小六奥数.doc

合理安排货轮上卸下若干只箱子，总重量为10吨，每只箱子的重量不超过1吨，为了保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3吨的汽车？解答：至少需要5辆汽车【小结】因为每一只箱子的重量不超过1吨，所以每一辆汽车可运走的箱子重量不会少于2吨，否则可以再放一只箱子。所以，5辆汽车本是足够的，但是4辆汽车并不一定能把箱子全部运走。例如，设有13只箱子，所以每辆汽车只能运走3只箱子，13只箱子用4辆汽车一次运不走。因此，为了保证能一次把箱子全部运走，至少需要5辆汽车。盈利问题某商店将某种DVD按进价提高35%后，打出九折优惠酬宾，外送50元出租车费的广告，结果每台仍旧获利208元，那么每台DVD的进价是多少元？解答：定价是进价的1+35%135%90%=121.5%208+50=258（元）258（121.5%-1）=1200（元）【小结】定价是进价的1+35%打九折后，实际售价是进价的135%90%=121.5%每台DVD的实际盈利：208+50=258（元）每台DVD的进价258（121.5%-1）=1200（元）小木桥问题A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短解答：因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点即两村的最短路程是AEEDDB蚂蚁爬桶如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米， B点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？解答：我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DFBD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O因为桶口沿线CD是 B、F的对称轴，所以OBOF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AOOF，那么A、B之间的最短距离就是AOOB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去延长AC到E，使CE=DF，易知AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2（128）2152625=252，解得AF=25距离问题长方体ABCD-ABCD中，AB=4，AA=2，AD=1，有一只小虫从顶点D出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1）解答：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D、B两点的两个相邻的面展开在同一平面上，在这个展开后的平面上 DB间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D点出发，到B点共有六条路线供选择从D点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2），这时在这个平面上D、B间的最短路线距离就是连接D、B两点的直线段，它是直角三角形ABD的斜边，根据勾股定理，DB2=DA2+AB2=（1+2）242=25，DB=5容易知道，从D出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5从D点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D、B两点间的最短路线（上页图（3），有：DB222+（1+4）2=29容易知道，从D出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29从D点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D、B两点间的最短路线（见图）， DB2=（2+4）2+12=37容易知道，从D出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37比较六条路线，显然情形、中的路线最短，所以小虫从D点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度利用前面的题中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线路程问题如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来解答：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线。作点A关于河岸的对称点 A，即作 AA垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=AC，连接AB交河岸于一点P，这时 P点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PAPB就是侦察员应选择的最短路线证明：设河岸上还有异于P点的另一点P，连接PA，PB， PAPA+PBPA+PBAB=PA+PB=PA+PB，而这里不等式 PAPBAB成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段AB，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等修路问题： 解答：此题条件中既有百分率又有比，可以把比转化成百分率，按分数应用题解答第二天与第一天所修路程的比是43