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抽象代数讲义 张起帆 sept 6 2011 2 contents 1代数结构9 第一讲 群的基本知识快速回顾 9 1 1集合论预备知识 9 1 2抽象群与变换群 10 1 3同态基本定理 11 1 4群的生成元 循环群 12 1 5群的例子和练习 13 第二讲 更多代数结构 14 1 6环的基本知识 14 1 7典型例子 15 1 8基本定理 18 2群论初步21 第三讲 有限生成abel群的结构 21 2 1群的扩张 21 2 2群的直和 23 2 3有限生成abel群的结构定理 24 第四讲 有限生成abel群的结构定理的证明 26 2 4存在性部分证明 26 2 5唯一性部分 29 2 6例子 31 第五讲 有限非交换群 33 2 7对称群sn 33 2 8jordan holder定理 35 2 9自同构 36 第六讲 群在集合上的作用 一 38 2 10 群作用基本知识 38 2 11 sylow第一定理 40 第七讲 群在集合上的作用 二 41 2 12 sylow第二 第三定理 41 3 4contents 2 13 群作用的更多例子 43 3环 模论初步45 第八讲 环的算术性质 一 45 3 1环的基本知识 45 3 2唯一分解整环 主理想整环 eulcilid环 46 第九讲 环的算术性质 二 48 3 3euclid环的数论应用 48 3 4追溯历史 理想的产生 49 3 5理想的运算 50 3 6整环的分式域 51 第十讲 环的几何性质 一 53 3 7gauss定理 53 3 8代数几何简介 54 第十一讲 环的整性与模 58 3 9代数与几何 58 3 10 整性 58 3 11 模的概念 60 第十二讲 线性代数模拟 62 3 12 模的基本知识 62 3 13 同态基本定理 62 3 14 模的直和 63 3 15 自由模 63 第十三讲 主理想整环上有限生成模的结构定理的应用 67 3 16 定理证明的唯一性部分 67 3 17 定理的应用 68 第十四讲 一些代数常识 72 3 18 代数 72 3 19 范畴语言简介 73 4域扩张理论75 第十五讲 分裂域 75 4 1域扩张基本常识 75 4 2分裂域 77 第十六讲何时 gal e f e f 79 4 3定理补证 79 4 4有重根的多项式 79 4 5有限域 80 4 6正规扩张和可分扩张 82 contents5 第十七讲galois理论基本定理 84 4 7子域的研究 84 4 8galois理论主要定理 86 第十八讲代数方程的求解问题 89 4 9方程的根式可解及关于高次方程的galois定理 89 4 10 galois准则的证明 92 第十九讲域扩张的进一步的理论 93 4 11 典型的域扩张 93 4 12 迹 trace 和范 norm 94 4 13 hilbert定理90 96 6contents 引论 本课程假定学生有初等数论基础 并知道群环域的一些基本知识 主要内容预计如下 1 代数结构 2 群论初步 3 初等环 ring 模 module 论 4 域 fi eld 的galois理论 5 较高级的理论 以下三部分选一 交换代数 同调代数和群表示 忠告 学习抽象代数或其它抽象的理论时 切勿陷在抽象中 必需了解适当背景 考察大量 例子 逻辑6 数学 7 8contents chapter 1 代数结构 第一讲 群的基本知识快速回顾 1 1集合论预备知识 大家都知道集合 映射 关系等概念 现介绍一些常用工具 交换图 下图是关于一些集合与映射的图 a f b y y c g d 我们称这个图表交换 如果 f g 即a中的元沿着两条路到达d得到同一个元 运算 集合s的一个运算是指一个映射f s s s 我们常常说一个运算 是指将 a b 的像f a b 记作a b 记号 不是本质 f才是 我们说 运算 或 f 具有结合律是指对任意a b c s 有 a b c a b c 或下图交换 s s s f 1 s s 1 f y f y s s f s f 1 a b c f a b c 1 f a b c a f b c 我们说运算 或 f 具有交换律是指对任意a b s 有a b b a 或下图交换 s s f j j j j j j j j j j i s s f s i a b b a 9 10chapter 1 代数结构 运算封闭 集s上有运算 我们常说s的某子集a对 封闭 是指对任意a b a 都 有a b a 这样a就可以继承s的运算 等价关系与划分 我们知道给集合x上一个等价关系 等同于给x的一个划分 即把x分 解为一些不交子集的并 每个a x在一个子集 即等价类 中 记为a 记 x x x x 称之为x对 的商集 有自然投射 x x x 7 x 命题1 1 1 设有集合的映射 x y 在x上定义等价关系 如下 a b a b 则存在唯一映射 使得下图交换 x e e e e e e e e e x y 并且 是单射 命题的证明留作练习 1 2抽象群与变换群 先介绍群等概念 群 group 设g是一个集合 g上有一个运算 如果运算满足以下三条性质 1 结合律 对任意a b c g 有 a b c a