项的一元三次方程，进而利用已经得到的求根公式求解。这一求解至今仍有着广泛的应用，则关于x的一般一元三次方程ax+bx+cx+d=0（）的三个根分别设为，则，此结论概括了一元三次方程的根与系数关系，亦称为韦达定理。此式作为一元二次方程的韦达定理有很广泛的应用，在思维上有一定的灵活性和深广度（现代人根据塔塔利亚的解法归纳出的）。3.一元三次方程的应用费拉里发现的一元四次方程的解法，可以归结为一元二次和三次方程进行计算。完全按照一般的数学解决问题的思维模式，将高次问题转化为低次问题，利用已有的求根公式进行求解。一元四次方程的一般形式为 ，为简便起见，考虑系数u=1的情形，若，总可以除以u，使之转化为最高次项系数为1的情形。关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式，这样就可以降次，进而利用已有的公式求根，得到方程的解。步骤如下：（1） 移项得目标是降次，先将左式配成完全平方得到（2） ，即是现在再想办法把右式配成完全平方，不妨添上一些项，把右边的式子也转化成完全平方，如下： （3），即是（*）若使右式成为完全平方式，就是，化简得到 为一元三次方程，则由一元三次方程的公式解得到t的三个解。其中一个设为，代入（*）式得到，（*）式可以转化成形如，那么等式就转化成，这样，由平方的性质就可以得到，又转化为一元二次方程的求解，利用一元二次方程的根的求解公式即韦达定理可得到x的解，于是一元四次方程解也求出来了，且具有一般的求解公式形式。三、小结从一元低次方程到一元高次方程的求解，经历了很漫长的道路。正如“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”这句