b c 2 单位元 或称恒等元 存在e g 使得对任意a g 有a e e a a 3 逆元 对任意a g 存在b g 使得a b b a e 称b为a的逆元 称g关于运算 构成一个群 或称 g 是一个群 有时简单地说g是一个群 如果进一步满足对 任意a b g 有a b b a 称g是一个交换群或abel群 如果只满足1 称g是一个半群 如果 只满足1 和2 称g是一个幺半群 注 如果将2 和3 分别改为看似较弱的2 和3 2 存在左单位元 即存在e g 使得对任意a g 有e a a 3 左逆元 即对任意a g 存在b g 使得b a e 那么依然可 推 知g是一个群 推导过程留作练习 群运算最常见是记为加法或乘法 当 记乘法时常省略乘号 间记为ab 自然也有记号an n为整数 可以为负 同样地当群运算记为 加法时 有记号na 习惯上 如果记加法 则表示群为交换群 单位元记为0 子群 subgroup 群g的一个子群h是指对 g的 群运算和求逆运算封闭的子集h按继 承的g的运算构成的群 通常记h g 命题1 2 1 设g是一个群 h是子集 则h构成子群当且仅当对任意a b h 有ab 1 h 1 3 同态基本定理11 陪集 对h g和任意g g 称g的子集gh gh h h 为一个左陪集 同样可定义右 陪集 命题1 2 2 设g是一个群 h g 则所有关于h的左陪集构成g的一个划分 且每个左陪集都 与h有相同的基数 以上两个命题的证明都很简单 留作练习 作为推论有以下所谓拉格朗日定理 定理1 2 3 设g是一个有限群 h是子群 则 h 正处 g 变换群 transform group 对任意集合x 可定义s x x到自身的所有双射 按映 射的合成形成群 称为x的全变换群 它的任意子群称为变换群 我们将看到抽象群与变换群是一样的 首先应弄清什么叫 一样 群同态 两个群之间的映射 g g0称为同态 如果 保持群运算 即对任意a b g 都有 ab a b 群同构 一个群同态同时是双射时 称为群同构 当存在群g到群g0的同构时 称g同构 于g0 注 对群同态 g g0 一定有 1 e e0 a 1 a 1 2 的完全像 g 是g0的子群 3 若 是单的 则g同构于 g 定理1 2 4 caley 任何群都同构于一个变换群 证明 设g是一个群 考察变换群s g 作映射 g s g g 定义为g到自己的左平移映射 x 7 gx 首先由g是群知道 g 的确 在s g 中 即 是映射 只要证明 是单同态即可 1 验证 是同态 即证明对a b g 有 ab a b 即证明对任意x g有 ab x a b x 而上式两端都是abx 当然相等 2 验证 是单的 即由 a b 导出a b 而这是显然的 因为a a e b e b 1 3同态基本定理 正规子群 normal subgroup 设g是群 h是子群 称h是g的正规子群 记为h g 若对任意a g 均有ah ha 当然也可等价地说成对任意a g 均有aha 1 h 甚 至aha 1 h 商群 factor subgroup 对g的正规子群h 记g h ah a g 则g h按运 算 ah bh abh形成群 称为g对h的商群 单位元是h 注 在验证g h成为群时 关键是运算的合理性 由下列等式给出 xy x ah b bh abh 12chapter 1 代数结构 定理1 3 1 同态基本定理 设有群同态 g g0 称ker x g x e0 为 的核 则ker g 且有如下交换图 g g g g g g g g g g g g ker g0 并且 是单同态 特别地 若 是满的 则 是同构 证明 先证ker g 对任意a g x ker 有 axa 1 a x a 1 a e0 a 1 e0 从而axa 1 ker 说明ker g 再证明由相同像给出的 g上的 等价关系与由陪集给出的 等价关系一致 即 x a xh ah 细节略去 对比线性方程理论中通解和特解的关系 最后机械地验证 的确是同态 注 同态基本定理有以下常见的加细 1 若h g 则群同态 g g0有类似分解图 g d d d d d d d d d g h g0 当且仅当h ker 进一步 只有在h 1 当r为交换环 时 可定义矩阵a mn r 的行列式deta 且有如下基本结论 16chapter 1 代数结构 矩阵可逆当且仅当行列式可逆 r上n阶可逆矩阵形成乘法群 记为gl n r 注记 以后会定义一个概念叫代数 然后称mn r 为一个r 代数 因为它既是一个环 又是 一个r 线性空间 当r不是域时 这种说法暂不严格 2 现在给一个非交换的除环的例子 称为hamilton四元代数 它是实数域的4维线性空间 又是 一个除环 但不交换 第一种 抽象 定义 设有i j k三个符号 满足 i2 j2 k2 1 和 ij k ji jk i kj ki j ik 记h为所有形如a1 a2i a2j a3k ai r的对象的集合 在h上定义加法和乘法运算 乘法运 算由上两组关系决定 使之成为环 称h为hamilton四元代数 可以验证h确实是除环 第二种 具体 定义 在矩阵代数m2 c 中取由形如 ab ba 的元素组成的r 子空间h 显然它作为r 空间是4维的 也容易验证它是子环 只需检查运算封 闭 它的一组自然的基为 10 01 i0 0i 01 10 0i i0 将第一个矩阵视为1 其余3个分别视为第一种的i j k 显然满足那几组基本关系 注记 两种定义的等价性很容易证明 第一种初看起来不易接受 但容易得到唯一性 第二 种的存在性不需担心 实际上在h中与i j k具有同等地位的元素很多 h的任意包含r的二维子 空间一定构成一个子域且同构于复数域 对四元代数h上的元 可定义共轭元 利用共轭可定义 从h到r有两个重要映射分别称为迹映射和范映射 细节见后边的练习 3 多项式环和幂级数环 设r为交换环 可按通常运算定义r上的多项式环r x 和形式幂级数环r x 如下 r x n x i 1 aixi n z ai r r x x i 1 aixi ai r 1 7 典型例子17 注意x只是一个字母 与r无关 当然x也是r x 和r x 中的元素 定义另外两个环 a为r上 序列之集按卷积运算构成的环 b为a的子环 由那些几乎所有项都为0的序列组成 显然有 a r x b r x x对应于序列0 1 0 0 一个多项式f自然给出r到r的一个多项式函数 但多项式环和多项式 函数环未必同构 多项式环据有如下范性 设 是从交换环r到任一交换环a的同态 则 可自由地扩充到r x 只要任取a a 让 x a即可 这个结论也可简单推广到多元多项式环 关于幂级数环有如下基本性质 p i 1aix i r x 可逆当且仅当a0可逆 练习 一 证明h和m2 r 都满足如下性质 1 是4维r 代数 且中心为r 即与全体元都可换的元为r中元 2 每一个包含r的二维子空间一定构成一个交换子环且h的这种子空间同构于复数域 m2 r 的 这种子空间可能同构于复数域 也可能同构于一种有零因子的环 想想看是什么 3 存在一个到自身的共轭映射和两个到r的映射 分别称为迹映射和范映射 具体定义如 下 对h r ri rj rk 定义共轭为 a bi cj dk a bi cj dk 它有基本性质 x y x y xy yx x x x r 定义迹映射t和范映射n为 t x x x n x xx 有基本性质 t x y t x t y n xy n x n y 当h被看作m2 c 的子代数时 共轭 迹和范分别是矩阵的伴随 迹和行列式 对m2 r 直接定 义共轭 迹和范分别是矩阵的伴随 迹和行列式 对a为h或m2 r 可统一定义共轭 迹和范如 下 若 r 则 t 2t n 2 若 6 r 记f x x2 a1x a2为 在r上的极小多项式 t a1 n a2 a1 18chapter 1 代数结构 4 利用h的范映射完成前面的关于4平方和的恒等式 二 给出由 10 01 和 01 10 张成的r 线性空间作为域与复数域的同构并证明恒等式 cos sin sin cos n cosn sinn sinn cosn 你能否用矩阵重新定义复数 三 描述满足关系a2 1的所有实2阶矩阵 四若域f有一个子域为实数域r 或称f是r的扩域 且f作为r 空间是有限维的 则维数 只能是1 或2 1 8基本定理 与群类似 有同态基本定理如下 定理1 8 1 设有环同态 a b 核为ker 则对a的理想i ker 和自然同态 a a i 可按唯一方式作如下分解 a b b b b b b b b a i b 当i ker 时 是单的 特别地 如果 是满的 则有同构 a ker b 还有所谓第二同态基本定理 定理1 8 2 第二同态基本定理 群版本 设有群的满同态 g g0 则 a 7 a b 7 1 b 给出g的包含ker 的子加群和g0的子加群之间的一对 互逆的 一一对应 并且正规子群对应正 规子群 进一步 我们有 g a g0 b 1 8 基本定理19 环版本 设有环的满同态 r r0 则 i 7 i j 7 1 j 给出r的包含ker 的理想和b的理想之间的一对 互逆的 一一对应 进一步 我们有 a i b j 证明 我们只证群版本 环版本完全一样证 由于 是满的 故简单的集合论告诉我们 1 b b 我们只需证 1 a a 进一步简化到证明 1 a a 因反包含关系是平凡的 任取x 1 a 则 x a 即有a a 使得 x a 故x aker aa a 此外当b正规时 对合成映射 g g0 g0 b 用同态基本定理可知a 正好是核 也正规 且有同构关系 若已知a正规 自然同态 g ker g a 和同构g ker g0给出同态 g0 g a 其核正好是b 最后再用同态基本定理即可 然后有两个基本同构定理 定理1 8 3 1 设g是群 h和k都是g的正规子群 且k h 则 g k g h k h 2 设g是群 h g k 1 取素数p m 则a m p的阶 是p 它生成一个p阶子群 必然是非平凡的 正规 子群 与g是单群矛盾 现在给出可解群的另一常见刻画 交换子 群g的交换子是g的由所有 a b aba 1b 1 a b g生成的子群 记为g 1 它由下列 性质刻画 1 g 1 g 2 g g 1 是abel的 3 任何满足h g g habel的h 必有g 1 g 注 3 可改为g到任何abel群的同态可通过g g 1 分解 因此有下列概念 abel化g g 1 称为g的abel化 记为gab 它是g的最大abel商 显然g是abel的当且仅当g 1 1 归纳地定义g n g 1 n 1 于是有下列命题 命题2 1 2 群g可解当且仅当存在r满足g r 1 证明 充分性 此时g有现成的次正规列 1 g r g r 1 g 1 g 0 g 每个商群都是abel的 再证必要性 设有次正规列 1 gr gr 1 g1 g0 g 使得每个商群都是abel的 由g g1abel知g 1 g1 g 2 g 1 1 g 1 1 g2 最后一步用到 了g1 g2abel 归纳可得g r 4 注 i就是有限交换单群 由命题2 2 1刻画 ii将作为本课的大定理之一在以后证明 整个有 限单群分类定理不可能证明 作为常识 记住证明过程中的一个关键定理是 奇数阶群可解 本课程还有一个基本定理是sylow定理 它主要是说有限群的素数幂阶子群的存在性及进一 步描述 sylow定理证明的主要工具是群在集合上的作用 当然群在集合上的作用绝不仅仅起这 个作用 而是非常重要的数学工具 不限于代数 2 2群的直和 有一种自然的由两个群g1 g2构造新的群的方法 做笛卡尔乘积g1 g2 按分量定义运算 得到一个群 这个群称为g1与g2的 外 直和 这里的外指的是从集合上 g1与g2不是g的子 集 但它们分别到g1 g2有单同态 g17 g1 e2 g27 e1 g2 其像g01与g02则分别是它们的 影子 只要你愿意 可以不区别 作为g1 g2的子 群 g01与g02满足以下三条性质 1 g0i g1 g2 i 1 2 2 g01g02 g1 g2 3 g01 g02 空集 2 和3 一起给出g1 g2到g01 g02的双射 1 保证这是同构 我们可以说g1 g2 综上有如下结论 群g g1 g2 当且仅当存在g的分别同构于g1和g2的子群g01和g02 满足以下三条性 质 1 g0i g i 1 2 2 g01g02 g 3 g01 g02 空集 我们可以说g是g01与g02的 内 直和 这里的内指的是g01与g02是g的子集 记为 g01 g02 前面的结论实际是说内外直和本质相同 以后看到 g g1 g2 24chapter 2 群论初步 可以指内外直和 就看g1与g2是否g的子群 最重要的是迅速翻译内外只和 一般地 两 个群构造新的群用外直和 将一个大群分解为子群的直和用内直和 例如 用外直和可得 群z 2z z 2z 对用乘法表给出的klein群g e a b c 可以取子群g1 e a g2 e b 验 证有内外直和关系 g g1 g2 z 2z z 2z 直和可以由两个群推广到任意有限个群 细节自己补充 2 3有限生成abel群的结构定理 定理2 3 1 对任何有限生成abel群m 存在唯一的非负整数r m 和m个大于1的整数d1 d2 dm 使得 m zr z d1z z dmz 注 若r 0 则前面部分zr消失 若m 0 则后面部分消失 因为这里关心的是分类 所 以有外直和 意味着一个有限生成abel群对应一组数据 r m d1 dm 用内直和的语言 就是 存在m中若干 可以是0 个无限阶元 1 和若干 可以是0 个阶数有整除关系的有限阶 元 1 m 满足 m z 1 z r z 1 z m 定理赏析 如何找出尽可能多 最好是全部 的有限生成abel群 首先想到由一个元生成的 那就是无限循环群z和有限循环群z nz 然后想到把有限个循环群做直和 定理告诉我们这样 已经给出了全部 并且有限群部分还有某种标准表示法使得唯一性成立 例 z 3z z 5z z 15z 用孙子定理 z 45z z 75z z 15z z 9 25z 反复用孙子定理 与循环群类似 我们有 n个元生成的abel群同构于zn的商 于是研究有限生成abel群的分 类就是分类zn的商 先对zn做一些描述 有限生成的自由abel群 同构于某个zn的群称为有限生成的自由abel群 n称为群的秩 基 若群abelg中有元素e1 en满足 1 g ze1 zen 2 a1e1 anen 0 a1 an 0 则称e1 en为g的一组基 基也可等价地描述为g ze1 zen且每个ei是无限阶 显然一个群有这样一组基等价于这个同构于zn 注意 一旦有基 就会有大量的基 给一组 基就是给一种同构于zn的方式 现在我们有定理证明的方案如下 1 证明有限生成abel群同构于有限生成自由abel群的商 这一步的证明只需同态基本定理 完全平行于研究循环群的方法 第一步把问题化为分类有 限生成自由abel群的商 2 研究有限生成自由abel群的子群的结构 有下列结论 2 3 有限生成abel群的结构定理25 秩为n的自由abel群的子群一定是秩 n的自由abel群 应注意的是真子群的秩可以为n 自己举例 这一步的证明需用到下列引理 钟无倦 设g是abel群 若有h 1 且结论对秩 1和 n 只需将m的一组基分成两块即 可 现设g是m的任意子群 那么g h h 由归纳假设知 g h是自由的 此外 g g h g h h m h 再用归纳假设知 g g h是自由的 上述两段黑体结合引理知g自由且秩不超过n 2 证明若abel群m有一组基e1 en 则m有大量基 且全部基是 1 n e1 en a a跑遍gl n z 首先由e1 en是基知任一组元 1 n必可唯一表为上式 不过只能保证a mn z 需 要说明 1 n是基 当且仅当a可逆 先证必要性 由于 1 n是基 有矩阵b mn z 使得 e1 en 1 n b 故 e1 en e1 en ab 从而ab in 即a gl n z 再证充分性 取行向量x zn 使得 1 n 0 即 e1 en ax 0 而e1 en是基 故ax 0 从而x 0 即 1 n是基 3 设m是秩为n的自由abel群 n m是秩为m的子群 则存在m的一组基e1 en 和n的一组基d1e1 dmem 且有d1 dm 28chapter 2 群论初步 首先任取m和n的各一组基e01 e0n和 01 0m 则有整数矩阵a满足 01 0m e01 e0n a 由 2 知只要取矩阵p gl n z q gl m z 我们可得到m和n的另外各一组基e1 en和 1 m满 足 e1 en e01 e0n p 1 m 01 0m q 综合各式有 1 m e1 en p 1aq 我们需要的变成寻找适当可逆矩阵p q使得p 1aq成为对角形 且元素有整除关系 这归 结为如下引理 引理2 4 2 对任何n m整数矩阵a 存在可逆方阵p q使得paq成为成为对角形 且元素有 整除关系 证明 先定义三类初等行 列 变换 1 将矩阵的某一行 或列 乘以一个z的单位 即 1 2 将两行 或列 交换 3 将某一行 或列 乘以一个元素加到另一行 或列 上 与一般线性代数中一样 做一个初等行 列 变换等于左 右 乘相应的初等矩阵 因此只 需证任意矩阵可经过有限步初等变换化成标准形 在z中引进偏序 若0 a b 我们说a b 再规定0是最大的 对矩阵a b 也可按矩阵的元的最小者定义a b 现分几步完成证明 第一步 证明若非零矩阵a的某一最小元不整除其它某个元 则a等价于某一更小的矩阵 首先 通过行列交换将a中最小的元移到第一行第一列 不妨设a aij a11是最小的 第一种情形 若有某一ai16 0 mod a11 通过带余除法知可做初等行变换得到矩阵 bij 满 足bi1 1 j 1 于是可 将a变为a0 a0ij 其中a011 a11 a0i1 a01j 0 由于做这些变换时 所有元都保持moda11不 变 因此有a011 a0ij 将a0的第i行加到第一行上得到一个新的矩阵 cij 满足c11 a011 a11 但c011 c0ij 这就划归第一种情形 第二步 证明非零矩阵a等价于如下形状的矩阵 a10 0a1 2 5 唯一性部分29 这里a1 r a1是n 1阶方阵 且a1整除a1的所有元 因为不能有无限长的矩阵列 c1 c2 故由第一步的结论知a可化为b bij 它满足 b的最小元整除其它所有元 不妨设b11就是最 小元 它整除任何bij 于是可做 第3类 初等行列变换将b变成第一行和第一列上所有的元都 是0的矩阵 同样地在变换中所有的元素都保持moda11不变 故变成了我们需要的形状 通过前两步知对n做归纳可得结论 练习 1 设有群的内直和m m1 m2 另有n1 m1 n2 m2 n n1n2 n1 n2证明 m n1n2 m1 n1 m2 n2 2 设有abel群g 子群h及自然映射 g g h 若有同态 g h g满足 g h的 恒等映射 证明 有内直和g h g h 和外直和g h g h 3 设有abel群g和子群h 若g h是有限生成的自由abel群 则 g h g h 4 设有abel群g和有限子集s 先引进记号 hom g g0 g到g0的所有群同态 mor s g0 s到g0的所有映射 从hom g g0 到mor s g0 有自然映射 7 s 证明 s是g的基 对任意abel群g0 上述自然映射是双射 如果将s从有限集推广到任意集 则可将基的定义从有限集推广到一般集 从而也有非有限生成 的自由abel群的概念 5 写出z 2z z 6z到复数域的乘法群c 的所有同态 6 设g是秩为n的自由abel群 证明 1 g中n个元若能生成g 则则是g的基 2 g到自己的满同态必为同构 2 5唯一性部分 我们需要证明对任意有限生成abel群m 当它满足定理的形式 m zr z d1z z dmz 1 30chapter 2 群论初步 时 各个量r d1 dm都是m的 同构 不变量 先有如下观察 m可写为两个子群的内直和m m1 m2 m1 zr m2是有限的 并且m2作为m的子群是唯 一的 它正好是m的有限阶元之集合 我们记它为mtor 以下按步骤进行 1 将问题简化到有限群的情形 前面的观察知 1 式意味着 mtor z d1z z dmz m mtor zr 显然 m的同构类决定mtor和m mtor的同构类 两式中后一个意味着r的确是m的 同构 不 变量 前一个则意味着剩下只需证定理对有限群成立 2 将问题简化到有限p 群的情形 若m有限 设m的阶为n 再设 m z d1z z dmz 2 由孙子定理 我们知道每个z diz同构于若干个阶为素数幂 di的素数幂因子 的循环群的直和 这样m也同构于阶为素数幂 所有di的所有素数幂因子 的循环群的直和 而且di i 1 m的 素数幂因子的全体 称为di i 1 m的初等因子 与di的全体可以互相决定 因此我们只需说 明m和 2 式能决定di的全体初等因子即可 设全体初等因子为 pa1 p parp p p跑遍n的素因子 则有 m p n z pa1 pz z parp pz 写成内直和有 m p nmp 3 mp z pa1 pz z parp pz 4 但上两式意味着 mp m的阶为p的幂的元形成的子群 具体说 任一x m可唯一表为p p xp xp mp 而x的阶是所有xp的阶之积 注意mp是不依赖于分解方法的 如果能证明mp和 4 式能决定所有pai p 就能说明m和 2 式 能决定所有di 这样我们就将定理归结为了有限p 群的情形 3 对有限p 群m证明定理 2 6 例子31 要证明由有限p 群m和同构 m z pa1z z pamz 0 bn 现 在把每个量bi ni都用m内在地描述 从而完成最后证明 考察模prm 让r从充分大开始递减地 变化 那么我们有 a b1 1是第一个使prm非零的r 而n1正是这个prm的长度 b b2 1是继b1 1之后第一次使prm的长度发生变化的r 而n2正是这个prm的长度增加的数 目 以此类推可知每个量bi ni都是m的不变量 证明完了整个定理之后 我们可以将r称为m的秩 d1 dm称为m的不变因子 那些素数 幂因子称为m的初等因子 而将mp称为m的p分支 2 6例子 例1 z nz 是一类典型的有限生成abel群 z 2mz z 2z z 2m 2z m 2 z 65z z 5z z 13z z 4z z 12z z 65z 的不变因子是4和12 初等因子是4 4 3 例2 考察曲线e x y c2 y2 x3 ax b s o a b q 4a3 27b26 0 点o称为无穷远点 可以看作人为添加的点 实际上有含义 条件4a3 27b26 0保证多项 式x3 ax b无重根 即曲线上没有奇点 这样的e称为定义在q上的椭圆曲线 对c的任何子 域f 可以有f点集合 e f x y f2 y2 x3 ax b o 在e f 上可以定义一个加法运算使之成为abel群 对e f 上的两点p和q 定义一个新的 点p q如下 1 若p o 则p q q q p 2 若p和q关于x轴对称 则p q o 3 若非上述情形 连接pq p q时 引切线 交e于另一点r 作r关于x轴的对称点s 32chapter 2 群论初步 则p q s 可以检查 当然不显然 这样的加法有结合律 进一步 这些点构成一个加法群 显然 群 的单位元就是那个无穷远点 一个点的逆元则是它关于x轴的对称点 所有有理点的集合也构成 群 我们最关心群e q 要完全弄清楚它是很难的 但我们知道 mordell定理 e q 是有限生成的abel群 还有一个更不可思议的定理说e q tor的机构只有有限种可能 mazur定理 e q tor同构于下列群之一 z mz m 1 2 3 10 12 z 2z z mz m 2 4 6 8 困难的是e q 的秩r 著名的bsd猜想 美国clay研究所悬赏100万美元的七个世纪难题之 一 说r应等于某一个由e定义的复解析函数le s 在特殊点s 1处的阶 le s 现在无法给出定 义 但需要说明的是它是一个定义复杂却可以计算的对象 反过来r 是定义简单却难以计算的 量 bsd猜想在古老的同余数问题有一个简单应用 即下列两条等价 1 奇数n是同余数 即是某个三边都是有理数的直角三角形的面积 2 方程x2 2y2 8z2 n的整数解中z为奇 偶的各占一半 一个coates wiles定理是回答了bsd猜想中很小一部分 当然它可以保证上述两条的1 2 练习 1 写出群 z 52 72 13z 的全体初等因子和不变因子 2 因子群为z 3z z 3z z 5z z 5z z 5z 的abel群有多少个同构类 3 证明 若有群同构 g g0 和子群h g 则g h g0 h 请在有限abel群范围内举 例说明g g0 h g h0 1的正规子群 现证明h an 由引理2 7 2知只需证 明h含有全体3轮换 再由引理2 7 2知只需证明h含有某一3轮换 注意 对非平凡置换 有 是3轮换 的不动点数是n 3 是对换 的不动点数是n 2 因此我们需证h中含有不动点数是n 3的元 即an中不动点数最多的非平凡元 因而化为 证明如下断言 2 8 jordan holder定理35 任给非平凡 h 可找到非平凡 0 h 使得 0的不动点更多 由于h an 故对任 意 an 有 1 h 我们不能指望 1有更多的不动点 性质3 但取 为适当的3轮 换 0 1 1可有更多的不动点 直观的理由是 的不动点多 1几乎 即 1 1的不动点多 准确地说 x x 都是 的不动点 x是 1 1的不动点 如果 的不动点数不超过n 5 可设 1 2 另有3 4 5也是 的动点 那么 0 1 1有更 多的不动点 因为一方面 0以 的所有不动点为不动点 另外还至少有不动点1 注意 还需说 明 0非平凡 即至少有一动点 这需利用 的具体形状来说明 1 若 的因子中含 123 则2是 0的动点 2 若 12 34 则4是 0的动点 如果 的不动点数恰为n 4 可设 12 34 那 么 0 345 2 8jordan holder定理 现在来证明本课中群论部分的第三个大定理 jordan holder定理 定理2 8 1 jordan holder 有限群g的任意两个无重复项的合成列有相同的长度 而且它们的 因子群在同构意义下不计次序 记出现次数 相等 证明 对群的阶做归纳 1阶 2阶显然成立 现设对阶小于 g 的群已成立 并设有重复项的 合成列如下 g g0 g1 gr 1 1 g h0 h1 gs 1 2 先按g1是否 h1分两种情形 1 g1 h1 此时当然有g g1 g h1 但因g1 g 故由归纳假设知g1 h1的两个合成列 g1 gr 1 h1 gs 1 有相同的长度和因子群 因此原来两个合成列也有相同的长度和因子群 2 g16 h1 首先g1与h1必无包含关系 否则与g g1和g h1是单群矛盾 那么g1h1 g1 由g g1是单 群 知g1h1 g 由同构定理知 g g1 g1h1 g1 h1 g1 h1 g h1 g1h1 h1 g1 g1 h1 36chapter 2 群论初步 将次正规列 g g1 g1 h1 g h1 g1 h1 分别扩充成合成列 g g0 g1 g1 h1 n2 nm 1 3 g h0 h1 g1 h1 n2 nn 1 4 由上述同构关系知 3 和 4 有相同的长度和因子群 但由情形1 知 1 和 3 2 和 4 有相同的长 度和因子群 因此 1 和 2 有相同的长度和因子群 2 9自同构 对一个群g 我们对它的所有自同构构成的群感兴趣 称为g的自同构群 记为aut g 它 反映了群g的对称性 任意a g可给出一个g的自同构 a x 7 axa 1 称为内自同构 内自 同构的重要性在sn的研究中已有所体现 所有内自同构构成的子群称为内自同构群 记为in g 于是有同态 g aut g a 7 a 作为练习 证明以下基本性质 1 ker z g a g a与g中所有元可交换 称z g 为g的中心 另外对s g 称 z s a g a与s中所有元可交换 为s的中心化子 n s a g as sa 为s的正规化子 2 in g aut g 称aut g in g 中的一个元称为一个外自同构 对其它的代数或几何对象都有相应的自同构群来反映对称性 例1 域扩张c r的对称 我们从实数到复数的过程就是引人了具有性质i2 1的符号i 以及形如a bi a b r的数和相应的运算 但具有性质x2 1的x不只是i还有 i 从实数的眼 光看i和 i无本质区别 换句话说 有这样一个群gal c r c的域自同构 r 恒等 这 个群有两个元 一个是恒等 一个是复共轭 例2 平面图形的对称 实平面r2 用s r2 r2到自己的所有保持距离的映射的群表 示r2的对称 具体地说 s r2 的元是形如 x 7 ax b a o n r b m2 r 2 9 自同构37 的映射 对图形m r2 它的对称群就是 s m s r2 m m 群s m 的大小表示对称性的好坏 这符合我们的直观认识 作为练习自己比较长方形 正 方形和圆的对称性 前面研究有限生成的abel群时用到一类 最大 的abel群 即自由abel群 任何有限生成 的abel群都是它们的商 对非交换群 也可以类似 但复杂一些 地定义自由 有限生成 群 具 体说 任给一个有限集合x 可以造一个由x生成的群f x 满足如下泛性 对给定群g和任意映 射f x g 存在唯一同态 f x g使 f x 练习 1 如何构造f x 何俊才 2 将s7中的元 1 7 3 2 7 7 3 7 5 4 7 6 5 7 1 6 7 4 7 7 2 分解为不交的轮换 之积 并回答 是否在a7中 阶是多少 3 将因子群为z 2z z 2z z 3z的所有abel群的所有同构类用sn的子群表出 4 群s10中元素的阶最大是多少 这样的元有多少个 可以组成几个共轭类 5 北大代数学97页第5 6 10 16题 6 设 3 2表2的实的三次方根 用q 3 2 表包含q和元 3 2的最小的c的子域 请 1 将集合q 3 2 表示清楚 2 写出域扩张q 3 2 q的对称群gal q 3 2 q 38chapter 2 群论初步 第六讲 群在集合上的作用 一 2 10群作用基本知识 群g在集合x上的一个作用指的是一个映射f g x x 它满足如下性质 1 f g1 f g2 x f g1g2 x 2 f e x x 将f g x 记为g x 上述两式改写为 1 g1 g2 x g1g2 x 2 e x x 由这种写法可以看出群作用实际上是一个群同态 g s x 对任意g g g 定义 为x上映射x 7 g x 由于1 和2 保证 是要半群同态 但g本身是群 故 自己推 g 总是可 逆的 例1 群g作用在集合x g上 作用定义为g x gx 例2 对任意子群h 1ox 数数得 x 不动元数目 x hx g g hx 但x g 不动元之集就是中心z g hx z x 因此有 g z g x z x g g z x 这个等式称为群的类方程 它是极为重要的研究群的工具 先看一个简单应用 命题2 10 4 有限p 群必有非平凡中心 证明 因 g 和每个 g z x 当 z x 0 单位元 故 z g p 推论2 10 5 有限p 群必可解 证 对群的阶归纳 并利用中心非平凡立得 推论2 10 6 p2阶群必交换 证 仍然利用中心非平凡 细节自己补完整 40chapter 2 群论初步 2 11sylow第一定理 对有限群g和 g 的任意因子m 自然该问g的m阶群是否存在 一般并不对 sylow第一定理 告诉我们 当m是素数幂时是对的 定理2 11 1 sylow第一定理 设g是有限群 pr g 则存在g的pr阶子群 证明 对群的阶做归纳 一阶不需证 2阶显然成立 现设对阶小于 g 的群已经成立 分情 形如下 1 若p z g 则abel群z g 有p阶子群k 当然有k g 考察g k 它的阶是 g p 0 mod pr 1 由归纳假设知g k有pr 1阶子群 设为h k 必然 h k h k pr 2 若p不整除 z g 则由群的类方程知存在x g满足 1 g z x 6 0 mod p 故pr z x 但z x 是g的真子群 由归纳假设知z x 有pr阶子群 当然也是g的子群 2 12 sylow第二 第三定理41 第七讲 群在集合上的作用 二 2 12sylow第二 第三定理 有限群g的子群h称为sylow p 子群 如果h是p子群 且 h 与 g 有相同的p部分 sylow第 一定理公式我们对 g 的任意素数幂因子pr 存在pr阶子群 进一步 该问这些子群有多少 有什 么关系 显然任何p子群h 都有一些共轭子群ghg 1与h有相同的阶 sylow第二 第三定理会 告诉我们sylow p 子群在共轭意义下是唯一的 在通常意义下 个数是模p余1的 而且任意p 子 群都含于一个sylow p 子群中 定理2 12 1 sylow第二 三定理 设g是有限群 x是g的所有sylow p 子群之集 定义g在x上 的共轭作用g h ghg 1 则 1 x只有一个g 轨道 2 x 1 mod p 3 任意p 子群含于一个sylow p 子群中 先证一个引理 引理2 12 2 设g是有限群 p是g的p 子群 k是一个sylow p 子群 用n k x g xkx 1 k 表k的正规化子 若p n k 则p k 证明 由于p n k k n k 故pk kp 因而pk是g的子群 而 pk p k p k 故pk是p 子群 因此 pk k 但pk k 故k pk p 定理证明 考察x的任一个非空的g作用下封闭的子集y 再取g的p 子群p 它也作用 在x和y 上 用tp y表y 的p不动元的个数 由推论2 10 2知 y tp y mod p 1 对任意k y 它在g中稳定子群恰好是n k 于是 k是p不动的 p n k 再由引理2 12 2知 y 是p不动的 p k2 分别取各种p完成我们的证明 i 取p y 2 式意味着 k是p不动的 p k3 即y 有唯一p不动元p 那么tp y 1 1 式意味着 y 1 mod p 3 42chapter 2 群论初步 ii 取p x 但p 6 y 假如能取到 仍然有 2 式成立 此时tp y 0 再由 1 知 y 0 mod p 从而与 3 式矛盾 由此说明这种p不能取到 即 y x 即结论中的1 成立 再看 3 式变成了 x 1 mod p 4 于是结论中的2 成立 而且对任意p 子群p tp x x 1 mod p 4 当然tp x6 0 取k是x的p不动元 2 式意味着p y 推论2 12 3 设g是有限群 g prm p m 1的p 子群 x是g的所有sylow p 子群之集 则 x m 证明 因g传递地作用在x上 故 x g prm 另外由 x 1 mod p 知 x p 1 故 x m 例1 72阶群一定不是单群 证明 设g是72阶群 它的sylow 3 子群个数为t3 则 t3 1 mod 3 t3 8 因此t3只能是1或4 若t3 1 则sylow 3 子群是正规的 若t3 4 设x k1 k2 k3 k4 是 全体sylow 3 子群之集 g作用在x上 即有同态 g s x s4 ker 是g的正规子 群 只要说明ker 非平凡即可 首先因 s x g 故 不可能单 即ker 6 e 另外 若ker g 即g对x的作用是平凡的 所有元都不动 与g对x的作用传递矛盾 例2 分类所有15阶群 设g是15阶群 记它的sylow p 子群个数为tp 则 t3 1 mod 3 t3 5 因此t3 1 同理t5 1 由此可知g是循环群 可以用两种方法说明 i 由t3 t5 1知3阶子群k3和5阶子群k5都是正规的 从而不能说明 g k3 k5 z 3z z 5z z 15z ii 把g中元素按阶分类 有1个1阶 2个3阶和4个5阶元 剩下8个必然是15阶元 总结一般规律如下 若p 0 使得对任意a r b r 一定 有q r r使a bq r 且r 0或 r b 注记 可理解为a可modb同余于一个比b小的元 命题3 2 4 r是唯一分解整环当且仅当满足如下两条 1 主理想升链稳定 即主理想序列 a1 a2 只能有有限项 2 不可约元一定是素元 注记 这个命题的证明是直截了当的 留作练习 第一条管分解的存在性 第二条管唯一性 定理3 2 5 r是eulcilid环 r是主理想整环 r是唯一分解整环 3 2 唯一分解整环 主理想整环 eulcilid环47 证明 若r是eulcid环 有标准映射 r z 0 取r的一个理想i 6 0 记a为i中满 足 x 最小的非零元 我们来证明 i ar 首先ar i是显然的 为证反包含 任取b i 若b 6 i 则b可表为b aq r 其中q r r 且 r n 有 i a an an i 即 i an an 上述升链稳定 2 对任意非0元p r 对定义做语言上的翻译有 p是素元 p 是素理想 p是不可约元 包含 p 的主理想只有两个 在r是pid时 上述第二条变成 p是不可约元 包含 p 的理想只有两个 p 是极大理想 由于极大理想是素理想 故不可约元是素元 通过上述两条得r是ufd 例 ga